數(shù)據(jù)包絡理論案例分析

數(shù)據(jù)包絡理論案例分析題目 管理中不確定型決策方法及案例分析學院 專業(yè) 管理科學與工程 學生姓名 學號 數(shù)據(jù)包絡理論案例分析摘要：DEA是一個線性規(guī)劃模型，表示為產(chǎn)出對投入的比率。通過對一個特定單位的效率和一組提供相同服務的類似單位的績效的比較，它試圖使服務單位的效率最大化。在這個過程中，獲得100%效率的一些單位被稱為相對有效率單位，而另外的效率評分低于100%的單位被稱為無效率單位。這樣，企業(yè)管理者就能運用DEA來比較一組服務單位，識別相對無效率單位，衡量無效率的嚴重性，并通過對無效率和有效率單位的比較，發(fā)現(xiàn)降低無效率的方法。本文旨在介紹DEA理論，并用一個管理學的實際案例來模擬上述理論。關鍵詞：數(shù)據(jù)包絡、DEA、線性規(guī)劃引言數(shù)據(jù)包絡分析(DataEnvelopmentAnalysis，簡稱DEA)方法是運用數(shù)學工具評價經(jīng)濟系統(tǒng)生產(chǎn)前沿面有效性的非參數(shù)方法，它適應用于多投入多產(chǎn)出的多目標決策單元的績效評價。這種方法以相對效率為基礎，根據(jù)多指標投入與多指標產(chǎn)出對相同類型的決策單元進行相對有效性評價。數(shù)據(jù)包絡分析是運籌學的一個新的研究領域。它不需要以參數(shù)形式規(guī)定生產(chǎn)前沿函數(shù)，并且允許生產(chǎn)前沿函數(shù)可以因為單位的不同而不同，不需要弄清楚各個評價決策單元的輸入與輸出之間的關聯(lián)方式，只需要最終用極值的方法，以相對效益這個變量作為總體上的衡量標準。數(shù)據(jù)包絡法的預備知識基礎知識決策單元(DMU):我們把具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時期的相對效率進行評價，這些部門、企業(yè)或時期稱為。評價的依據(jù)是決策單元的一組投入指標數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標數(shù)據(jù)。投入指標：指決策單元在經(jīng)濟和管理活動中需要耗費的經(jīng)濟量，例如固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。產(chǎn)出指標：指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟活動產(chǎn)生成效的經(jīng)濟量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。指標數(shù)據(jù)：指實際觀測結果，根據(jù)投入指標數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標數(shù)據(jù)評價決策單元的相對效率，即評價部門、企業(yè)或時期之間的相對有效性。2.C2R模型預備知識設有n個部門(企業(yè))，稱為n個決策單元，每個決策單元都有P種投入和^種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟指標表示。這樣，由n個決策單元構成的多指標投入和多指標產(chǎn)出的評價系統(tǒng)，可以做如下表示：設：n個決策單元(j履，3，…n)，每個決策單元有相同的P項投入(輸入)(

1=1,2,…,P），每個決策單元有相同的q項產(chǎn)出（輸出）（r=1,2,…，q）Xij 第j決策單元的第1項投入J——第j決策單元的第〃項產(chǎn)出U-JH FU-J jjkh=—1k q—盈=4 ,k=1,2,?.?,nkV-XF FV-XV1 1k ppk ^^V?Xiiki=1h即：效率指標k等于產(chǎn)出加權之和除以投入加權之和，表示第k個決策單元多指標投入和多指標產(chǎn)出所取得的經(jīng)濟效率?？梢赃m當?shù)剡x擇權系數(shù)u、v，使得hkvL建立評價第k0個決策單元相對有效性的C2R模型。設第k0個決策單元的投入向量和產(chǎn)出向量分別為:X=(x,X，…,x)T,Y=(j,J，…,J)T0 1k02k0 pk0 0 1k02k0 qk0效率指標h0=hk0，在效率評價指標hk-1(k=1,2,…，n)的約束條件下，選擇一組最優(yōu)權系數(shù)U和V，使得h0達到最大值，構造優(yōu)化模型（分式規(guī)劃）j jk0 U-J+U-JF FU-JMaxh=4 =——1k0 2 24) q——吼V-X+V-XF FV-X乙.Xiik0i=1s.t.<jj=—乙i-乙.Xiik0i=1s.t.<jj=—乙i-XikU -J +U -J F FU -J=1 1k 2 2k qqkV -X +V -X F FV -X1 1k2 2k ppk<1,(k=1,2,…，n)i=1U,v.>0,j=1,2,…,q;i=1,2,…,p上述模型中七，九為已知數(shù)（可由歷史資料或預測數(shù)據(jù)得到），七，氣為變量。模型的含義是以權系數(shù)七，Uj為變量，以h0所有決策單元的效率指標為約束，以第k0個決策單元的效率指數(shù)為目標。即評價第k0個決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對于其他所有決策單元而言的。記X=3,x，…,x)T,Y=(y,y，…,y)t,則有矩陣形式7)k 1k 2k pk k 1k 2k qkMaxh= (3)ofUt?Y 卜<1,(k=1,2,…，n)s.t.<Vt?Xk[u,v>0作Charnes-Cooper變換，轉化為一個等價的線性規(guī)劃模型。t= ,t?V=①，t?U=uVt?XoUt?Y =t?Ut?Y=(t?U)t?Y=ut?Vt?XoUt?Y_t?Ut?Y_(t?U)t?Y_Ut?YVT^x^—t?Vt?x^—(t?v)t?X]—wt?X即①t?X心—Ut?Yk>0Vt?Xwt?Xo=(t?V)t?Xo=t?Vt?Xo= =10數(shù)據(jù)包絡法的步驟1.確定評價目的例如我們的目的是為了評價學校的辦學效益，則“教師人數(shù)”可當作系統(tǒng)輸入，若為了評價學校的發(fā)展情況，則“教師人數(shù)”應作為系統(tǒng)輸出。這里所說的“評價”是廣義的，它也可能是其他系統(tǒng)分析內(nèi)容對系統(tǒng)進行的預測、預警以及對系統(tǒng)進行的控制。選擇DMU(參考集)用DMU的物理背景來判別。即DMU具有相同的環(huán)境、相同的輸入和相同的任務(相同的殘品和服務內(nèi)容)等。用DMU活動的時間間隔來構造。通常認為參考元素的個數(shù)不少于輸入、輸出指標總數(shù)的二倍為好，例如有6個輸入、7個輸出時，參考集中的DMU個數(shù)宜不少于26。如果將較多的DMU放在一起組成一個參考集時，“同類型”反映得不夠充分。但若將它們按一定特性分成幾個子集，則我們可以分別對每個子集進行DMU分析，再將分析結果或者獨立地或者綜合地進行再分析。建立輸入輸出指標體系要考慮到能夠實現(xiàn)評價目的，也就是說輸入向量與輸出向量的選擇要服務、服務于我們確定的評價目的。要能全面反映評價目的。一般來說，一個評價目的需要多個輸入和多個輸出才能較為全面的描述。缺少某個或某些指標常會使評價目的不能完整地得以實現(xiàn)。要考慮到輸入向量、輸出向量之間的聯(lián)系。要考慮輸入輸出指標體系的多樣性。一個常用的方法就是我們可以在實現(xiàn)評價目的的大前提下，設計多個輸入輸出指標體系，在對各體系進行DEA分析后，將分析結果放在一起進行比較分析。4.DEA模型的選擇是選用基于輸入的DEA模型，還是選用基于輸出的DEA模型，這主要看對輸入(出)指標的可控性和可處理性。由于具有非阿基米德無窮小的DEA模型在判定DMU是否為(弱)DEA有效以及將原來無效的DMU“投影”到相對有效面上均有方面之處。就有效性本身而言，C2R模型是同時針對規(guī)模有效性和技術有效性而言的“總體”有效性，而C&2模型只能評價技術有效性。此外，C2R模型的生產(chǎn)可能集為閉凸錐，并且是建立在規(guī)模收益不變的假設下，而C2GS2模型則反映了規(guī)模收益可變的情況下，對應的生產(chǎn)可能集僅為凸集。如果生產(chǎn)可能集為凸錐、輸入、輸出指標數(shù)目較多，特別是由于決策者對輸入、輸出指標之間的相對重要性有所規(guī)定(契約、限制、偏好)，并要在評價中對此規(guī)定有所體現(xiàn)，選用具有錐結構的C2WH模型就比較適合了。為了得到不同側面的評價信息，在可能情況下，盡量選用不同類型的DEA模型同時進行分析，再把分析結果相互比較，使結果更全面、更深刻、更準確。5.評價工作的設計與表述確定各DMU的DEA有效性；了解各DMU的相對規(guī)模收益情況；確定相對有效生產(chǎn)前沿面；確定各DMU在有效生產(chǎn)前沿面上的“投影”；分析各DMU的相對有效性與各輸入(輸出)指標間的關系；各DMU之間相對有效性的關系；不同指標體系對各DMU相對有效性的影響；其他。數(shù)據(jù)包絡模型(又稱為DEA模型)描述數(shù)據(jù)包絡分析(DEA)由美國著名運籌學家A.Charnes等人在1978年以相對效率概念為基礎發(fā)展起來的一種新的績效評價方法。這種方法是以決策單元(DecisionMakingUnit，簡稱DMU)的投入、產(chǎn)出指標的權重系數(shù)為變量，借助于數(shù)學規(guī)劃模型將決策單元投影到DEA生產(chǎn)前沿面上，通過比較決策單元偏離DEA生產(chǎn)前沿面的程度來對被評價決策單元的相對有效性進行綜合績效評價。其基本思路是：通過對投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)的綜合分析，得出每個DMU綜合相對效率的數(shù)量指標，確定各DMU是否為DEA有效。下面我們先描述DEA模型。假設有n個待評價的對象(又稱之為n個決策單元DMU)，每個決策單元都有m種類型的投入及，種類型的產(chǎn)出，它們所對應的權重向量分別記為：

0=（%電??、/）『這n0=（%電??、/）『X」二（％時??次盤 y廣偵*，…，瑁y…丈訂…入… , 入，， y”…入…其中：葉為第j個決策單元對第i種類型輸入的投入總量，『u為第j個決策單元X■訂7m〉0u. n對第r種類型輸出的產(chǎn)出總量，且葉， ；七為第i種輸入指標的權重系數(shù)，為為第r種產(chǎn)出指標的權重系數(shù)，且吟，廊『。則每個決策單元DMU投入與產(chǎn)出比的相對效率評價指數(shù)如下：2>為r=L]=1（4—1）Jn（4—1）通過適當選取權重向量V和U的值，使對每個j，均滿足J ?，F(xiàn)對某第個決I策單元進行績效評價，則以第/口個決策單元的效率指數(shù)為目標，以所有的待評的決策單元的效率指數(shù)為約束，第JU個決策單元簡記為 ，故可以得到一般的DEA優(yōu)化模型WT,,J=L2,..*VTXWT,,J=L2,..*VTXaK>0,CZ>0（4—2）上面的模型是分式規(guī)劃規(guī)劃問題模型，為了方便計算，通過適當?shù)淖儞Q，我們可以將其化為一個等價的線性規(guī)劃數(shù)學模型，并且引進阿基米德窮小量巖（在實數(shù)范圍內(nèi)#表示的是大于0但小于任意正數(shù)的量），構成了具有非阿基米德無窮小量巖的C'R的模型。它的對偶線性規(guī)劃問題模型如下：

D(s)=min何-s(e~S~+g)r,±X^+S=^07-1m人-S*二％ (4—3)4>。"=L4…雙.h-Gnos—(此，頊…瓦y>onAJ=1s2s-sh e-=fll--1)e￡其中：&, ，均為對偶變量，m維單位向量 I''"巾，e+=(11■■■l)e￡砂bs維單位向量 ，。和O均松弛變量，X」=(%,叱廣*，與=S妃％”??，*…也J對&CA模型是假定生產(chǎn)技術是固定規(guī)模報酬的。后來，Banker，ChamesandCooper又模型進行推廣，他們把固定規(guī)模報酬假設改為非遞增規(guī)模報，則在上述的DEA模對&SA<i型的基礎上需增加一個約束條件:'=' 。在此假設下非遞增規(guī)模報酬時的技術效率為。如果我們把固定規(guī)模報酬假設改為可變規(guī)模報酬(variableReturnstoScale，簡記VRS)，*恥二1則DEA模型中的上述約束條件應改為：廣' 。從而得到的如下新的DEA模型：礦（占）=min9-SS'）］IZY^-S+-Y0j--（4—4）用（4—4）s.t.^￡%=1.j=-JjL：>Q/=撰「''?n$一-（礦玖??槌；）=0,歐-（此線性規(guī)劃模型在可變規(guī)模報酬（VRS）條件下求得的相對效率稱為純技術效率CRS假設條件下得到的相對效率稱為技術效率，又稱為總體效率，它是規(guī)模效率與純技術效率的乘積。因此，可以根據(jù)C2R模型（4-3）和VRS模型（4-4）來確定規(guī)模效率。模型（4-3）表明，當?shù)趈0個決策單元產(chǎn)出丫。保持不變的情況下，應盡量保證投入量X。按照同一比例減少。假設上述規(guī)劃問題模型（4-3）求得最優(yōu)解為則有，若8。=1，且' 二°，則稱被評價決策單元相對于其它決策單元而言DEA有效，此時該決策單元既滿足技術有效又滿足規(guī)模有效；若=1，但不同時等于零向量，則稱被評價決策單元為弱DEA有效，這時該被評價的決策單元不是同時技術有效和規(guī)模有效，此時需要應用VRS模型（4-4）進一步進行計算；如果＜L則稱此被評價的決策單元為非DEA有效。值得注意的是，VRS模型（4-4）是在對C2R模型（4-3）計算的基礎上進行的分析，用以確定是否為純技術有效。由于總體效率表現(xiàn)為規(guī)模效率和純技術效率之積，根據(jù)上述的分析并通過模型（4-3）和（4-4）容易求得規(guī)模效率值。另外，對于非DEA有效的決策單元，需要通過進一步的分析討論并求出被評價的決策單元DMU在DEA相對于有效面上的投影（即新決策單元），則新決策單元相對于原來的決瓦占策單元而言是DEA有效的。設I /為第j。個決策單元對應于相對有效面上的投影，則它們之間的轉換關系可以表示為如下公式：（4-5）y0=e°x0-s°-

（4-5）根據(jù)上述公式（4-5），可以求得各個非DEA有效的決策單元相對于某有效決策而言，在保持其產(chǎn)出量不變的情況下，可以計算出對各項指標的投入量進行相應的的調整量。并且可以對相應的財務績效上存在不足的決策單元相對于DEA有效的決策單元而言給出針對性的管理建議。數(shù)據(jù)包絡法的案例例題：已知甲、乙、丙三個同行企業(yè)，為評價其相對生產(chǎn)率，取投入要素為固定資產(chǎn)K（億元）和職工人數(shù)L（千人），產(chǎn)出項目為凈產(chǎn)值Y（億元），有關數(shù)據(jù)如表一，試比較它們的有效性。表一：有效性的比較指標權數(shù)部門甲乙丙輸入Kv1.533輸出Yu548解：（1）甲企業(yè)對應的DEA模型為：minVD=91.5人+人+3人+s-=1.59s.t.<4人+3人+7人+s-=4s.t.<5人+4人+8人一s+=5人>0,j=1,2,3,s->0,s->0,s+>0.vj 1 2 3最優(yōu)解為：M=(0,1.25,0〉,90=0.93, s0-=0.15,s;-=s：+=0.由于90<1,甲企業(yè)不是DEA有效。(2)乙企業(yè)對應的DEA模型為：minVD=91.5人+人+3人+s-=9s.t.<4人+3人+7人+s-=3s.t.<5人+4人+8人一s+=4人>0,j=1,2,3,s->0,s->0,s+>0.1j 1 2 3最優(yōu)解為：=s0+=03M=(0,1,0>,90=1,s0-=s01=s0+=03可知，乙企業(yè)是DEA有效。（3）丙企業(yè)對應的（3）丙企業(yè)對應的DEA模型為:minV=9'1.5人+人+3人+5-=39I4X+3人+7人+5-=795..15X+4人+8人一5+=8人>0,j=1,2,3,5->0,5->0,5+>0.Ij 1 2 3最優(yōu)解為：M=（0,2,0>,90=0.85,50-=0.57,50-=50+=0由于90<1,丙企業(yè)不是DEA有效。上述計算結果表明，乙企業(yè)的相對生產(chǎn)率最高，丙企業(yè)的相對生產(chǎn)率最低。數(shù)據(jù)包絡法的應用DEA的優(yōu)點吸引了眾多的應用者，應用范圍已擴展到美國軍用飛機的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面.目前，這一方法應用的領域正在不斷地擴大.它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項目評價）；研究在做決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效）.DEA模型甚至可以用來進行政策評價。自從數(shù)據(jù)包絡法提出至今，其應用范圍日漸廣泛。例如它被廣泛應用于學校、醫(yī)院、鐵路、銀行等公共服務部門的運行效率的評估實證研究。DEA作一種新的效率評估方法，與以前的傳統(tǒng)方法相比有很多優(yōu)點。首先，DEA方法可以用于對具有多投入、多產(chǎn)出的多個決策單元的生產(chǎn)（或經(jīng)營）績效性進行評價，而且應用時可以避免像傳統(tǒng)方法那樣因為各指標量綱的不同而尋求權重因素所帶來的諸多困難，其評價結果相對而言比較客觀；其次，DEA模型中投入、產(chǎn)出指標的權重可以建立數(shù)學規(guī)劃模型，然后根據(jù)實際的數(shù)據(jù)而產(chǎn)生，而不是事先給定投入與產(chǎn)出的權重權重系數(shù)，因此它不受人為主觀因素的影響，可避免在權重的分配時評價者的主觀意愿對評價結果的造成人為的影響。另外，數(shù)據(jù)包絡法是一種典型的非參數(shù)估計方法，應用該方法評價時無須設定評價函數(shù)的具體形式，投入產(chǎn)出采用隱函數(shù)的形式表示，不同決策單元的評價函數(shù)其參數(shù)可以變動，針對各個決策單元都將通過數(shù)學規(guī)劃模型的手段給出最優(yōu)的投入產(chǎn)出函數(shù)，從而利用計算簡化。數(shù)據(jù)包絡法評價的是決策單元的相對有效性，其生產(chǎn)前沿面可以看成是最優(yōu)決策單元的投入與產(chǎn)出所組成的一個包絡面，如果對應被評價的決策單元在該生產(chǎn)前面上，則稱之為DEA有效，否則，稱之為非DEA有效。數(shù)據(jù)包絡法的優(yōu)缺點1.數(shù)據(jù)包絡法的優(yōu)點數(shù)據(jù)包絡分析的綜合評價作用數(shù)據(jù)包絡分析是一種統(tǒng)計分析的新方法，它可以研究具有多個輸入的生產(chǎn)系統(tǒng)，特別是具有多個輸出的生產(chǎn)系統(tǒng)，運用數(shù)學規(guī)劃模型對其進行綜合評價，即從技術經(jīng)濟角度考察企業(yè)在一定的投入水平上，是否達到相對最大的產(chǎn)出水平，也就是評價企業(yè)的生產(chǎn)