巴斯普定理及其證明

本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！物體平衡的種類(lèi)概念規(guī)律：1、平行力的合成與分解物體所受的幾個(gè)力的作用線彼此平行，且不作用于一點(diǎn)，即為平行力（系）。在平行力的合成或分解的過(guò)程中， 必須同時(shí)考慮到力的平動(dòng)效果和轉(zhuǎn)動(dòng)效果，后者要求合力和分力相對(duì)任何一個(gè)轉(zhuǎn)軸的力矩都相同。兩個(gè)同向平行力的合力其方向與兩個(gè)分力方向相同，其大小等于分力大小之和。其作用線在兩個(gè)分力作用點(diǎn)的連線上。合力作用點(diǎn)到分力作用點(diǎn)的距離與分力的大小成反比。例如：兩個(gè)同向平行力FA和FB，其合力的大小F=FA+FB，合力作用點(diǎn)O滿(mǎn)足AO·FA=BO·FB的關(guān)系。兩個(gè)反向平行力的合力其方向與較大的分力方向相同， 其大小等于分力大小之差。 其作用線在兩個(gè)分力作用點(diǎn)的連線的延長(zhǎng)線上，且在較大的分力的外側(cè)。合力作用點(diǎn)到分力作用點(diǎn)的距離與分力的大小成反比。例如：兩個(gè)反向平行力

FA和

FB的合成其合力的大小

F=FB-FA(

假如

FB＞FA，則

F和

FB同向)其合力的作用點(diǎn)滿(mǎn)足 AO·FA=BO·FB的關(guān)系。一個(gè)力分解成兩個(gè)平行力，是平行力合成的逆過(guò)程。2、重心和質(zhì)心本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！重心是重力的作用點(diǎn)。質(zhì)心是物體 (或由多個(gè)物體組成的系統(tǒng))質(zhì)量分布的中心。物體的重心和質(zhì)心是兩個(gè)不同的概念，當(dāng)物體遠(yuǎn)離地球而不受重力作用時(shí)，重心這個(gè)概念就失去意義，但質(zhì)心卻依然存在。對(duì)于地球上體積不太大的物體，由于重力與質(zhì)量成正比，重心與質(zhì)心的位置是重合的。但當(dāng)物體的高度和地球半徑比較不能忽略時(shí)，兩者就不重合了，如高山的重心比質(zhì)心要低一些。質(zhì)心位置的定義表達(dá)式是一個(gè)矢量表達(dá)式， 可以寫(xiě)成三個(gè)分量表達(dá)式：其意義可以這樣理解： 假定由多質(zhì)點(diǎn)組成的物體被分成許多小塊，每塊都有相同的質(zhì)量 m，物體總質(zhì)量等于塊數(shù) (設(shè)為N塊)乘以每塊質(zhì)量m，第一式可以改寫(xiě)成：即等于各小塊的位置Xi之和除以塊數(shù)N。因此，在假定每塊質(zhì)量相等時(shí) XC，就是所有 Xi的平均值。如果其中有一塊 (設(shè)第i 塊)的質(zhì)量是其它小塊質(zhì)量的兩倍，則在求和時(shí)，相應(yīng)的Xi應(yīng)出現(xiàn)兩次。這可以設(shè)想把此兩倍的質(zhì)量的小塊分成相等的兩塊即可看出。因此， XC是所有質(zhì)量在 X方向上的平均位置，其中每小塊質(zhì)量所計(jì)算的次數(shù)都正比于這個(gè)質(zhì)量自身。 這就是人們常說(shuō)的，質(zhì)心位置是以質(zhì)量為權(quán)重的加權(quán)位置平均值。本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！質(zhì)心位置的求法：定義法根據(jù)定義式是求質(zhì)心位置最普遍最基本的方法。 首先建立直角坐標(biāo)，再利用直角坐標(biāo)下定義式給出質(zhì)心的位置。對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體，計(jì)算中通常要用到積分，對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)暫時(shí)還無(wú)力求解。因此，此法通常用于質(zhì)量離散分布或系統(tǒng)可以等效成離散質(zhì)點(diǎn)情況的處理。實(shí)驗(yàn)室質(zhì)量作平面分布的物體用實(shí)驗(yàn)法求質(zhì)心位置較為簡(jiǎn)便。在此平面物體上，選兩點(diǎn)A和B(設(shè)A、B和質(zhì)心不在同一直線上 )，分別作為懸掛點(diǎn)，懸掛在垂直于平面的光滑轉(zhuǎn)軸上，過(guò)懸掛點(diǎn)的兩個(gè)鉛垂線的交點(diǎn)即為質(zhì)心位置。對(duì)稱(chēng)法如果一個(gè)物體質(zhì)量分布具有軸對(duì)稱(chēng)性， 例如質(zhì)量平面均勻分布的菱形物體，其質(zhì)心必處在對(duì)角線上，兩對(duì)角線的交點(diǎn)即為此菱形的質(zhì)心位置。這是因?yàn)榇怪庇趯?duì)稱(chēng)軸方向上，軸兩旁的正負(fù)坐標(biāo)的質(zhì)量對(duì)應(yīng)相等。分割法這種方法把整個(gè)物體分割成質(zhì)心易求的若干部分，再把各本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！部分看成位置在各自質(zhì)心處、并具有該部分質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，再依質(zhì)心定義表達(dá)式求出整個(gè)物體的質(zhì)心位置。如下左圖的棒錘，假設(shè)勻質(zhì)球A質(zhì)量為M、半徑為R；勻質(zhì)棒B質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l，求它的重心。第一種方法是將它分隔成球和棒兩部分， 然后用同向平行力合成的方法找出其重心C。C在AB連線上，且AC·M=BC·m(如下右圖)。負(fù)質(zhì)量法容易看出，負(fù)質(zhì)量法本質(zhì)上是分割法的一種推論，仍然是把整個(gè)物體分割成質(zhì)心易求的幾個(gè)部分。不同的是，每一部分既可以是正質(zhì)量，也可以是負(fù)質(zhì)量。同樣，將棒錘看成一個(gè)對(duì)稱(chēng)的“啞鈴”和一個(gè)質(zhì)量為— M的球A′的合成(如下左圖)，用反向平行力合成的方法找出其重心C，C在AB連線上，且BC·(2M+m)=A′C·M．不難看出兩種方法的結(jié)果都是： BC=M（R+l/2）/（M+m）證明方法與分割法相同。有時(shí)，根據(jù)質(zhì)心的定義，我們還可用坐標(biāo)法求物體系的質(zhì)心。通常把物體分割成 n個(gè)部分，求得這 n個(gè)部分的質(zhì)量分別為m1，m2，?，

mn。所受的重力相應(yīng)為

m1g，

m2g，?mng。又求得它們的重心

(

質(zhì)心)的坐標(biāo)分別為

(x

1，，y1，z1)，(x

2，y2，z2)

，?，本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！(x

n，yn，zn)。由于這

n個(gè)部分所受的重力

Gi=mig(i=1

，2，?，可看作是平行力，故可用類(lèi)似于求同向平行力合力的方法，求得這n個(gè)平行力合力的作用點(diǎn)位置 (xC，yC，zC)，得出整個(gè)物體質(zhì)心(重心)的位置坐標(biāo)為上例中，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，水平向右為。軸正方向，則 A、B的合質(zhì)心的位置為：即：負(fù)號(hào)表示質(zhì)心的位置在 B點(diǎn)左側(cè)（如上右圖）。用坐標(biāo)法求物體的重心是比較方便的。 坐標(biāo)法與分隔法—樣，都是由平行力的合成方法推導(dǎo)出來(lái)的，有興趣的讀者可以嘗試推導(dǎo)一下。巴普斯定理及其推論對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體， 求質(zhì)心的一般方法是利用質(zhì)心定義的三個(gè)分量表達(dá)式。但是，有時(shí)我們?cè)敢獠捎锰幚磉@類(lèi)問(wèn)題的技巧，巴普斯定理提供了一種技巧。巴普斯定理表述為：一個(gè)平面物體，質(zhì)量均勻分布，令其上各質(zhì)點(diǎn)沿垂直于平面的方向運(yùn)動(dòng)，在空間掃過(guò)一立體體積，則此體積等于面物體面積乘以物體質(zhì)心在運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過(guò)的路程。本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！當(dāng)面物體上各質(zhì)點(diǎn)以相同的速度沿著一條與物平面垂直的直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間掃過(guò)的體積是一柱體。顯然，巴普斯定理成立。一般情況下，平面物體上海一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)保持與物平面垂直，而各質(zhì)點(diǎn)速度并不相等，質(zhì)心將沿曲線運(yùn)動(dòng)，平面物體在空間將掃出一個(gè)不規(guī)則體積。我們要證明巴昔斯定理仍能得到滿(mǎn)足。下面分步給出證明。易知，質(zhì)心為原點(diǎn)的質(zhì)心參照系下，質(zhì)心的位置坐標(biāo)必為零。對(duì)于平面物體情況，在物平面內(nèi)建立坐標(biāo)OXY(z軸垂直此面)，坐標(biāo)原點(diǎn)O與質(zhì)心C重合，因質(zhì)心X坐標(biāo)XC＝0，得我們已經(jīng)知道，剛體的一個(gè)無(wú)限小運(yùn)動(dòng)可以由剛體上任一參考點(diǎn)的無(wú)限小平動(dòng)和繞此參考點(diǎn)的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)疊加而成?，F(xiàn)在我們把平面物體的運(yùn)動(dòng)分成無(wú)限多個(gè)無(wú)限小運(yùn)動(dòng)。每個(gè)無(wú)限小運(yùn)動(dòng)分解成隨質(zhì)心的無(wú)限小平動(dòng)和繞質(zhì)心的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)。為保證巴普斯定理中對(duì)平面物體運(yùn)動(dòng)的要求，應(yīng)滿(mǎn)足：隨質(zhì)心的無(wú)限小平動(dòng)必須垂直于物平面；繞質(zhì)心的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸必須在物平面上。討論符合巴普斯定理要求的平面物體運(yùn)動(dòng)中第i個(gè)無(wú)限小運(yùn)動(dòng)。本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！設(shè)隨質(zhì)心的第 i個(gè)無(wú)限小平動(dòng)位移的 Zi，則平面物體掃過(guò)的體積元為其中S為平面物體面積。設(shè)繞過(guò)質(zhì)心在物平面上的轉(zhuǎn)軸為 y軸，第i個(gè)無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的角位移為 Δα。利用XC＝0，得其中σ為平面物體質(zhì)量面密度，對(duì)于質(zhì)量均勻分布的平面物體，σ為常量。 Si為平面物體上面元的面積。設(shè)各面元在無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)下轉(zhuǎn)過(guò)的路徑 li為因平面物體上各質(zhì)點(diǎn) Δα相同，所以則此式表示，由無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)所引起的各面元在空間掃過(guò)的體積正好抵消(這只有在坐標(biāo)原點(diǎn)選在質(zhì)心上，才有此結(jié)論 )。對(duì)于整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，此結(jié)論依然成立。因此，在滿(mǎn)足巴普斯定理的運(yùn)動(dòng)要求下，面物體在空間掃過(guò)的體積為其中∑ΔZi為平面物體運(yùn)動(dòng)中質(zhì)心經(jīng)歷的路程。巴普斯定理得證。例1：求兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b的直角三角形，質(zhì)量均勻分布，求質(zhì)心的位置。（x=b/3，y=a/3）本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！例2：求均勻半圓盤(pán)的質(zhì)心位置。設(shè)圓半徑為R。（x=4R/3π）巴普斯定理的一個(gè)推論同樣很實(shí)用。此推論表述為一條質(zhì)量均勻分布的平面曲線，其上各點(diǎn)沿垂直于曲線平面方向運(yùn)動(dòng)，在空間掃過(guò)一曲面，則此曲面面積等于質(zhì)心在運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)路程與曲線長(zhǎng)度的乘積。這個(gè)推論的正確性，只要把此平面曲線看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的結(jié)論得到。例3：求質(zhì)量均勻分布的半圓形金屬線的質(zhì)心位置。設(shè)圓半徑為R。（x=2R/π）例4：如圖(a)所示，由勻質(zhì)金屬絲圍成的封閉圖形，其中曲線部分是半徑為R的半圓，直線部分是直徑。求此封閉金屬絲的質(zhì)心位置。（2R/（2+π））3、物體平衡的種類(lèi)當(dāng)物體達(dá)到平衡以后受到微小擾動(dòng)而偏離平衡位置時(shí)， 如果這物體在各力的作用下將繼續(xù)偏離平衡位置而不會(huì)再回復(fù)到平衡位置，這種平衡叫不穩(wěn)定平衡。如帶正電的小球處在兩個(gè)帶等量負(fù)電荷小球連線的中點(diǎn)時(shí)。本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！如果平衡的物體受外界的微小擾動(dòng)偏離平衡位置時(shí)， 這物體在所受各力作用下將回到平衡位置，這種平衡叫穩(wěn)定平衡。如帶正電小球處在兩等量正電荷小球連線的中點(diǎn)時(shí)。如果平衡的物體受外界的微小的擾動(dòng)偏離平衡位置時(shí)， 這物體所受的合力仍為零，而能在新位置繼續(xù)保持平衡狀態(tài)，這種平衡叫隨遇平衡。如與液體密度相同的實(shí)心物體浸沒(méi)在液體內(nèi)部。4、物體平衡種類(lèi)的判斷方法1）受力分析法當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到外界的擾動(dòng)稍微偏離平衡位置以后，如果所受合外力指向平衡位置，則此質(zhì)點(diǎn)的平衡是穩(wěn)定的；如果所受的合外力背離平衡位置，則此質(zhì)點(diǎn)的平衡是不穩(wěn)定的：如果所受的合外力為零，則質(zhì)點(diǎn)處于隨遇平衡狀態(tài)。2）力矩比較法對(duì)于有支軸的剛性物體，當(dāng)它受外界擾動(dòng)而偏離平衡位置時(shí)，如果外力會(huì)引起一個(gè)回復(fù)力矩，此力矩有把物體拉回到原平衡位置的傾向，則稱(chēng)物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；如果外力會(huì)引起一推斥力矩，它有把物體推離原平衡位置的傾向，則稱(chēng)物體處于本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！不穩(wěn)定狀態(tài)；如果物體所受合力矩仍為零，則稱(chēng)物體處于隨遇平衡狀態(tài)。（3）重心升降法對(duì)受重力和支持力作用而平衡的物體（包括質(zhì)點(diǎn)和剛體兩種），判斷其平衡種類(lèi)時(shí)，常可用重心升降法。即若使物體稍微偏離平衡位置，如