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文檔簡介

§5

微積分學(xué)基本定理

一、變限積分與原函數(shù)的存在性

本節(jié)將介紹微積分學(xué)基本定理,并用以證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性.在此基礎(chǔ)上又可導(dǎo)出定積分的換元積分法與分部積分法.

三、泰勒公式的積分型余項(xiàng)

二、換元積分法與分部積分法返回一、變限積分與原函數(shù)的存在性積分;類似稱為變下限的定積分.定理9.9(變上限定積分的連續(xù)性)證則為變上限的定于是定理9.10（微積分學(xué)基本定理)若f在

[a,b]上連續(xù),上處處可導(dǎo),且由

x的任意性,

f在

[a,b]上連續(xù).證由于

f在

x處連續(xù)，因此注1

本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分這兩個(gè)表面上似續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)”這個(gè)重要結(jié)論.乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系,也證明了“連注2

由于f的任意兩個(gè)原函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù),所以當(dāng)f為連續(xù)函數(shù)時(shí),它的任一原函數(shù)F必為二、換元積分法與分部積分法則定理9.12（定積分換元積分法）注與不定積分不同之處:定積分換元后不一定要例1解（不變?cè)?不變限）元積分法時(shí)，引入了新變量，此時(shí)須改變積分限.保留原積分變量，因此不必改變積分限;用第二換用原變量代回.一般說來，用第一換元積分法時(shí)，例2解（變?cè)?變限）例3解（必須注意偶次根式的非負(fù)性）例4解因此,積分的分部積分公式：若

u(x),v(x)為

[a,b]上的連續(xù)可微函數(shù),則有定定理9.13（定積分分部積分法）例5解例6

計(jì)算解例7.

計(jì)算解令

例8.

計(jì)算解若

u(x),v(x)在

[a,b]上有

(n+1)階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則由此可得以下

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