數(shù)字信號(hào)處理第6章

1第6章傅里葉變換的應(yīng)用

6.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法6.1信號(hào)的傳輸與濾波6.3信號(hào)的采樣6.4調(diào)制與解調(diào)6.5MATLAB在信息處理與通信中的應(yīng)用

26.1信號(hào)的傳輸與濾波6.1.1無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵疙憫?yīng)信號(hào)與激勵(lì)信號(hào)相比，只有幅度大小和出現(xiàn)時(shí)間的不同，而沒(méi)有波形上的變化。1.時(shí)域條件-------常數(shù)，其中：-------滯后時(shí)間線性系統(tǒng)

32.頻域條件對(duì)式（6.1.1）兩邊取傅氏變換，得：即6.1信號(hào)的傳輸與濾波

4無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足如下兩個(gè)條件：（1）系統(tǒng)的幅頻特性在整個(gè)頻率范圍內(nèi)為常數(shù)；（2）系統(tǒng)的相頻特性在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)與成正比變化。6.1.2理想濾波器

理想濾波器：在通帶（pass-band）內(nèi)，濾波器的幅頻特性為常數(shù)，相頻特性呈線性；而在阻帶（stop-band）內(nèi)，濾波器的幅頻特性立即降為零。

6.1信號(hào)的傳輸與濾波

56.1信號(hào)的傳輸與濾波理想低通濾波器是將頻率低于的所有信號(hào)予以無(wú)失真地傳輸，而將頻率高于的信號(hào)完全抑制。00或---截止頻率1、理想低濾波器

66.1信號(hào)的傳輸與濾波（1）沖激響應(yīng)當(dāng)時(shí)，的特點(diǎn)：響應(yīng)超前于激勵(lì)（非因果系統(tǒng)）000

76.1信號(hào)的傳輸與濾波（2）階躍響應(yīng)令則

86.1信號(hào)的傳輸與濾波---------正弦積分00

96.1信號(hào)的傳輸與濾波g(t)的特點(diǎn)：a)響應(yīng)波形的前沿是傾斜的，響應(yīng)信號(hào)的建立需要一段時(shí)間。-------階躍響應(yīng)的建立（上升）時(shí)間0000

106.1信號(hào)的傳輸與濾波b)理想低通濾波器階躍響應(yīng)的建立（上升）時(shí)間與濾波器的截止頻率成反比。c）響應(yīng)與激勵(lì)相比有波紋。

最大波峰的高度約為跳變值的8.95%左右（波峰值為1.0895),它與無(wú)關(guān)。

--------吉伯斯現(xiàn)象階躍響應(yīng)g(t)的第一個(gè)極大值發(fā)生在處，將它代入到式(6.1-8)中，得到階躍響應(yīng)的極大值:0

116.1信號(hào)的傳輸與濾波矩形脈沖響應(yīng)除了比矩形脈沖輸入延遲一段時(shí)間t0外，矩形脈沖響應(yīng)的波形也不再是矩形脈沖，即產(chǎn)生了失真。（3）矩形脈沖響應(yīng)00

126.1信號(hào)的傳輸與濾波a)失真的程度既與理想低通濾波器的頻帶寬度有關(guān)，也與矩形脈沖的頻帶寬度或脈沖寬度有關(guān)。為矩形脈沖的頻帶寬度

136.1信號(hào)的傳輸與濾波b)不同的理想低通濾波器對(duì)矩形脈沖的響應(yīng)

146.1信號(hào)的傳輸與濾波在下述情況下，會(huì)產(chǎn)生吉伯斯現(xiàn)象：1）激勵(lì)有跳變；2）系統(tǒng)的帶寬為有限值。0000

156.1信號(hào)的傳輸與濾波2、理想帶通濾波器

166.1信號(hào)的傳輸與濾波這是以等效低通濾波器的沖激響應(yīng)為包絡(luò)的正弦調(diào)幅信號(hào)。

176.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法6.2.1系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性從時(shí)域上看，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)滿足：（即物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)）從頻域上看，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的頻響特性應(yīng)滿足：---------佩利-維納準(zhǔn)則（Paley-Winnercriterion）

一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的實(shí)際濾波器的特性只能是理想特性的最佳逼近。

186.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法6.2.2典型模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法通帶

過(guò)渡帶

阻帶0通帶公差帶阻帶公差帶通帶邊界頻率阻帶邊界頻率低通濾波器的實(shí)際特性：

196.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法1.巴特沃茲（Butterworth）濾波器（最大平坦幅度特性）n=3n=2n=6---------截止頻率n---------階數(shù)模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)（濾波器的幅頻特性），確定系統(tǒng)函數(shù)H(s)；(2)設(shè)計(jì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)H(s)。0

206.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法巴特沃茲濾波器的極點(diǎn)分布特征：

216.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法令即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：設(shè)n=2,則

226.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法可以證明：選左半s平面的兩個(gè)極點(diǎn)作為H(s)的極點(diǎn)，則一般形式：---------巴特沃茲多項(xiàng)式(參見P189表6.2-1)0

236.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法例6.2-1如圖所示，設(shè)計(jì)一低通巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。要求在通帶邊界頻率=200rad/s處，幅度衰減δp≤2dB，在阻帶邊界頻率=400rad/s處，幅度衰減δs≥15dB。解：由于通帶邊界頻率處幅度衰減不為3dB，因此要根據(jù)通帶和阻帶的衰減要求，聯(lián)立方程。

246.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法上述兩式取等號(hào)可求出由于濾波器的階數(shù)n必須是整數(shù)，為了滿足和超過(guò)所給的技術(shù)指標(biāo)，n應(yīng)取3。

256.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法c=687rad/s通過(guò)查表6.2-1并將s用代替，最后可得巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)后，通?？梢圆捎脽o(wú)源網(wǎng)絡(luò)或有源網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

266.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法2.切比雪夫(Chebyshew)濾波器第一類切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性

276.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法2.切比雪夫(Chebyshew)濾波器第二類切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性除了以上兩種濾波器之外，還有橢圓濾波器。橢圓濾波器的幅頻特性在通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)都具有等波紋特性。

286.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法6.2.3頻率變換低通濾波器其它類型濾波器（高通、帶通、帶阻）（原型低通濾波器）原型變換設(shè)計(jì)步驟：(1)根據(jù)所設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)要求，導(dǎo)出相應(yīng)的原型低通指標(biāo)；(2)確定原型低通的H(s)；(3)根據(jù)頻率變換關(guān)系得到所設(shè)計(jì)的濾波器的H(s)。

296.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法低通濾波器高通濾波器設(shè)：－－－低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（角頻率為截止角頻率為）－－－高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（角頻率為截止角頻率為）變換關(guān)系：令有

上式表明：s平面中的虛軸正好映射到p平面的虛軸上，其變換關(guān)系為：

306.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法與之間的關(guān)系：從原型低通濾波器到高通濾波器的變換關(guān)系為：低通原型濾波器與其它類型濾波器的變換參見表6.2-2。000

316.3信號(hào)的采樣6.3.1信號(hào)采樣的概念

所謂“采樣”就是利用采樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列的離散樣值，這種離散信號(hào)通常稱為“采樣信號(hào)”。采樣后信號(hào)fs(t)，可以看成是原信號(hào)

f(t)和一采樣脈沖序列p(t)的乘積。

采樣的模型

326.3信號(hào)的采樣

當(dāng)采樣脈沖是周期矩形序列，將這種采樣稱為矩形脈沖采樣或稱為自然采樣。當(dāng)采樣脈沖是單位沖激序列，這種采樣稱為沖激采樣或理想采樣。相乘

336.3信號(hào)的采樣6.3.2采樣信號(hào)的傅里葉變換其中：E0令連續(xù)信號(hào)f(t)的傅里葉變換為采樣脈沖p(t)的傅里葉變換為采樣后信號(hào)fs(t)的傅里葉變換為所以，

346.3信號(hào)的采樣（1）矩形脈沖采樣E

356.3信號(hào)的采樣

366.3信號(hào)的采樣Fs(jΩ)

是將F(jΩ)在以Ωs為周期的重復(fù)過(guò)程中幅度以的規(guī)律變化。

由于沖激序列的傅里葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以F(jΩ)是以Ωs為周期等幅地重復(fù)。（2）沖激采樣tp(t)Ts(1)0

376.3信號(hào)的采樣

386.3信號(hào)的采樣6.3.3采樣定理

用采樣脈沖對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，采樣信號(hào)能否代表原連續(xù)信號(hào)呢？如果能則又如何從采樣信號(hào)中恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)？

從上圖可知：只有滿足

才不會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊，即保留了原連續(xù)時(shí)間信號(hào)的全部信息。

這時(shí)只要將施加于“理想低通濾波器”，就可恢復(fù)原信號(hào)f(t)。

ΩFs(jΩ)Ω

m-Ω

m1/TsΩ

s-Ω

s0理想采樣信號(hào)的頻譜如右圖所示

396.3信號(hào)的采樣

406.3信號(hào)的采樣

通常把最低不失真采樣樣率稱為奈奎斯特采樣率，把最大不失真采樣間隔稱為奈奎斯特間隔。即或：采樣定理：一個(gè)頻譜受限的信號(hào)f(t)，如果頻譜只占據(jù)-Ωm~Ωm的范圍，則信號(hào)f(t)可以用等間隔的采樣值來(lái)惟一地表示。采樣頻率必須大于2fm（)或者說(shuō)采樣間隔必須小于1/2fm,()。

416.3信號(hào)的采樣實(shí)際上，理想低通濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的。另一方面，實(shí)際被傳輸?shù)男盘?hào)，一般不是頻帶受限信號(hào)。

采樣信號(hào)通過(guò)實(shí)際低通濾波器非頻帶受限信號(hào)采樣后頻譜的混疊現(xiàn)象

426.3信號(hào)的采樣6.3.4從采樣信號(hào)恢復(fù)連續(xù)信號(hào)為了從頻譜中無(wú)失真地選出，可以將采樣信號(hào)通過(guò)一理想低通濾波器，低通濾波器的頻率特性為其中

從頻域角度講，濾波器輸出端的頻譜就是與相乘。

即濾波器的輸出端可以得到頻譜為的連續(xù)信號(hào)當(dāng)采樣信號(hào)的頻譜無(wú)混疊時(shí)，就與采樣前的連續(xù)時(shí)間信號(hào)一樣。

436.3信號(hào)的采樣下面再?gòu)臅r(shí)域角度來(lái)看如何由采樣信號(hào)恢復(fù)

446.3信號(hào)的采樣若取上式說(shuō)明，連續(xù)信號(hào)f(t)可以展開成正交抽樣函數(shù)（Sa函數(shù)）的無(wú)窮級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的系數(shù)等于采樣值

456.3信號(hào)的采樣

466.3信號(hào)的采樣解:（1）奈奎斯特取樣率為：例6.3-1：已知信號(hào)用對(duì)其進(jìn)行取樣，（1）確定奈奎斯特取樣率；（2）若取求取樣信號(hào)并畫出波形圖；（3）求并畫出頻譜圖；（4）確定低通濾波器的截止頻率00

476.3信號(hào)的采樣（2）0

486.3信號(hào)的采樣（3）即（4）低通濾波器的截止頻率應(yīng)滿足下式：00

496.3信號(hào)的采樣例6.3-2：大致畫出下圖所示周期矩形信號(hào)沖激取樣后信號(hào)的頻譜。若被間隔為Ts的沖激序列所取樣，令取樣后的信號(hào)為,求其傅里葉變換。解:首先求出對(duì)應(yīng)于的單脈沖信號(hào)0

506.3信號(hào)的采樣000時(shí)域周期延拓頻域采樣時(shí)域采樣頻域周期延拓

516.3信號(hào)的采樣f0(t)以T1為周期重復(fù)，構(gòu)成其中：

526.3信號(hào)的采樣所以

536.3信號(hào)的采樣若被間隔為的沖激序列所采樣，便構(gòu)成了周期矩形采樣信號(hào)

546.3信號(hào)的采樣

556.4調(diào)制與解調(diào)6.4.1調(diào)制的概念及調(diào)制的分類1.調(diào)制的概念2.調(diào)制的目的（1）便于信號(hào)的輻射（2）便于多路通信調(diào)制就是由攜帶信息且需要傳送的調(diào)制信號(hào)去控制不含信息的高頻載波信號(hào)的一個(gè)或某幾個(gè)參數(shù)，使這些參數(shù)按照信號(hào)的規(guī)律變化，從而形成具有高頻頻譜的窄帶信號(hào)。

566.4調(diào)制與解調(diào)3.調(diào)制的分類（1）按調(diào)制信號(hào)g(t)的不同進(jìn)行分類

a)模擬調(diào)制：g(t)為模擬信號(hào)。典型波形為單頻正弦波。

b）數(shù)字調(diào)制：g(t)為數(shù)字信號(hào)。典型代表為二進(jìn)制數(shù)字脈沖序列。（2）按載波信號(hào)c(t)的不同進(jìn)行分類

a)連續(xù)波調(diào)制：c(t)為連續(xù)波形。典型代表為正弦波。

b）脈沖調(diào)制：c(t)為脈沖波形。典型代表為矩形脈沖序列。（3）按調(diào)制器的功能不同進(jìn)行分類

a)幅度調(diào)制（調(diào)幅）：用g(t)改變c(t)的幅度參數(shù)（即：載波c(t)的幅度隨g(t)成比例地變化）。如：常規(guī)調(diào)幅（AM)、脈沖調(diào)幅(PAM)、抑制載波調(diào)幅(SC-AM)等。

576.4調(diào)制與解調(diào)

b）頻率調(diào)制（調(diào)頻）：用g(t)改變c(t)的頻率參數(shù)（即：載波c(t)的頻率隨g(t)成比例地變化）。如：調(diào)頻（FM)、脈沖調(diào)頻(PFM)等。

c）相位調(diào)制（調(diào)相）：用g(t)改變c(t)的相位參數(shù)（即：載波c(t)的相位隨g(t)成比例地變化）。如：調(diào)相（PM)、脈沖調(diào)相(PPM)等。調(diào)頻與調(diào)相都表現(xiàn)為總相角受到調(diào)制，所以總稱為角度調(diào)制（調(diào)角）。幅度調(diào)制為線性調(diào)制，角度調(diào)制為非線性調(diào)制。本章我們只討論線性調(diào)制。

586.4調(diào)制與解調(diào)6.4.2調(diào)幅信號(hào)的傅里葉變換--------調(diào)制信號(hào)--------載波信號(hào)--------已調(diào)制信號(hào)調(diào)幅的一般模型根據(jù)g(t)與c(t)的不同，分別介紹以下幾種調(diào)幅信號(hào)及其傅里葉變換：

596.4調(diào)制與解調(diào)1.常規(guī)調(diào)幅（AM）--------g(t)中的直流分量--------g(t)中載有信息的交變分量為討論問(wèn)題方便起見，設(shè)則（1）

606.4調(diào)制與解調(diào)AM調(diào)制不失真的條件是：0000反相點(diǎn)過(guò)調(diào)制失真0

616.4調(diào)制與解調(diào)設(shè)：

626.4調(diào)制與解調(diào)把若干個(gè)要傳送的信號(hào)分別搬移到不同的載頻上，就可以在同一信道內(nèi)同時(shí)傳送幾個(gè)信號(hào)。用這種辦法構(gòu)成的通信系統(tǒng)稱為頻分多路復(fù)用（FDM，frequency-divisionmultiplex）系統(tǒng)。00

636.4調(diào)制與解調(diào)2.雙邊帶抑制載波調(diào)幅（DSB）在上式中令則（3）00

646.4調(diào)制與解調(diào)0反相點(diǎn)0

656.4調(diào)制與解調(diào)3.脈沖幅度調(diào)制

載波信號(hào)是一個(gè)矩形脈沖串時(shí)，這種類型的幅度調(diào)制稱為脈沖幅度調(diào)制（PAM）。E0

666.4調(diào)制與解調(diào)

676.4調(diào)制與解調(diào)脈沖幅度調(diào)制的重要應(yīng)用之一是在一個(gè)單一的信道上傳輸多路信號(hào)?？梢詫?shí)現(xiàn)時(shí)分多路復(fù)用（time-divisionmultiplex）

686.4調(diào)制與解調(diào)6.4.3解調(diào)概念解調(diào)又稱為檢波，它是從s(t)恢復(fù)g(t)的過(guò)程。1.常規(guī)調(diào)幅信號(hào)的解調(diào)由左圖可見：的包絡(luò)與g(t)成線性關(guān)系。因此，可以采用最簡(jiǎn)單、廉價(jià)的包絡(luò)檢波器（由二極管、電阻、電容組成）來(lái)恢復(fù)原調(diào)制信號(hào)。0

696.4調(diào)制與解調(diào)2.雙邊帶抑制載波調(diào)幅信號(hào)的解調(diào)由左圖可見：的包絡(luò)并不與g(t)成線性關(guān)系，而是隨而變化，因此其包絡(luò)并不包含g(t)的全部信息。因而不能采用包絡(luò)檢波的方法。

雙邊帶抑制載波調(diào)幅信號(hào)的解調(diào)必須采用相干（同步）解調(diào)的方法。0相乘低通濾波器（本地載波）

706.4調(diào)制與解調(diào)（3）相乘低通濾波器（本地載波）將（3）式代入（4）式得：

716.4調(diào)制與解調(diào)0再通過(guò)一個(gè)截止頻率為理想低通濾波器，即可取出。其中滿足：0

726.4調(diào)制與解調(diào)000

736.4MATLAB在信息處理與通信中的應(yīng)用線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的主要功能是對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，將需要的信號(hào)保留或放大，將不需要的信號(hào)濾除或削弱。在MATLAB中，模擬濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)相當(dāng)成熟，主要有巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器四種類型。在信息通信中，對(duì)信號(hào)進(jìn)行線性變換的方法，主要有信號(hào)的采樣與重構(gòu)、調(diào)幅變換，在MATLAB中，這兩種變換方法沒(méi)有直接實(shí)現(xiàn)函數(shù)，需要通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)。例6.5-1設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，其性能指標(biāo)為：通帶邊界頻率，通帶最大衰減，阻帶最小衰減。分別用巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器四種設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)上述濾波器，并繪制各濾波器的幅頻特性曲線。，阻帶邊界頻率

746.4MATLAB在信息處理與通信中的應(yīng)用

解:MATLAB信號(hào)處理工具箱為用戶提供了可以直接得到最優(yōu)濾波器階數(shù)的函數(shù)，即Buttord，Cheb1ord，Cheb2ord和Ellipord。通過(guò)上述函數(shù)可以得到濾波器的最小階數(shù)和截止頻率，從而設(shè)計(jì)出滿足要求的濾波器。Wp=1000;Ws=2500;Rp=1;Rs=30;w=linspace(1,3000,1000);[N1,Wn1]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N1％巴特沃思濾波器的最小階數(shù)[N2,Wn2]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N2[N3,Wn3]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N3[N4,Wn4]=Ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N4[b1,a1]=butter(N1,Wn1,'s');h1=freqs(b1,a1,w);％butter設(shè)計(jì)巴特沃思濾波器subplot(2,2,1);plot(w,abs(h1));grid;xlabel('rad/s');title('巴特沃思濾波器');[b2,a2]=cheby1(N2,Rp,Wn2,'s');h2=freqs(b2,a2,w); subplot(2,2,2);plot(w,abs(h2));grid;xlabel('rad/s');title('切比雪夫Ⅰ型濾波器');[b3,a3]=cheby2(N3,Rs,Wn3,'s');h3=freqs(b3,a3,w); subplot(2,2,3);plot(w,abs(h3));grid;xlabel('rad/s');title('切比雪夫Ⅱ型濾波器');[b4,a4]=Ellip(N4,Rp,Rs,Wn4,'s');h4=freqs(b4,a4,w); subplot(2,2,4);plot(w,abs(h4));grid;xlabel('rad/s');title('橢圓濾波器');

756.4MATLAB在信息處理與通信中的應(yīng)用命令窗口會(huì)出現(xiàn)N1=5，N2=4，N3=4，N4=3，說(shuō)明同樣的性能指標(biāo)，用巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)需要5階，用切比雪夫Ⅰ、Ⅱ型濾波器設(shè)計(jì)需要4階，用橢圓濾波器設(shè)計(jì)只需3階。當(dāng)然橢圓濾波器存在通帶和阻帶的波動(dòng)。

766.4MATLAB在信息處理與通信中的應(yīng)用例6.5-2