數(shù)學(xué)建模-微分、積分和微分方程

微分、積分和微分方程實驗四定積分--連續(xù)求和定積分--連續(xù)求和三種方法計算數(shù)值積分（1）定義法，取近似和的極限。高等數(shù)學(xué)中不是重點內(nèi)容但數(shù)值積分的各種算法卻是基于定義建立的

（2）用不定積分計算定積分。不定積分是求導(dǎo)的逆運算，而定積分是連續(xù)變量的求和（曲邊梯形的面積）表面上看是兩個完全不同的概念，通過牛頓－萊布尼茲公式聯(lián)系在一起，（3）解微分方程計算定積分微積分學(xué)基本定理特別，F(xiàn)(b)-F(a)就是所需的定積分.在高等數(shù)學(xué)中總是期望求出不定積分的封閉解.但數(shù)值積分是更有用的工具。牛頓－萊布尼茲公式不愧為微積分的“基本定理”?；径ɡ淼耐茝V（解微分方程計算定積分）基本定理的推廣（解微分方程計算定積分）解微分方程的Eular折線法解微分方程的Eular折線法將區(qū)間n=4等分（共有5個分點)；計算分點和相應(yīng)的函數(shù)值（x(1),x(2),x(3)x(4)x(5))（f(1),f(2),f(3),f(4),f(5))在第一個子區(qū)間[x(1),x(2)]上，畫出折線段y(2)=y(1)+f(1)*(x-x(1))代替解曲線段y(x)，這里y(1)=y0=0折線段的起點為[x(1),y(1)]，終點為[x(2),y(2)].運行exp4_1.m，觀察第二、三、四子區(qū)間的情況。符號微積分用Matlab符號工具箱（SymbolicToolbox）可以進行符號演算符號微積分(創(chuàng)建符號變量）

symvar創(chuàng)建單個符號變量；symsvar1var2…

創(chuàng)建多個符號變量；f=sym(‘符號表達式’)創(chuàng)建符號表達式，賦予f；

equ=sym('equation')創(chuàng)建符號方程

。符號微積分(極限）limit(‘表達式’,var,a)：求當(dāng)var→a，表達式的極限例：求極限：symsxaI1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0)運行結(jié)果符號微積分(求導(dǎo)）diff(f,‘var’,n)求f對變量var的n階導(dǎo)數(shù)缺省n時為求一階導(dǎo)數(shù)缺省變量'var'時，默認(rèn)變量為x可用來求單變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還可以求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號微積分(求導(dǎo)）例：求symsxyf=sym('exp(-2*x)*

cos(3*

x^(1/2))')diff(f,x)運行符號微積分(求導(dǎo)）symsxyg=sym('g(x,y)')f=sym('f(x,y,g(x,y))')diff(f,x)diff(f,x,2)運行例：求符號微積分(積分）int(f,var)：求函數(shù)f的不定積分；int(f,var,積分下限，積分上限)：求函數(shù)f的定積分或廣義積分例：求不定積分symsxyzI1=int(sin(x*y+z),z)符號微積分(積分）symsxyzI2=int(1/(3+2*x+x^2),x,0,1)I3=int(1/(3+2*x+x^2),x,-inf,inf)符號微積分(化簡、提取和代入)符號運算的結(jié)果比較繁瑣，使用化簡指令可對其進行化簡。但是不能指望機器可以完成一切，人的推理往往必須的。常用的化簡指令如下展開指令：expand(表達式)；因式分解：factor(表達式)降冪排列：collect（表達式，var）；一般化簡：simplify(A)；符號微積分(化簡、提取和代入)觀察：將展開(a+x)^6-(a-x)^6，然后作因式分解。t_expand=expand(t)t_factor=factor(t_expand)t_simplify=simplify(t)觀察結(jié)果數(shù)值微積分（梯形公式和辛普森公式）trapz(x,y)，按梯形公式計算近似積分；其中步長x=[x0x1…xn]和函數(shù)值y=[f0f1…fn]為同維向量，q=quad('fun',a,b,tol,trace,P1,P2,...)（低階方法，辛普森自適應(yīng)遞歸法求積）q=quad8('fun',a,b,tol,trace,P1,P2,...)（高階方法，自適應(yīng)法Cotes求積）在同樣的精度下高階方法quad8要求的節(jié)點較少。［x,y］=ode23('fun',tspan,y0,option)（低階龍格－庫塔函數(shù)）［x,y］=ode45('fun',tspan,y0,option)（高階龍格－庫塔函數(shù)）應(yīng)用、思考和練習(xí)(追擊問題)我緝私雷達發(fā)現(xiàn)，距離d處有一走私船正以勻速a沿直線行駛，緝私艦立即以最大速度（勻速v）追趕。若用雷達進行跟蹤，保持船的瞬時速度方向始終指向走私船，緝私艦的運動軌跡是怎樣的？是否能夠追上走私船？如果能追上，需要用多長時間？應(yīng)用、思考和練習(xí)(追擊問題)應(yīng)用、思考和練習(xí)(追擊問題)r=dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)方程的符號解symsydrxs1=dsolve('D2x=-r*sqrt(1+Dx^2)/y','x(20)=0','Dx(20)=0','y')

xs=simplify(xs1)運行結(jié)果，畫彗星圖應(yīng)用、思考和練習(xí)(追擊問題)r=dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)方程的符號解symsydrxs1=dsolve('D2x=-r*sqrt(1+Dx^2)/y','x(20)=0','Dx(20)=0','y')

xs=simplify(xs1)運行結(jié)果，畫彗星圖應(yīng)用、思考和練習(xí)(追擊問題，如果雷達失效)當(dāng)緝私艦雷達發(fā)現(xiàn)d處有一走私船后，雷達突然損壞若假定走私船作勻速直線運動（但不知方向），且緝私艦艇速度v大于走私船速度a，則緝私艦應(yīng)采用什么樣的航行路線，不管走私船從哪個方向逃跑，都能追捕上它？實時動畫制作（見實驗10）觀察：模擬彈簧振動討論最簡單的情形，一彈簧系統(tǒng)作橫向運動，其位移由u=2+cos(t)所決定，仿真彈簧的振動實時動畫制作(初始化、見實驗10）程序講解animinit('onecart1Animation')axis([-26-1010]);holdon;u=2;

xy=[0000uuu+1u+1uu;-1.201.2001.21.2-1.2-1.20];x=xy(1,:);y=xy(2,:);plot([-1020],[-1.4-1.4],'k-','LineWidth',2);hndl=plot(x,y,'k-','EraseMode','XOR','LineWidth',2)

實時動畫制作(初始化、見實驗10）zxy10-2set(gca,'UserData',hndl);fort=1:0.025:1000;u=2+exp(-0.00*t)*cos(t);x=[0000uuu+1u+1uu];

hndl=get(gca,'UserData');set(hndl,'XData',x,'YData',y);drawnowend電影動畫制作（zxy7_3)moviein、getframe、movie指令x=-8:0.5:8;[XX,YY]=meshgrid(x);r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;Z=sin(r)./r;surf(Z);%畫出禎theAxes=axis;%保存坐標(biāo)值，使得所有幀都在同一坐標(biāo)系中電影動畫制作fmat=moviein(20);%創(chuàng)建動畫矩陣，保存20禎forj=1:20;%循環(huán)創(chuàng)建動畫數(shù)據(jù)surf(sin(2*pi*j/20)*Z,Z)%畫出每一步的曲面axis(theAxes)%使用相同的坐標(biāo)系fmat(:,j)=getframe;%拷貝禎到矩陣fmat中endmovie(fmat,10)%演示動畫10次應(yīng)用、思考和練習(xí)(槍支的設(shè)計)槍支發(fā)火后，氣體壓強隨子彈在膛內(nèi)的運動而變化。槍管長度x的單位為m。壓強p是距離x的函數(shù)，通過實測得到了的一批數(shù)據(jù)，子彈射出槍管時的出口速度是設(shè)計者關(guān)心的問題，如果一只槍管長0.6096m，其膛孔面積4.56×10-5