數(shù)學(xué)建模變分法建模

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第六講變分法建模?處理動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題?問題歸結(jié)為求最優(yōu)控制函數(shù)使某個(gè)泛函達(dá)到最大或最小6.1變分法簡(jiǎn)介6.2掌舵問題6.1變分法簡(jiǎn)介一實(shí)例最速下降問題求一條曲線

，使得物體在重力的作用下(不計(jì)摩擦力)，由

沿著該曲線軌道滑到

所需的時(shí)間最少(見圖1)。

圖6-1由能量守恒定律，物體在曲線軌道上任意一點(diǎn)處的速度為

物體從A到B的滑行時(shí)間為問題求解變分問題二變分法的基本概念

泛函

設(shè)S為一函數(shù)集合，若對(duì)S中的每一函數(shù)都有一個(gè)確定的數(shù)J與之相對(duì)應(yīng)，則稱J為定義在S上的一個(gè)泛函，記作J[y(x)]。S稱為泛函J[y(x)]的定義域。

最簡(jiǎn)泛函的形式

泛函的變分

函數(shù)在的增量

函數(shù)的變分其中L是的線性項(xiàng)，

而

是的高階項(xiàng)

泛函J在

的變分

泛函的極值

泛函

取得極小值(極大值)是指：對(duì)于任意一個(gè)與

接近的

都有

變分與極值的關(guān)系

泛函數(shù)極值的必要條件

若達(dá)到極值(極小或極大)，則

三最簡(jiǎn)泛函取得極值的必要條件

歐拉方程

注：此最簡(jiǎn)泛函極值的必要條件可以推廣到含有兩個(gè)及兩個(gè)以上未知函數(shù)歐拉方程組最速下降問題的求解其中任意常數(shù)

由邊界條件

確定

例解四條件極值拉格朗日乘子法

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