數(shù)字信號課件第3章

數(shù)字信號處理課程組

電子與信息工程學(xué)院數(shù)字信號處理及DSP技術(shù)

(DigitalSignalProcessingandDSPTechnology)第3章快速傅里葉變換3.1引言3.2直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)的途徑3.3按時(shí)間抽?。―IT）的基2-FFT算法3.4按頻率抽取（DIF）的基2-FFT算法3.5N為復(fù)合數(shù)的FFT算法3.6線性調(diào)頻Z變換（Chirp-Z變換）算法3.7利用FFT分析時(shí)域連續(xù)信號頻譜3.8FFT的其他應(yīng)用3.1引言

快速傅里葉變換（FFT）并不是一種新的變換，而是DFT的一種快速算法。離散傅里葉變換（DFT）在數(shù)字信號處理中是非常有用的。例如，在信號的頻譜分析、系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)中都會(huì)用到DFT的計(jì)算。但計(jì)算量太大，很難對問題進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，所以并沒有得到真正的運(yùn)用。直到1965年首次發(fā)現(xiàn)了快速傅里葉變換（FFT）的算法。使DFT的運(yùn)算大大簡化，運(yùn)算時(shí)間一般可縮短一二個(gè)數(shù)量級之多，從而使DFT的運(yùn)算在實(shí)際中真正得到了廣泛的應(yīng)用。3.2直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)的途徑3.2.1直接計(jì)算DFT的運(yùn)算量問題k=0,1,…,N-1（3-1）n=0,1,…,N-1（3-2）二者只是WN的指數(shù)符號不同，以及差一個(gè)因子1/N，所以IDFT與DFT具有相同的運(yùn)算工作量。

一般來說，x(n)和WNnk都是復(fù)數(shù)，X(k)也是復(fù)數(shù)，因此每計(jì)算一個(gè)X(k)值，需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法。

X(k)一共有N個(gè)點(diǎn)（k從0取到N-1），所以完成整個(gè)DFT運(yùn)算總共需要N2次復(fù)數(shù)乘法及N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。直接計(jì)算DFT的運(yùn)算量問題一次復(fù)數(shù)乘法需用四次實(shí)數(shù)乘法和二次實(shí)數(shù)加法；一次復(fù)數(shù)加法需二次實(shí)數(shù)加法。因而每運(yùn)算一個(gè)X(k)需4N次實(shí)數(shù)乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次實(shí)數(shù)加法。所以，整個(gè)DFT運(yùn)算總共需要4N2次實(shí)數(shù)乘法和2N(2N-1)次實(shí)數(shù)加法。完整DFT共需4N2實(shí)數(shù)乘法+2N2實(shí)數(shù)加法+2N(N-1)次實(shí)數(shù)加法

上述統(tǒng)計(jì)與實(shí)際運(yùn)算次數(shù)稍有出入，因?yàn)槟承￤Nnk可能是1或j，就不必相乘了，例如WN0=1，WNＮ/２=-1，WNN/4=-j等就不需乘法。為和其他運(yùn)算方法作比較，一般都不考慮這些特殊情況，而是把WNnk都看成復(fù)數(shù)，當(dāng)N很大時(shí)，這種特例的影響很小。從上面的統(tǒng)計(jì)可以看到，直接計(jì)算DFT，乘法次數(shù)和加法次數(shù)都是和N2成正比的，當(dāng)N很大時(shí)，運(yùn)算量是很可觀的，有時(shí)是無法忍受的。直接計(jì)算DFT的運(yùn)算量問題解

直接計(jì)算DFT所需復(fù)乘次數(shù)為（N2)2≈1012次，因此用每秒可做10萬次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī)，則需要近3000小時(shí)。這對實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的信號處理來說，要么提高計(jì)算速度，而這樣，對計(jì)算速度的要求太高了。另外，只能通過改進(jìn)對DFT的計(jì)算方法，以大大減少運(yùn)算次數(shù)。

例3-1根據(jù)式（3-1），對一幅N×N點(diǎn)的二維圖像進(jìn)行DFT變換，如用每秒可做10萬次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī)，當(dāng)N=1024時(shí)，問需要多少時(shí)間（不考慮加法運(yùn)算時(shí)間）？-7-WＮnk的以下固有特性，就可減少運(yùn)算量：

（1）WNnk的對稱性（2）WNnk的周期性改善途徑（3）WNnk的可約性另外3.3按時(shí)間抽?。―IT）的基-2FFT算法3.3.1算法原理設(shè)序列x(n)長度為N，且滿足N=2M，M為正整數(shù)。按n的奇偶把x(n)分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的子序列：則可將DFT化為由于 ，故上式可表示成DIT的基-2FFT算法原理式中，X1(k)與X2(k)分別是x1(r)及x2(r)的N/2點(diǎn)DFT：（3-6）（3-7）（3-5）-10-由此，一個(gè)N點(diǎn)DFT已分解成兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT。X1(k)，X2(k)只有N/2個(gè)點(diǎn)，即k=0,1,…,N/2-1。故用式（3-5）計(jì)算得到的只是X(k)的前一半的結(jié)果。DIT的基-2FFT算法原理同理-11-這樣，就可將X(k)表達(dá)為前后兩部分：（3-11）（3-12）DIT的基-2FFT算法原理圖3-1時(shí)間抽取法蝶形運(yùn)算流圖符號-12-圖3-2N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT（N=8）DIT的基-2FFT算法原理-13-DIT的基-2FFT算法原理復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個(gè)N/2點(diǎn)DFT(N/2)2N/2(N/2–1)兩個(gè)N/2點(diǎn)DFTN2/2N(N/2–1)一個(gè)蝶形12N/2個(gè)蝶形N/2N總計(jì)第一次分解后的運(yùn)算量：運(yùn)算量減少了近一半把N點(diǎn)數(shù)據(jù)分成二半：其運(yùn)算量為：再分二半：+=+++=這樣一直分下去，剩下兩點(diǎn)的變換。將長序列DFT分解為短序列DFT（3-13）DIT的基-2FFT算法原理且式中：（3-14）（3-15）-16-第二次分解圖3-3N/2點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/4點(diǎn)DFTDIT的基-2FFT算法原理X2(k)也可進(jìn)行同樣的分解：式中：(3-16)(3-17)DIT的基-2FFT算法原理圖3-4一個(gè)N=8點(diǎn)DFT分解為四個(gè)N/4點(diǎn)DFT-19-最后，剩下的是2點(diǎn)DFT，對于此例N=8，就是四個(gè)N/4=2點(diǎn)DFT，其輸出為X3(k)，X4(k)，X5(k)，X6(k)，k=0,1，這由式（3-14）～式（3-17）四個(gè)式子可以計(jì)算出來。例如，由式（3-14）可得：式中，,故上式不需要乘法。類似地,可求出X4(k)，X5(k)，X6(k)。DIT的基-2FFT算法原理圖3-5N=8按時(shí)間抽取的FFT運(yùn)算流圖DIT的基-2FFT算法原理由FFT的流圖可見，當(dāng)N=2M時(shí)，共有M級蝶形，每級都由N/2個(gè)蝶形運(yùn)算組成，每個(gè)蝶形需要一次復(fù)乘、二次復(fù)加，因而每級運(yùn)算都需N/2次復(fù)乘和N次復(fù)加，這樣M級運(yùn)算總共需要復(fù)乘數(shù)復(fù)加數(shù)式中，數(shù)學(xué)符號lb=log2。(3-18)(3-19)3.3.2按時(shí)間抽取的FFT算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較由于WN0=1，WNN/2=-1，WNN/4=-j這幾個(gè)系數(shù)都不用乘法運(yùn)算,所以實(shí)際計(jì)算量與這個(gè)數(shù)字稍有不同。由于計(jì)算機(jī)上乘法運(yùn)算所需的時(shí)間比加法運(yùn)算所需的時(shí)間多得多，故以乘法為例，直接DFT復(fù)數(shù)乘法次數(shù)是N2，F(xiàn)FT復(fù)數(shù)乘法次數(shù)是(N/2)lbN。直接計(jì)算DFT與FFT算法的計(jì)算量之比為當(dāng)N=2048時(shí)，這一比值為372.4，即直接計(jì)算DFT的運(yùn)算量是FFT運(yùn)算量的372.4倍。當(dāng)點(diǎn)數(shù)N越大時(shí)，F(xiàn)FT的優(yōu)點(diǎn)更為明顯。3.3.2按時(shí)間抽取的FFT算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較復(fù)乘次數(shù)NN2

例3-2

用FFT算法處理一幅N×N點(diǎn)的二維圖像，如用每秒可做10萬次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī)，當(dāng)N=1024時(shí)，問需要多少時(shí)間（不考慮加法運(yùn)算時(shí)間）？

解當(dāng)N=1024點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)FT算法處理一幅二維圖像所需復(fù)數(shù)乘法約為 次，僅為直接計(jì)算DFT所需時(shí)間的10萬分之一。即原需要3000小時(shí)，現(xiàn)在只需要2分鐘。-24-按時(shí)間抽取的FFT算法的特點(diǎn)及DIT-FFT程序框圖

1.原位運(yùn)算（同址運(yùn)算）定義：當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲(chǔ)器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，仍然存放在這同一組存儲(chǔ)器中直到最后輸出。（3-21a）（3-21b）x(0)x(4)X3(0)X3(1)蝶形結(jié)構(gòu)完成的基本迭代2.倒位序規(guī)律FFT的輸出X(k)按正常順序排列在存儲(chǔ)單元中，即按X(0)，X(1)，…，X(7)的順序排列，輸入x(n)卻不是按自然順序存儲(chǔ)的，看起來好像是“混亂無序”的，實(shí)際上是有規(guī)律的，我們稱之為倒位序。

造成倒位序的原因是輸入x(n)按標(biāo)號n的偶奇的不斷分組。如果n用二進(jìn)制數(shù)表示為(n2n1n0)2（當(dāng)N=8=23時(shí)，二進(jìn)制為三位），第一次分組，n為偶數(shù)（相當(dāng)于n的二進(jìn)制數(shù)的最低位n0=0）在上半部分，n為奇數(shù)（相當(dāng)于n的二進(jìn)制數(shù)的最低位n0=1）在下半部分。如此繼續(xù)分下去，直到最后N個(gè)長度為1的子序列。按時(shí)間抽取的FFT算法的特點(diǎn)及DIT-FFT程序框圖圖3-7倒位序的形成按時(shí)間抽取的FFT算法的特點(diǎn)及DIT-FFT程序框圖表3-1N=8時(shí)的自然順序二進(jìn)制數(shù)和相應(yīng)的倒位序二進(jìn)制數(shù)自然順序（I）二進(jìn)制數(shù)倒位序二進(jìn)制數(shù)倒位序（J）0123456700000101001110010111011100010001011000110101111104261537自然順序數(shù)I增加1，是在順序數(shù)的二進(jìn)制數(shù)最低位加1，向左進(jìn)位。而倒序數(shù)J則是在二進(jìn)制數(shù)最高位加1，逢2向右進(jìn)位。3.蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的“距離”及WNr的確定第二級的蝶形系數(shù)為，蝶形節(jié)點(diǎn)的距離為2。第一級的蝶形系數(shù)均為，蝶形節(jié)點(diǎn)的距離為1。第三級的蝶形系數(shù)為，蝶形節(jié)點(diǎn)的距離為4。第M級的蝶形系數(shù)為，蝶形節(jié)點(diǎn)的距離為2m-1。

總結(jié)上述運(yùn)算規(guī)律，便可采用下述運(yùn)算方法。先從輸入端（第一級）開始，逐級進(jìn)行，共進(jìn)行M級運(yùn)算。在進(jìn)行m級運(yùn)算時(shí)，依次求出2m-1個(gè)不同的系數(shù)WrN，每求出一個(gè)系數(shù)，就計(jì)算完它對應(yīng)的所有2M-m個(gè)蝶形。這樣，我們可用三重循環(huán)程序?qū)崿F(xiàn)DIT－FFT運(yùn)算，程序框圖如圖3－9所示。圖3－9中倒序運(yùn)算程序框圖見圖3－10。5.DIT-FFT程序框圖圖3-9DIT-FFT運(yùn)算程序框圖圖3-10倒序程序框圖-31-

對于任何流圖，只要保持各節(jié)點(diǎn)所連的支路及傳輸系數(shù)不變，則不論節(jié)點(diǎn)位置怎么排列所得流圖總是等效的。將圖3-5中和x(4)水平相連的所有節(jié)點(diǎn)和x(1)水平相連的所有節(jié)點(diǎn)位置對調(diào)，再將和x(6)水平相連的所有節(jié)點(diǎn)與和x(3)水平相連的所有節(jié)點(diǎn)對調(diào)，其余諸節(jié)點(diǎn)保持不變，可得圖3-11的流圖。4按時(shí)間抽取的FFT算法的其他形式流圖時(shí)間抽取、輸入自然順序、輸出倒位序的FFT流圖圖3-5N=8按時(shí)間抽取的FFT運(yùn)算流圖DIT的基-2FFT算法原理3.4按頻率抽?。―IF）的基-2FFT算法3.4.1算法原理仍設(shè)序列點(diǎn)數(shù)為N=2M，M為正整數(shù)。再把輸出X(k)按k的奇偶分組之前，先把輸入序列按前一半、后一半分開（不是按偶數(shù)、奇數(shù)分開），把N點(diǎn)DFT寫成兩部分。k=0,1,…,N-1輸入序列n分開，與k無關(guān)式中，用的是，而不是，因而這并不是N/2點(diǎn)DFT。由于，故 ，可得

k=0,1,…,N-1

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，(-1)k=1；k為奇數(shù)時(shí)，(-1)k=-1。因此，按k的奇偶可將X(k)分為兩部分:（3-24）DIF-2FFT算法原理-36-（3-25）DIF-2FFT算法原理頻率抽取法蝶形運(yùn)算單元-37-按頻率抽取的第一次分解按頻率抽取的第二次分解按頻率抽取的FFT（N=8）信號流圖3.4.2按頻率抽取法的運(yùn)算特點(diǎn)時(shí)間抽取法蝶形運(yùn)算流圖符號頻率抽取法蝶形運(yùn)算單元DIF法與DIT法的區(qū)別是：DIF輸入是自然順序，輸出是倒位序的，DIT法正好相反。但這不是實(shí)質(zhì)性的區(qū)別。DIF的基本蝶形與DIT的基本蝶形則有所不同，這才是實(shí)質(zhì)的不同，DIF的復(fù)數(shù)乘法只出現(xiàn)在減法之后，DIT則是先作復(fù)乘后再作加減法。DIT法與DIF法的基本蝶形是互為轉(zhuǎn)置的。按照轉(zhuǎn)置定理，兩個(gè)流圖的輸入-輸出特性必然相同。轉(zhuǎn)置就是將流圖的所有支路方向都反向，并且交換輸入與輸出，但節(jié)點(diǎn)變量值不交換，這樣即可從圖3-6得到圖3-16或者從圖3-16得到圖3-6。頻率抽取法與時(shí)間抽取法是兩種等價(jià)的FFT運(yùn)算。3.4.2按頻率抽取法的運(yùn)算特點(diǎn)原圖水平翻轉(zhuǎn)后，支路方向都反向，其他不變3.7利用FFT分析時(shí)域連續(xù)信號頻譜3.7.1基本步驟圖3-21時(shí)域連續(xù)信號離散傅里葉分析的處理步驟前置低通濾波器LPF（預(yù)濾波器）的引入，是為了消除或減少時(shí)域連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成序列時(shí)可能出現(xiàn)的頻譜混疊的影響。

xc(t)通過A/D變換器轉(zhuǎn)換(忽略其幅度量化誤差)成采樣序列x(n)，其頻譜用X(ejω)表示連續(xù)、周期

由于進(jìn)行FFT的需要，必須對序列x(n)進(jìn)行加窗處理，即v(n)=x(n)w(n)，加窗對頻域的影響，用卷積表示如下:(3-48)最后是進(jìn)行FFT運(yùn)算。加窗后的DFT是0≤k≤N-1(3-49)式中，假設(shè)窗函數(shù)長度L小于或等于DFT長度N，為進(jìn)行FFT運(yùn)算，這里選擇N為2的整數(shù)冪次即N=2m。3.7利用FFT分析時(shí)域連續(xù)信號頻譜

有限長序列v(n)=x(n)w(n)的DFT相當(dāng)于v(n)傅里葉變換的等間隔采樣。(3-50)V(k)便是sc(t)的離散頻率函數(shù)。因?yàn)镈FT對應(yīng)的數(shù)字域頻率間隔為Δω=2π/N，且模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω間的關(guān)系為ω=ΩΤ，其中Ω=2πf。所以，離散的頻率函數(shù)第k點(diǎn)對應(yīng)的模擬頻率為:(3-51)(3-52)3.7利用FFT分析時(shí)域連續(xù)信號頻譜

由式（3-52）很明顯可看出，數(shù)字域頻率間隔Δω=2π/N對應(yīng)的模擬域譜線間距為(3-53)

譜線間距，又稱頻譜分辨率（單位：Hz）。所謂頻譜分辨率是指可分辨兩頻率的最小間距。它的意思是，如設(shè)某頻譜分析的F=5Hz，那么信號中頻率相差小于5Hz的兩個(gè)頻率分量在此頻譜圖中就分辨不出來。3.7利用FFT分析時(shí)域連續(xù)信號頻譜

長度N=16的時(shí)間信號v(n)=(1.1)nR16(n)的圖形如圖3-22(a)所示,其16點(diǎn)的DFTV(k)的示例如圖3-22(b)所示。其中T為采樣時(shí)間間隔（單位：s）；fs為采樣頻率（單位：Hz）；tp為截取連續(xù)時(shí)間信號的樣本長度（又稱記錄長度，單位：s）；F為譜線間距，又稱頻譜分辨率（單位：Hz）。注意：V(k)示例圖給出的頻率間距F及N個(gè)頻率點(diǎn)之間的頻率fs為對應(yīng)的模擬域頻率(單位：Hz)。3.7利用FFT分析時(shí)域連續(xù)信號頻譜圖3-22v(n)=(1.1)nR16(n)及DFTV（k)示例圖-49-由圖可知：

在實(shí)際應(yīng)用中,要根據(jù)信號最高頻率fh和頻譜分辨率F的要求，來確定T、tp和N的大小。（1）首先，由采樣定理，為保證采樣信號不失真，fs≥2fh(fh為信號頻率的最高頻率分量，也就是前置低通濾波器阻帶的截止頻率)，即應(yīng)使采樣周期T滿足:3.7利用FFT分析時(shí)域連續(xù)信號頻譜（2）由頻譜分辨率F和T確定N,

為了使用FFT運(yùn)算，這里選擇N為2的冪次即N=2m，由式(3-55)可知，N大，分辨率好，但會(huì)增加樣本記錄時(shí)間tp。（3）最后由N,T確定最小記錄長度，tp=NT。-50-[例3-3]

有一頻譜分析用的FFT處理器，其采樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為:①頻率分辨率≤10Hz;②信號最高頻率≤4kHz。試確定以下參量：

(1)最小記錄長度tp；

(2)最大采樣間隔T（即最小采樣頻率）；

(3)在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)N。解：(1)由分辨率的要求確定最小長度tp所以記錄長度為(2)從信號的最高頻率確定最大可能的采樣間隔T（即最小采樣頻率fs=1/T）。按采樣定理即(3)最小記錄點(diǎn)數(shù)N應(yīng)滿足取-51-

如果我們事先不知道信號的最高頻率，可以根據(jù)信號的時(shí)域波形圖來估計(jì)它。例如，某信號的波形如圖3-23所示。先找出相鄰的波峰與波谷之間的距離，如圖中t1，t2，t3，t4。然后，選出其中最小的一個(gè)如t4。這里,t4可能就是由信號的最高頻率分量形成的。峰與谷之間的距離就是周期的一半。因此，最高頻率為知道fh后就能確定采樣頻率3.7利用FFT分析時(shí)域連續(xù)信號頻譜圖3-23估算信號最高頻率fh

3.7利用FFT分析時(shí)域連續(xù)信號頻譜1.頻譜混疊失真在圖3-21畫出的基本步驟中，A/D變換前利用前置低通濾波器進(jìn)行預(yù)濾波，使xc(t)頻譜中最高頻率分量不超過fh。假設(shè)A/D變換器的采樣頻率為fs，按照奈奎斯特采樣定理，為了不產(chǎn)生混疊，必須滿足也就是采樣間隔T滿足3.7.2可能出現(xiàn)的誤差一般應(yīng)取fs=(2.5～3.0)fh,如果不滿足fs≥2fh，就會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊失真。對于FFT來說，頻率函數(shù)也要采樣，變成離散的序列，其采樣間隔為F(即頻率分辨率)。

從以上Ｔ和tp兩個(gè)公式來看，信號的最高頻率分量fh與頻率分辨率F存在矛盾關(guān)系，要想fh增加，則時(shí)域采樣間隔T就一定減小，而fs就增加，由式（3-57）可知，此時(shí)若是固定N，必然要增加F，即分辨率下降。

反之，要提高分辨率（減小F），就要增加tp，當(dāng)N給定時(shí)，必然導(dǎo)致T的增加（fs減?。?。要不產(chǎn)生混疊失真，則必然會(huì)減小高頻容量（信號的最高頻率分量）fh。3.7.2可能出現(xiàn)的誤差要想兼顧高頻容量fh與頻率分辨率F，即一個(gè)性能提高而另一個(gè)性能不變（或也得以提高）的惟一辦法就是增加記錄長度的點(diǎn)數(shù)N，即要滿足（3-60）

這個(gè)公式是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗處理）的情況下，為實(shí)現(xiàn)基本FFT算法所必須滿足的最低條件。如果加窗處理，相當(dāng)于時(shí)域相乘，則頻域周期卷積，必然加寬頻譜分量，頻率分辨率就可能變差，為了保證頻率分辨率不變，則須增加數(shù)據(jù)長度tp。3.7.2可能出現(xiàn)的誤差

2.柵欄效應(yīng)

利用FFT計(jì)算頻譜，只給出離散點(diǎn)ωk=2πk/N或Ωk=2πk/(NT)上的頻譜采樣值，而不可能得到連續(xù)頻譜函數(shù)，這就像通過一個(gè)“柵欄”觀看信號頻譜，只能在離散點(diǎn)上看到信號頻譜，稱之為“柵欄效應(yīng)”,如圖3-22所示。這時(shí)，如果在兩個(gè)離散的譜線之間有一個(gè)特別大的頻譜分量，就無法檢測出來了。3.7.2可能出現(xiàn)的誤差減小柵欄效應(yīng)的一個(gè)方法就是要使頻域采樣更密，即增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)N，在不改變時(shí)域數(shù)據(jù)的情況下，必然是在數(shù)據(jù)末端添加一些零值點(diǎn)，使一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)增加，但并不改變原有的記錄數(shù)據(jù)。頻譜采樣為2πk/N，N增加，必然使樣點(diǎn)間距更近（單位圓上樣點(diǎn)更多），譜線更密，譜線變密后原來看不到的譜分量就有可能看到了。必須指出，補(bǔ)零以改變計(jì)算FFT的周期時(shí)，所用窗函數(shù)的寬度不能改變。換句話說，必須按照數(shù)據(jù)記錄的原來的實(shí)際長度選擇窗函數(shù)，而不能按照補(bǔ)了零值點(diǎn)后的長度來選擇窗函數(shù)。補(bǔ)零不能提高頻率分辨率，這是因?yàn)閿?shù)據(jù)的實(shí)際長度仍為補(bǔ)零前的數(shù)據(jù)長度。3.7.2可能出現(xiàn)的誤差

3.頻譜泄漏與譜間干擾對信號進(jìn)行FFT計(jì)算，首先必須使其變成有限時(shí)寬的信號，這就相當(dāng)于信號在時(shí)域乘一個(gè)窗函數(shù)如矩形窗，窗內(nèi)數(shù)據(jù)并不改變。時(shí)域相乘即v(n)=x(n)·w(n)，加窗對頻域的影響，可用式（3-48）卷積公式表示卷積的結(jié)果，造成所得到的頻譜V(ejω)與原來的頻譜X(ejω)不相同，有失真。這種失真最主要的是造成頻譜的“擴(kuò)散”（拖尾、變寬），這就是所謂的“頻譜泄漏”。3.7.2可能出現(xiàn)的誤差

由上可知，泄漏是由于我們截取有限長信號所造成的。對具有單一譜線的正弦波來說，輸入信號是無限長的，那么FFT就能計(jì)算出完全正確的單一線頻譜?？墒俏覀冎荒苋∮邢揲L記錄樣本。例如，一個(gè)余弦信號x(n)=cos(6πn／16）截?cái)嗪笮盘栴l譜不再是單一的譜線，它的能量散布到整個(gè)頻譜的各處。這種能量散布到其他譜線位置的現(xiàn)象即為“頻譜泄漏”。泄漏也會(huì)造成混疊，因?yàn)樾孤?huì)導(dǎo)致頻譜的擴(kuò)展，從而使最高頻率有可能超過折疊頻率（fs/2），造成頻率響應(yīng)的混疊失真。3.7.2可能出現(xiàn)的誤差

圖

x(n)=cos(ω0n)加矩形窗前、后的幅頻特性3.7.2可能出現(xiàn)的誤差余弦信號頻譜泄漏示例圖3.7.2可能出現(xiàn)的誤差由于在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾(簡稱譜間干擾)，特別是強(qiáng)信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或者把強(qiáng)信號譜的旁瓣誤認(rèn)為是另一信號的譜線，從而造成假信號，這樣就會(huì)使譜分析產(chǎn)生較大偏差。在進(jìn)行FFT運(yùn)算時(shí)，時(shí)域截?cái)嗍潜厝坏?，從而頻譜泄漏和譜間干擾也是不可避免的。為盡量減小泄漏和譜間干擾的影響，需增加窗的時(shí)域?qū)挾?頻域主瓣變窄)，但這又導(dǎo)致運(yùn)算量及存儲(chǔ)量的增加；

其次，數(shù)據(jù)不要突然截?cái)?，也就是不要加矩形窗，而是加各種緩變的窗這個(gè)問題在FIR濾波器設(shè)計(jì)中將會(huì)討論到。

3.7.2可能出現(xiàn)的誤差一個(gè)長度為N的時(shí)域離散序列x(n)，其離散傅里葉變換X(k)（離散頻譜）是由實(shí)部和虛部組成的復(fù)數(shù)，即（3-61）對實(shí)信號x(n)，其頻譜是共軛偶對稱的，故只要求出k在0，1，2，…,N/2上的X(k)即可。將X(k)寫成極坐標(biāo)形式（3-62）式中，|X(k)|稱為幅頻譜，arg［X(k)］稱為相頻譜。3.7.3應(yīng)用實(shí)例

實(shí)際中也常常用信號的功率譜表示，功率譜是幅頻譜的平方，功率譜