ch3矩陣的初等變換與線性方程組課件

第3章矩陣的初等變換與線性方程組§3.3

線性方程組§3.2矩陣的秩§3.1矩陣的初等變換-1-第3章矩陣的初等變換與線性方程組-2

-3.1.4用初等變換求逆矩陣3.1.3矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形3.1.2初等矩陣3.1.1矩陣的初等變換3.1.5用逆矩陣解矩陣方程§3.1矩陣的初等變換§3.1矩陣的初等變換-3

-

初等變換是研究矩陣的性質(zhì)、求矩陣的逆和解線性方程組的重要工具.其核心是利用初等變換，把復(fù)雜矩陣化成簡單矩陣來處理,，同時(shí)要求簡單矩陣還要保留原來矩陣的若干性質(zhì).定義

如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)，記作例如-5

--6

-記號(hào)例如(下頁)3.1.2初等矩陣定義

由n階單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣.-7

-例1

初等矩陣為非奇異矩陣.解例如：-9

-定理相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在矩陣A的左邊乘相應(yīng)的m

階初等對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在矩陣A的右邊乘相應(yīng)的n

階初等矩陣，即矩陣；此定理也可稱為“左行右列”原則.-10

--11

-用相應(yīng)的初等矩陣左乘.用相應(yīng)的初等矩陣右乘.-13

-用相應(yīng)的初等矩陣左乘.用相應(yīng)的初等矩陣右乘.-14

-上式例2計(jì)算解-15

-(A)交換的第一列與第二列得到(B)交換的第一行與第二行得到(C)交換的第一列與第二列得到(D)交換的第一行與第二行得故選(C).例3

設(shè)A為n階可逆矩陣(n≥2)

,交換A的第1行與第2行得到矩陣B，則（）解-17

-非零行的首非零元所在列的其余元均為零.例如都是行簡化梯矩陣.定義如果一個(gè)階梯矩陣具有如下特征，則稱其為最簡階梯矩陣(行簡化梯矩陣):

非零行的首非零元為1;2.簡化階梯形矩陣-18

-例4只用初等行變換將矩陣A化為簡化階梯形矩陣.-19

-階梯形階梯形最簡階梯形-21

-(續(xù)例4)形狀為-22

-

3.標(biāo)準(zhǔn)形矩陣化為:定理

用初等變換必能將矩陣稱此矩陣為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.[r≤min(m,n)].例6用初等變換將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形：-23

--25

-使得和根據(jù)“左行右列”原則和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定理，或?qū)θ我饩仃嘇存在可逆矩陣P

和Q,使得(1)推論1

對(duì)任意矩陣A存在有限個(gè)初等矩陣一些有用的推論如下：-26

-

定理

n階方陣A可逆的充要條件是A

可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積.(2)因?yàn)槌醯染仃嚨哪嫒匀皇浅醯染仃?，再?2)得：推論2方陣A可逆的充要條件是A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)這是因?yàn)槿绻鸄可逆，則(1)式中A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形必為E，否則左邊是可逆矩陣,右邊是不可逆矩陣，矛盾.反之,如果A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為E，由(1)式有由(2)知A

是可逆的.

形為E.-27

-這說明:

方陣A可逆的充要條件是只用初等行變換必可將A

化為單位矩陣E.推論3如果A

可逆,由(2)又得的逆矩陣.作3×6矩陣?yán)?

求矩陣解-29

--30

-于是得到如果不知矩陣A

是否可逆，也可按上述方法去做,只要n×2n左邊子塊有一行元素全為零，則A不可逆.-31

-例2

判斷求作3×6矩陣∵左邊子塊第三行全為０，∴A不可逆.解是否可逆，若可逆-32

-五、用逆矩陣解矩陣方程-33

-1.解矩陣方程AX=B(假設(shè)A可逆)方法1：先求，再計(jì)算方法2：方法1：先求，再計(jì)算2.解矩陣方程XA=B(假設(shè)A可逆)方法2：3.1.5用逆矩陣解矩陣方程-34

-解例3求矩陣X，使,其中由AX+B=X，得-35

-這說明E?A是可逆矩陣

，且小結(jié)：用初等變換求逆矩陣

解矩陣方程作業(yè)：P862（2）、3（2）-37

-3.2.2用初等變換求矩陣的秩3.2.1矩陣秩的定義§3.2矩陣的秩§3.2矩陣的秩3.2.1矩陣的秩的定義在矩陣中任選k

行

k

列其相交處的個(gè)元素，按原來定義3.5的位置構(gòu)成k階行列式，稱為矩陣A的k階子式.矩陣共有個(gè)

階子式.最低階為階，最高階為階.其中不為零的子式稱為非零子式.1.k

階子式3.2.1矩陣的秩的定義等等,它們都是三階子式.每一個(gè)元素都是一階子式.等等,例如它們都是二階子式.-39

-的最高階子式是3階，共有4個(gè)3階子式.易見2.矩陣的秩定義3.6如果在矩陣A中有一個(gè)r

階非零子式D，且所有的r+1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D記作R(A)，即R(A)=r.稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，

在矩陣A中，當(dāng)所有的r+1階子式全等于零時(shí)，由行列式的性質(zhì)可知，所有高于r+1階的子式(如果存在的話)也全等于零，因此A的秩R(A)就是A中不等于零的子式的最高階數(shù).規(guī)定零矩陣的秩等于零.定義階方陣

，則稱A為滿秩矩陣.定義，則稱為行滿秩陣；，則稱為列滿秩陣；則稱A為降秩矩陣.

因?yàn)榭赡婢仃嚨闹鹊扔谄潆A數(shù)，故可逆矩陣又稱為滿秩矩陣.不可逆方陣又稱為降秩矩陣.A可逆

A非奇異

|A|0A滿秩矩陣

A的最高階非零子式為|A|

A的標(biāo)準(zhǔn)形為E.例１解計(jì)算A的3階子式，

用定義求矩陣的秩并非易事，后面我們將用初等變換法去求矩陣的秩.定理3.4

3.2.2用初等變換求矩陣的秩由于的充要條件是有可逆矩陣P、Q，使因此可得推論若可逆矩陣P、Q，使則

由此定理，為求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換變成階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，即3.2.2用初等變換求矩陣的秩

例2

將下列矩陣?yán)贸醯茸儞Q化為行階梯形,再化為行最簡形,最后化為標(biāo)準(zhǔn)形.并求其秩.秩顯然為３.是A的標(biāo)準(zhǔn)形.為行階梯形矩陣，為行最簡形矩陣，

注意：化矩陣為行階梯形或行最簡形時(shí)僅能用初等行變換.化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，初等行變換和初等列變換均可以使用.例３設(shè)其中求解分析：直接將化為階梯形矩陣即可，故

矩陣的秩的性質(zhì)例4設(shè)又

或

解若R(A)<3，求a.-50

-3.3.2非齊次線性方程組有解的充分必要條件§3.3線性方程組3.3.3齊次線性方程組有解的充分必要條件3.3.1用高斯消元法解線性方程組§3.3線性方程組-51

--52

-

克萊姆法則只適用n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組,且系數(shù)行列式不為零.使用高斯消元法可求解更一般的線性方程組.1.線性方程組何時(shí)有解?2.若有解,解是否唯一？3.有解時(shí),如何求出全部的解？問題

方法

矩陣的初等變換.

矩陣形式:(2.3)1.線性方程組的一般式含有n個(gè)未知量m個(gè)方程的線性方程組一般形式為：-53

-一、線性方程組的一般式其中

為n元未知量矩陣。為常數(shù)項(xiàng)矩陣，為系數(shù)矩陣，3.3.1用高斯消元法解線性方程組稱為增廣矩陣.-54

-線性方程組與它的增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.例如2.高斯消元法的求解過程例1解線性方程組

(注意方程組初等變換與增廣矩陣初等行變換的關(guān)系).-55

-二、高斯消元法的求解過程互換方程(1)與(2)的位置，得解(2)+(1)×(-2),(3)+(1)×(-4)，得(3)+(2)×(-1),得-56

--57

-(3)×(-1/2)，得

階梯形方程組階梯形矩陣-58

-(2)+(3)×2,(1)+(3)×(-2)，得(2)×(-1/3)，得-59

-(1)+(2)×(-1)，得可得原方程組的解為：行簡化梯矩陣-60

-由于三種變換均可逆,所以變換前的方程組與在例1的求解過程中，對(duì)方程組始終用到如下三種變換：(1)交換方程的位置；(2)以不等于0的數(shù)乘某個(gè)方程兩邊；(3)把一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上.等價(jià)地，就是對(duì)增廣矩陣只實(shí)施初等行變換.變換后的方程組是同解的.-61

-最后一行對(duì)應(yīng)的方程是：0=2

,所以方程組無解.例2求解非齊次線性方程組對(duì)增廣矩陣使用初等行變換化梯矩陣:解-62

-(1)對(duì)增廣矩陣使用初等行變換化行最簡形矩陣:例3解非齊次線性方程組解-63

-(2)寫出同解的最簡梯形方程組

(3)移項(xiàng):保留第一個(gè)未知量在左邊，其余的移到右邊此時(shí),右邊的未知量稱為自由變量.(4)令自由變量取任意常數(shù)，即得一般解(通解或全部解)即令為任意常數(shù).-64

-(取任意常數(shù))得方程組的一般解為:從以上3例可以看出，一個(gè)線性方程組的解可能出現(xiàn)三種情況：無解，唯一解，無窮多解.-65

-梯矩陣(判斷是否有解)方程組增廣矩陣行簡化梯矩陣梯形方程組令自由變量為任意常數(shù),得解有解結(jié)束移項(xiàng)行變換無解

使用高斯消元法求解線性方程組步驟矩陣的秩最高階非零子式的階數(shù)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)行最簡形矩陣非零行的行數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中單位矩陣的階數(shù)小結(jié)：作業(yè)：P864（3）、6（3）用高斯消元法解線性方程組-67

-的秩，可以方便地討論線性方程組的解.利用線性方程組(3.1)的系數(shù)矩陣A與増廣矩陣設(shè)線性方程組(3.1)的系數(shù)矩陣的秩R(A)=r，其增廣矩陣有從而只有兩種可能：對(duì)線性方程組(3.1)的增廣矩陣施以行初等變換，化為行階梯形矩陣，由定理3.4知，初等變換不改變矩陣的秩，從而判別出線性方程組解的情況.3.3.2非齊次線性方程組有解的充要條件3.3.2非齊次線性方程組有解的充分必要條件-68

-不妨設(shè)m×n線性方程組(3.1)的增廣矩陣經(jīng)過一系列初等行變換化為如下行階梯形矩陣-69

-

同解階梯形方程組為量稱為自由未知量.自由未知量共有n–r個(gè).稱為主元,主元所在定義

列對(duì)應(yīng)的未知量稱為約束變量,其余未知-70

-方程組中有矛盾方程，方由克萊姆法則知,方程組有唯一解.由梯形方程組可得若則方程組有解，且(1)當(dāng)r=n時(shí),梯形方程組為程組無解;若-71

-（2）當(dāng)r<n

時(shí),梯形方程組為移項(xiàng)

任給自由變量一組值,由克拉默法則知,可唯一確定因此原方程組有無窮多個(gè)解.

線性方程組方程組Ax=b有解的充要條如果r=n，那么方程組有唯一解；如果r<n，那么方程組有無窮多解.線性方程組方程組Ax=b無解的充要條件是件是定理3.5-72

--73

-

問方程組何時(shí)無解，何時(shí)有解?當(dāng)方程組有解時(shí)求出其一般解.例4

對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換解-74

-如果q=4,p=1對(duì)B進(jìn)一步作初等行變換,可得當(dāng)q=4時(shí),R(A)=R(A,b)=3，原方程組有解;當(dāng)q≠4時(shí),R(A)=3，R(A,b)=4，原方程組無解;-75

-得同解方程組:令,移項(xiàng)得：得通解為:-76

-如果q=4，p≠1，對(duì)B進(jìn)一步作初等行變換,可得得同解方程組并移項(xiàng)令，得一般解為(為任意常數(shù))練習(xí)1問a,b

取何值時(shí)，下列方程組無解？有唯一解？有無窮多解？-77

-練習(xí)2當(dāng)k為何值時(shí)，下列方程組有解練習(xí)1問a,b

取何值時(shí)，下列方程組無解？有唯一解？有無窮多解？解-78

-原方程組無解；原方程組有無窮多解.原方程組有唯一解；當(dāng)a=5，b≠–3時(shí)，當(dāng)a=5，b=–3時(shí)，當(dāng)a≠5，b為任意時(shí)，-79

-練習(xí)2當(dāng)k為何值時(shí)，下列方程組有解∴方程組有無窮多解.解-80

-定理3.6若齊次