第2章信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念

第2章信號(hào)與系統(tǒng)的

基本概念提綱2.1信號(hào)及其分類2.2典型信號(hào)2.3信號(hào)波形變換與基本運(yùn)算2.4卷積積分2.5卷積和2.6系統(tǒng)及其分類2.1信號(hào)及其分類2.1.1信號(hào)的概念2.1.2信號(hào)的分類2.1.1信號(hào)的概念廣義地說(shuō)，信號(hào)是隨時(shí)間變化的某種物理量，是消息的表現(xiàn)形式，包含光信號(hào)、聲信號(hào)、電信號(hào)等。由于信號(hào)是隨時(shí)間而變化的，在數(shù)學(xué)上可以用時(shí)間的函數(shù)來(lái)表示。因此，“信號(hào)”與“函數(shù)”兩個(gè)名詞常?；ビ谩?.1.1信號(hào)的概念信號(hào)的特性可以從兩個(gè)方面來(lái)描述：時(shí)間特性和頻率特性。時(shí)間特性：如出現(xiàn)的先后、持續(xù)時(shí)間的長(zhǎng)短、隨時(shí)間變化的快慢。頻率特性：如含有哪些頻率成份、各頻率分量的幅度及相位、信號(hào)的有效帶寬等。2.1.2信號(hào)的分類確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)是時(shí)間的確定函數(shù)，即對(duì)于指定的某一時(shí)刻，可確定其相應(yīng)的函數(shù)值。隨機(jī)信號(hào)具有不可預(yù)知的不確定性，無(wú)法給出確切的時(shí)間函數(shù)，如通信中的干擾信號(hào)。但是，在一定條件下，隨機(jī)信號(hào)通常會(huì)表現(xiàn)出某種統(tǒng)計(jì)特性。2.1.2信號(hào)的分類連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)信號(hào)是指在考察的時(shí)間內(nèi)，除若干個(gè)不連續(xù)點(diǎn)外，對(duì)于其它任意時(shí)刻都有定義的信號(hào)，通常用f(t)表示。離散信號(hào)僅在一些離散時(shí)刻有定義，通常用f(k)表示。離散信號(hào)表示為f(k)時(shí)亦稱序列。2.1.2信號(hào)的分類連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)示例2.1.2信號(hào)的分類周期信號(hào)與非周期信號(hào)時(shí)域周期信號(hào)每隔一定時(shí)間（稱為周期）重復(fù)變化，如圖2-1-2所示。通常約定周期為最小重復(fù)間隔；非周期信號(hào)則沒(méi)有這種重復(fù)性。2.2典型信號(hào)2.2.1單位階躍信號(hào)2.2.2單位沖激信號(hào)2.2.3單位序列2.2.4單位階躍序列2.2.1單位階躍信號(hào)定義2.2.1單位階躍信號(hào)作為電壓源或電流源時(shí)的物理意義2.2.1單位階躍信號(hào)截取信號(hào)示例2.2.1單位階躍信號(hào)門(mén)信號(hào)2.2.1單位階躍信號(hào)門(mén)信號(hào)截取信號(hào)示例及基于階躍信號(hào)的信號(hào)表示2.2.2單位沖激信號(hào)定義（工程定義）2.2.2單位沖激信號(hào)沖激信號(hào)與階躍信號(hào)的關(guān)系2.2.2單位沖激信號(hào)沖激信號(hào)的性質(zhì)2.2.2單位沖激信號(hào)例2-2-1計(jì)算下列各式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2.2.2單位沖激信號(hào)解：根據(jù)沖激信號(hào)的性質(zhì)，有（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2.2.3單位序列定義（亦稱單位函數(shù)）2.2.3單位序列抽樣性信號(hào)的分解2.2.4單位階躍序列定義2.2.4單位階躍序列截取信號(hào)的能力與單位階躍信號(hào)類似，單位階躍序列亦具有截取信號(hào)的能力信號(hào)f(k)與e(k)的乘積f(k)e(k)所表示的是f(k)中k≥0的部分；f(k)e(k-m)表示的是f(k)中k≥m的部分。2.3信號(hào)波形變換與基本運(yùn)算2.3.1信號(hào)的波形變換2.3.2信號(hào)的基本運(yùn)算2.3.1信號(hào)的波形變換時(shí)移信號(hào)f(t)的時(shí)移是將其中的自變量t替換為t±t0成為f(t±t0)。從波形上看，f(t±t0)的波形是f(t)的波形向左或向右移動(dòng)t02.3.1信號(hào)的波形變換離散信號(hào)f(k)的時(shí)移亦稱為移序。類似地，f(k±m(xù))的圖形是將f(k)的圖形向左或向右移m位。折疊（亦稱對(duì)折或反折）信號(hào)f(t)的折疊是將其中的自變量t替換為-t成為f(-t)。從波形上看，f(-t)的波形是f(t)的波形相對(duì)于縱軸的鏡像，即沿縱軸對(duì)折。2.3.1信號(hào)的波形變換類似地，信號(hào)f(k)的折疊即是將其中的自變量k替換為-k成為f(-k)。2.3.1信號(hào)的波形變換尺度變換（亦稱壓擴(kuò)變換或展縮變換）信號(hào)f(t)的尺度變換是將其中的自變量t替換為at成為f(at)。從波形上看，f(at)的波形是把f(t)的波形沿時(shí)間軸壓縮至原來(lái)的1/a。如果0<a<1，實(shí)際是把的波形進(jìn)行了擴(kuò)展。2.3.1信號(hào)的波形變換例2-3-1回答如下問(wèn)題（1）f(-t)向右時(shí)移t0成為f(-t-t0)還是f(-t+t0)？（2）f(t-t0)折疊成為f(-t-t0)還是f(-t+t0)？（3）f(t-t0)尺度變換為f(at-t0)還是f(at-at0)？（4）f(at)向右時(shí)移t0成為f(at-t0)還是f(at-at0)？解：依題意有（1）f(-t)向右時(shí)移t0成為f(-t+t0)（2）f(t-t0)折疊成為f(-t-t0)（3）f(t-t0)尺度變換為f(at-t0)（4）f(at)向右時(shí)移t0成為f(at-at0)2.3.1信號(hào)的波形變換例2-3-2已知f(t)的波形如圖2-3-4（a），試畫(huà)出f(-0.5t+1)的波形。解：變換過(guò)程如下2.3.2信號(hào)的基本運(yùn)算相加與相乘兩個(gè)信號(hào)相加（或相乘）后在某一時(shí)刻的值等于兩個(gè)信號(hào)在此時(shí)刻的值相加（或相乘）。例2-3-3如圖2-3-5（a）和（b）所示f1(t)和f2(t)，試畫(huà)出f1(t)+f2(t)和f1(t)-f2(t)的波形。2.3.2信號(hào)的基本運(yùn)算解：波形如下2.3.2信號(hào)的基本運(yùn)算例2-3-4如圖2-3-6（a）和（b）所示f1(t)和f2(t)，試畫(huà)出f1(t)·f2(t)的波形。解：波形如下2.3.2信號(hào)的基本運(yùn)算微分與積分例2-3-5如圖2-3-7（a）所示f(t)，試畫(huà)出df(t)/dt和f(-1)(t)的波形。解：波形如下2.3.2信號(hào)的基本運(yùn)算差分與累加f(k)的一階前向差分記為Df(k)，定義為

f(k)的一階后向差分記為f(k)，定義為二階差分2.3.2信號(hào)的基本運(yùn)算f(k)的累加定義為例2-3-6求De(k)和e(k)。解：由差分的定義有2.4卷積積分2.4.1卷積積分的定義及其性質(zhì)2.4.2卷積積分的計(jì)算2.4.1卷積積分的定義及其性質(zhì)卷積積分的定義卷積積分的性質(zhì)卷積代數(shù)2.4.1卷積積分的定義及其性質(zhì)比例性與時(shí)移性若，則微積分性若，則2.4.1卷積積分的定義及其性質(zhì)以下幾種特殊情形含有沖激信號(hào)的卷積2.4.1卷積積分的定義及其性質(zhì)特別地此式表明，任意信號(hào)可以表示為具有強(qiáng)度為的沖激信號(hào)的積分，也就是說(shuō)，任意信號(hào)可以分解為連續(xù)的沖激信號(hào)之和。2.4.2卷積積分的計(jì)算解析法解析法是由卷積積分的定義直接進(jìn)行解析求解的一種方法。此方法有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是被積函數(shù)非零積分區(qū)間的確定；二是時(shí)間t的定義域。2.4.2卷積積分的計(jì)算例2-4-1，，求。解：由卷積積分的定義，有2.4.2卷積積分的計(jì)算圖解法圖解法是借助圖形確定卷積積分的方法。若求，涉及以下幾個(gè)步驟。（1）改換變量：

、（2）折疊：

（3）時(shí)移：

（4）相乘：（5）積分：，其中和構(gòu)成非零的積分區(qū)間。2.4.2卷積積分的計(jì)算例2-4-2如圖2-4-1所示和,求。解：求解過(guò)程如下（1）改換變量，波形與圖2-4-1相同，僅是自變量為t。2.4.2卷積積分的計(jì)算（2）反折與時(shí)移，波形如下2.4.2卷積積分的計(jì)算（3）相乘，如下圖2.4.2卷積積分的計(jì)算（4）積分。求相乘后波形與坐標(biāo)軸圍成的面積，即圖中陰影部分，結(jié)果如下。2.4.2卷積積分的計(jì)算例2-4-3如圖2-4-4所示和，若，求。解：根據(jù)圖解法，可畫(huà)出的波形，于是得2.4.2卷積積分的計(jì)算借助性質(zhì)在某些情況下，利用卷積積分的性質(zhì)可以大大簡(jiǎn)化卷積積分的計(jì)算，其中尤其以微積分性以及有含有沖激信號(hào)的卷積積分為基礎(chǔ)。例2-4-4對(duì)例2-4-2，借助卷積積分性質(zhì)求解。解：由卷積積分的微積分性，有2.4.2卷積積分的計(jì)算相應(yīng)波形如下2.4.2卷積積分的計(jì)算例2-4-5如圖2-4-6（a）和（b）所示和的波形，試求。解：此例不能直接利用微積分性質(zhì)，因?yàn)椴豢煞e。不過(guò)，卻是可積的，因此可以利用式（2-4-6）先求出，然后折疊得。2.4.2卷積積分的計(jì)算波形圖如下2.5卷積和2.5.1卷積和的定義及其性質(zhì)2.5.2卷積和的計(jì)算2.5.1卷積和的定義及其性質(zhì)卷積和的定義卷積和的性質(zhì)卷積代數(shù)2.5.1卷積和的定義及其性質(zhì)移位性若，則含單位函數(shù)的卷積和2.5.2卷積和的計(jì)算解析法解析法是由卷積和的定義直接進(jìn)行解析求解的一種方法。其中求和序列非零求和區(qū)間以及k的定義域的確定與卷積積分類似。例2-5-1，，求。解：由卷積和的定義，有2.5.2卷積和的計(jì)算圖解法圖解法是借助圖形確定卷積和的方法。與卷積積分類似，求解步驟涉及改換變量、折疊與移位、相乘、求和等。例2-5-2如圖2-5-1所示和,求。2.5.2卷積和的計(jì)算解：求解過(guò)程如下2.5.2卷積和的計(jì)算2.5.2卷積和的計(jì)算不進(jìn)位乘法對(duì)于有限長(zhǎng)序列的卷和，可以采用不進(jìn)位乘法。此方法與通常意義上兩個(gè)數(shù)的乘法類似，只是相乘和相加均不進(jìn)位。例2-5-3對(duì)例2-5-2，采用不進(jìn)位乘法求解。解：依題意有2.6系統(tǒng)及其分類2.6.1系統(tǒng)的概念2.6.2系統(tǒng)的分類2.6.3系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.6.1系統(tǒng)的概念系統(tǒng)的含義系統(tǒng)是由一些“單元”按照一定規(guī)則相互連接而成、具有一定功能的有機(jī)整體。（1）單元和系統(tǒng)之間沒(méi)有明顯的界限，它們是相對(duì)而言的。（2）單元之間按照一定的規(guī)則相互連接而成，不同的連接規(guī)則和連接方式所組成的系統(tǒng)亦不同。（3）系統(tǒng)具有一定的功能。系統(tǒng)功能是系統(tǒng)對(duì)外部環(huán)境而言所表現(xiàn)出來(lái)的某種特性。2.6.1系統(tǒng)的概念系統(tǒng)的方框表示2.6.1系統(tǒng)的概念系統(tǒng)的基本運(yùn)算單元2.6.2系統(tǒng)的分類連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)輸入和輸出均為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；輸入和輸出均為離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。模擬通信系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，而數(shù)字計(jì)算機(jī)則為離散時(shí)間系統(tǒng)。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)是指具有線性特性的系統(tǒng)。線性特性包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：齊次性和疊加性。2.6.2系統(tǒng)的分類2.6.2系統(tǒng)的分類具有初始狀態(tài)的線性系統(tǒng)滿足如下條件（1）分解性：系統(tǒng)響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)；（2）零輸入線性：當(dāng)系統(tǒng)有多個(gè)初始狀態(tài)時(shí)，零輸入響應(yīng)對(duì)每個(gè)初始狀態(tài)呈現(xiàn)線性；（3）零狀態(tài)線性：當(dāng)系統(tǒng)有多個(gè)輸入時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)每個(gè)輸入呈現(xiàn)線性。2.6.2系統(tǒng)的分類例2-6-1判別如下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，并說(shuō)明理由。其中為激勵(lì)，為初始狀態(tài)，為時(shí)的響應(yīng)。（1）（2）（3）（4）2.6.2系統(tǒng)的分類解：根據(jù)線性條件，有（1）非線性。不滿足分解性；（2）非線性。零輸入響應(yīng)非線性；（3）線性。滿足線性條件；（4）非線性。零狀態(tài)響應(yīng)非線性。2.6.2系統(tǒng)的分類時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)在初始狀態(tài)不變的前提下，若系統(tǒng)輸出與激勵(lì)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)，這種性質(zhì)稱為時(shí)不變性。具有時(shí)不變性的系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)；反之為時(shí)變系統(tǒng)。2.6.2系統(tǒng)的分類例2-6-2判別如下系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)，并說(shuō)明理由。其中為激勵(lì)，為響應(yīng)。（1）（2