第3章 復(fù)變函數(shù)的積分

同微積分一樣，在復(fù)變函數(shù)中，積分法也是研究復(fù)變函數(shù)性質(zhì)十分重要的方法．在解決實(shí)際問題中也是有力的工具．本章先介紹復(fù)變函數(shù)積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算方法然后介紹關(guān)于解析函數(shù)積分的柯西－古薩基本定理及其推廣，有了這些基礎(chǔ)，我們建立柯西積分公式，最后證明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，從而導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式.第三章復(fù)變函數(shù)的積分11.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,3.1復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)3.1.1積分的定義2簡單閉曲線正向的定義:簡單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時,鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個端點(diǎn)中的一個作為起點(diǎn),另一個作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.按段光滑的簡單閉曲線稱為周線。32.定義3.1設(shè)有向曲線C把曲線C分成若干弧段,作和式45關(guān)于定義的說明:（4）如果為閉曲線，那末沿此閉曲線的積分記作.63.定理3.1證明：正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,注：今后我們所提曲線，若無特殊聲明，總假定是光滑或按段光滑的。78根據(jù)線積分的存在定理,所以9當(dāng)n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,

10在形式上可以看成是公式即復(fù)函數(shù)積分可表為兩個實(shí)積分.113.1.2.復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問題設(shè)有向曲線C：或12證明注：用公式(3.2)或(3.3)計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分,是從積分路徑的參數(shù)方程著手,稱為參數(shù)方程法.13例1

解積分路徑的參數(shù)方程為14重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).153.1.3復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).16估值不等式(6)積分估值定理3.217證明兩端取極限得[證畢]18證明而C之長為2,根據(jù)估值不等式知例219例4計(jì)算，其中為從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。解：直線的方程可寫成或于是由于容易驗(yàn)證，右邊兩個線積分都與路線無關(guān)，所以的值無論是怎樣的曲線都等于20例5

解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x21(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x22y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為積分路徑不同,積分結(jié)果也可能不同.23例6

解積分路徑的參數(shù)方程為24253.1.4小結(jié)與思考

這一小節(jié)我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.26作業(yè)：P141：習(xí)題(一)1，2,3(1)273.2柯西積分定理早在1825年柯西給出了如下定理，它是復(fù)變函數(shù)論中的一條基本定理，現(xiàn)稱為柯西積分定理（或稱柯西古薩基本定理）．28定理3.2.1如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析，那末函數(shù)沿內(nèi)的任何一條封閉曲線的積分值為零。即推論3.2.1設(shè)函數(shù)在復(fù)平面上的單連通域內(nèi)解析，則在內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的積分與路徑無關(guān)。29證明：設(shè)與是D內(nèi)連接與的兩條曲線，則正方向曲線與負(fù)方向曲線就連接成D內(nèi)的一條閉曲線C，從而由柯西積分定理及§１的性質(zhì)（4）有:因此3.2.2柯西積分定理的古薩證明（略）303.2.3柯西積分定理的推廣定理3.2.2設(shè)是一條周線，為的內(nèi)部，函數(shù)在閉域上解析，則定理3.2.3設(shè)是一條周線，為的內(nèi)部，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則定理3.2.3（閉路變形原理）在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.31定理3.2.4（復(fù)合閉路定理）設(shè)為多連通域內(nèi)的一條簡單閉曲線，是在內(nèi)部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于，則有如下結(jié)論：如果在內(nèi)解析，那么1）其中及均取正方向;2）32這里為由及所組成的復(fù)合閉路（其方向是：按逆時針進(jìn)行，按順時針進(jìn)行）.例如：根據(jù)閉路變形原理，例2中包含的任何一條正向簡單閉曲線都有：33例3.2.1計(jì)算的值，為包含圓周在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線.解：函數(shù)有兩個奇點(diǎn)和，在內(nèi)作兩個互不包含也互不相交的正向圓周與，只包含奇點(diǎn)，只包含，那末根據(jù)復(fù)合閉路定理，有343.2.4原函數(shù)與不定積分定理3.2.5如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析，那么積分與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路線無關(guān).由定理3.2.5，積分在內(nèi)確定了一個單值函數(shù)，即定理3.2.6如果在單連通域內(nèi)處處解析，那么函數(shù)必為內(nèi)的一個解析函數(shù)，并且35證明：作一個以Z為心，以充分小的為半徑的圓，使得在內(nèi)取動點(diǎn)，則由于積分與路徑無關(guān)，因而我們可取的積分路徑為由

沿與相同的路徑到Z

,再從Z沿直線段到,從而有于是

圖3.3

圖3.3證明：作一個以Z為心，以充分小的為半徑的圓，使得在內(nèi)取動點(diǎn)，則36但已知在D內(nèi)連續(xù)，所以對，可取上述的充分小，使得在內(nèi)的一切點(diǎn)均有，從而由定理3.2有即37定義如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于，即，那么稱為在區(qū)域內(nèi)的原函數(shù).的任意兩個原函數(shù)相差一個常數(shù).定義的原函數(shù)的一般表達(dá)式（其中為任意常數(shù).）為的不定積分，記作定理三如果在單連通域內(nèi)處處解析，為的一個原函數(shù)，那么這里為域內(nèi)的兩點(diǎn).38從定理三可以看出，用牛頓－萊布尼茲公式計(jì)算積分，首先，要看積分上、下限的兩點(diǎn)是否可以包含在一個單連通域內(nèi)，且被積函數(shù)是否在該單連通域內(nèi)解析；其次，要易于求出被積函數(shù)的原函數(shù)。例3.2.2求積分解：39例3.3.3

求積分的值.解：函數(shù)在全平面內(nèi)解析，容易求得它有一個原函數(shù)，所以40例3.3.4計(jì)算積分解：因?yàn)樵趶?fù)平面上處處解析，所以41練習(xí)：計(jì)算積分（1）；（2）；（3）；

（4）計(jì)算積分的值，C是0到的擺線：.42解：（1）；（2）；（3）0；（4）注意到積分與路徑無關(guān).433.3柯西積分公式及其推論3.3.1柯西積分公式定理3.3.1（柯西積分公式）如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處解析，C為內(nèi)D的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,為C內(nèi)的任一點(diǎn),那末(3.3.1)公式(3.3.1)稱為柯西積分公式.通過這個公式就可以把一個函數(shù)在C內(nèi)部任何一點(diǎn)的值,用它在邊界上的值來表示.44證明：對于任意固定一點(diǎn)，則函數(shù)作為的函數(shù)在D內(nèi)除點(diǎn)z外解析．現(xiàn)以點(diǎn)z為心，充分小的為半徑作圓周，使對于復(fù)圍線及函數(shù)，應(yīng)用復(fù)合閉路定理有而因此45又根據(jù)的連續(xù)性知對，只要時，就有再由復(fù)變函數(shù)積分估值不等式可得故有46例3.3.1求下列積分：1）；2）解：1）；2）47定理3.3.2（解析函數(shù)平均值定理）如果函數(shù)在圓內(nèi)解析，在閉圓上連續(xù)，則即在圓心的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均數(shù)。例3.3.2設(shè)函數(shù)在閉圓上解析，如果存在，使當(dāng)時，且，試證：在圓內(nèi)至少有一個零點(diǎn)。48證：由題設(shè)知在閉圓上解析。由平均值定理，又據(jù)題設(shè)，有從而矛盾，故在圓內(nèi)至少有一個零點(diǎn)。493.3.2解析函數(shù)的無窮可微性一個解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù).這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)完全不同,因?yàn)橐粋€實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)性不保證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,因而不能保證高階導(dǎo)數(shù)的存在,關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有下面的定理定理3.3.3解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:其中C為在函數(shù)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞的任何一條正向簡單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全含于D.50高階導(dǎo)數(shù)公式的作用，不在于通過積分來求導(dǎo)，而在于通過求導(dǎo)來求積分.例3.3.3求下列積分的值，其中C為正向圓周1）；2）解：1）函數(shù)在C內(nèi)的處不解析，但在C內(nèi)處處解析.故有512）在C內(nèi)以為中心作正向圓周，以為中心作正向圓周，則根據(jù)復(fù)合閉路定理有52練習(xí)：計(jì)算積分，C為以下曲線：1）；2）；3）.53解：有兩個奇點(diǎn)，，1）在內(nèi)有一個奇點(diǎn)，故2）在內(nèi)有一個奇點(diǎn)，故3）在內(nèi)有兩個奇點(diǎn)，，故543.3.3柯西不等式與劉維爾定理1.柯西不等式設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，為D內(nèi)一點(diǎn)，以為心作圓周，只要及其內(nèi)部K均含于D，則有其中證明：應(yīng)用定理3.3.3直接可得。注：柯西不等式說明解析函數(shù)在解析點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)與它的解析區(qū)域的大小密切相關(guān)。552.劉維爾定理

在整個復(fù)平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù)，例如常數(shù)，多項(xiàng)式，，及都是整函數(shù)。劉維爾定理有界整函數(shù)必為常數(shù)。證：只須利用柯西不等式證明在復(fù)平面上的一階導(dǎo)數(shù)為零即可。應(yīng)用劉維爾定理可證如下代數(shù)學(xué)基本定理：在平面上，n次多項(xiàng)式至少有一個零點(diǎn)。證：用反證法。56證明：假設(shè)在z平面上無零點(diǎn)，由于在平面上解析，從

而在z平面上也是解析的．其次，由于

所以

于是，使得，又因?yàn)樵谏线B續(xù)，故，使得從而在z平面上有即在z平面上解析且有界，因此根據(jù)劉維爾定理，為常數(shù)，故亦為常數(shù)，與已知為多項(xiàng)式矛盾，定理得證．573.3.4Morera定理定理3.3.5設(shè)函數(shù)在單連通域B內(nèi)連續(xù)，且對于B內(nèi)任何一條簡單閉曲線C都有，那么在B內(nèi)解析.定理3.3.7函數(shù)在區(qū)域G內(nèi)解析的充要條件是：（1）在G內(nèi)連續(xù)；（2）對任一周線C，只要C及其內(nèi)部全含于G內(nèi)，就有