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1量子力學(xué)光電子科學(xué)與工程學(xué)院王可嘉第十三講表象變換2目錄零、三維各向同性諧振子的回顧一、表象及其變換二、算符的矩陣表示三、量子力學(xué)的矩陣形式四、例題3零、三維各向同性諧振子的回顧(1)三維各向同性諧振子在球坐標(biāo)下的解:與相對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)為:4零、三維各向同性諧振子的回顧(2)三維各向同性諧振子在直角坐標(biāo)下的解:5零、三維各向同性諧振子的回顧(3)選取組成力學(xué)量完全集。其共同本征函數(shù)為各自本征函數(shù)的乘積,即:即:6零、三維各向同性諧振子的回顧(4)總能量本征態(tài)為線性諧振子解總能量本征值為7零、三維各向同性諧振子的回顧(5)直角坐標(biāo)系下解和球坐標(biāo)系下解的關(guān)系:球坐標(biāo)下為的共同本征態(tài)。直角坐標(biāo)下為的共同本征態(tài)。因?yàn)槭峭粏?wèn)題在不同坐標(biāo)系下的解,應(yīng)該有相互聯(lián)系以為例,能級(jí)是三重簡(jiǎn)并,即有三個(gè)態(tài):可證明:8一、表象及其變換(1)設(shè)代表一組力學(xué)量完全集,即是的共同本征函數(shù),一般代表一組量子數(shù)。設(shè)代表一組力學(xué)量完全集,即是的共同本征函數(shù),一般代表一組量子數(shù)。設(shè)是體系的一個(gè)量子態(tài),根據(jù)態(tài)疊加原理,有:同時(shí)稱(1)和(2)式分別為態(tài)在和表象中的展開式。9一、表象及其變換(2)所謂表象,就是量子態(tài)的具體表示方式。稱和為態(tài)在和表象中的表示因?yàn)樗院捅囟ㄓ幸欢ǖ年P(guān)系,這種變換關(guān)系即為表象變換。10一、表象及其變換(3)矢量在不同坐標(biāo)系下的變換:矢量在中,有矢量在中,有設(shè),可證明存在一個(gè)有:稱為幺正矩陣11一、表象及其變換(4)以左乘上式,即全空間積分有:將寫為矩陣形式即12一、表象及其變換(5)所以任一量子態(tài)在表象中的表示可以通過(guò)矩陣變換成表象中的表示
其中:,即可證明:即變換矩陣是幺正矩陣。稱上述變換為幺正變換13一、表象及其變換(6)所以任一量子態(tài)能夠用任一力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)(它們構(gòu)成一組正交歸一完備基矢)來(lái)展開展開系數(shù),稱為在表象中的表示。同樣可以在表象中展開為:展開系數(shù)為,為在表象中的表示,這兩種表示可以通過(guò)一種幺正變換相聯(lián)系。即其中:14二、算符的矩陣表示(1)設(shè)為某一力學(xué)量的算符,量子態(tài)經(jīng)過(guò)運(yùn)算后變成另一量子態(tài),即,設(shè)在表象的基矢為
,將和用展開,有,其中列向量和分別為和在表象中的表示。其中:為在表象中的表示。15二、算符的矩陣表示(2)為在表象中的表示。矩陣
就是在表象中的矩陣表示。在表象中,同樣有:矩陣
就是在表象中的矩陣表示。16二、算符的矩陣表示(3)對(duì)量子態(tài)和算符,在表象(基矢)中,有對(duì)量子態(tài)和算符,在表象(基矢)中,有已知和可以通過(guò)幺正變換相聯(lián)系,即幺正矩陣可證明,矩陣和可以通過(guò)幺正矩陣相似變換相聯(lián)系:17二、算符的矩陣表示(4)
例題:求坐標(biāo)、動(dòng)量和哈密頓算符在一維諧振子能量表象中的矩陣表示。【解】:一維諧振子能量表象的基矢為其能量本征函數(shù),有如下性質(zhì):坐標(biāo)在此表象中矩陣表示的矩陣元為:18二、算符的矩陣表示(5)寫為矩陣形式為:19二、算符的矩陣表示(6)即:20二、算符的矩陣表示(7)對(duì)于,有即:
結(jié)論:力學(xué)量在其自身表象中,其矩陣表示為一個(gè)對(duì)角陣。21三、量子力學(xué)的矩陣形式(1)在表象(基矢)中,量子態(tài)用列向量表示,即,算符用矩陣表示,即其中:
(1)含時(shí)薛定諤方程的矩陣表示其中:22三、量子力學(xué)的矩陣形式(2)例如,在一維諧振子能量表象中,含時(shí)薛定諤方程表示為:即:,若則有:定態(tài)解23三、量子力學(xué)的矩陣形式(3)
(2)平均值計(jì)算公式的矩陣表示在表象(基矢)中,量子態(tài)用列向量表示,即,算符用矩陣表示,即其中:在態(tài)下,力學(xué)量的平均值為24三、量子力學(xué)的矩陣形式(4)
(3)力學(xué)量本征方程的矩陣表示力學(xué)量的本征方程為:在表象(基矢)中:
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