第7章穩(wěn)恒磁場

第7章穩(wěn)恒磁場

SteadyElectromagneticField

前面我們研究了相對于觀察者靜止的電荷所激發(fā)的電場的性質(zhì)與作用規(guī)律。從本章起我們看到，在運(yùn)動(dòng)電荷周圍，不僅存在著電場而且還存在著磁場。磁場和電場一樣也是物質(zhì)的一種形態(tài)。1820年，丹麥的奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，當(dāng)電流通過導(dǎo)線時(shí)，引起導(dǎo)線近旁的小磁針偏轉(zhuǎn)，開拓了電磁學(xué)研究的新紀(jì)元，打開了電應(yīng)用的新領(lǐng)域。1837年惠斯通、莫爾斯發(fā)明了電動(dòng)機(jī)，1876年美國的貝爾發(fā)明了電話?！瘢瑹o論科學(xué)技術(shù)、工程應(yīng)用、人類生活都與電磁學(xué)有著密切關(guān)系。電磁學(xué)給人們開辟了一條廣闊的認(rèn)識(shí)自然、征服自然的道路。7.1磁場磁感強(qiáng)度

TheMagneticField/Intensity

磁現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)要比電現(xiàn)象早得多。早在公元前人們知道磁石()能吸引鐵。十一世紀(jì)我國發(fā)明了指南針。但是，直到十九世紀(jì)，發(fā)現(xiàn)了電流的磁場和磁場對電流的作用以后，人們才逐漸認(rèn)識(shí)到磁現(xiàn)象和電現(xiàn)象的本質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系，并擴(kuò)大了磁現(xiàn)象的應(yīng)用范圍。到二十世紀(jì)初，由于科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和原子結(jié)構(gòu)理論的建立和發(fā)展，人們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到磁現(xiàn)象起源于運(yùn)動(dòng)電荷，磁場也是物質(zhì)的一種形式，磁力是運(yùn)動(dòng)電荷之間除靜電力以外的相互作用力。（

7.1.1基本磁現(xiàn)象磁場無論是天然磁石或是人工磁鐵都有吸引鐵、鈷、鎳等物質(zhì)的性質(zhì)，這種性質(zhì)叫做磁性。條形磁鐵及其它任何形狀的磁鐵都有兩個(gè)磁性最強(qiáng)的區(qū)域，叫做磁極。將一條形磁鐵懸掛起來，其中指北的一極是北極(用N表示)，指南的一極是南極(用S表示)。實(shí)驗(yàn)指出，極性相同的磁極相互排斥，極性相反的磁極相互吸引。在相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)，人們一直把磁現(xiàn)象和電現(xiàn)象看成彼此獨(dú)立無關(guān)的兩類現(xiàn)象。直到1820年，奧斯特首先發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)。后來安培發(fā)現(xiàn)放在磁鐵附近的載流導(dǎo)線或載流線圈，也要受到力的作用而發(fā)生運(yùn)動(dòng)。進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，磁鐵與磁鐵之間，電流與磁鐵之間，以及電流與電流之間都有磁相互作用。上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象導(dǎo)致了人們對“磁性本源”的研究，使人們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到磁現(xiàn)象起源于電荷的運(yùn)動(dòng)，磁現(xiàn)象和電現(xiàn)象之間有著密切的聯(lián)系。主要表現(xiàn)在：1.通過電流的導(dǎo)線(也叫載流導(dǎo)線)附近的磁針，會(huì)受到力的作用而偏轉(zhuǎn)(圖7-1)。2.放在蹄形磁鐵兩極間的載流導(dǎo)線，也會(huì)受力而運(yùn)動(dòng)(圖7-2)。3.載流導(dǎo)線之間也有相互作用力。當(dāng)兩平行載流直導(dǎo)線的電流方向相同時(shí)，它們相互吸引；電流方向相反時(shí)，則相互排斥(圖7-3)。4.通過磁極間的運(yùn)動(dòng)電荷也受到力的作用。如電子射線管，當(dāng)陰極和陽極分別接到高壓電源的正極和負(fù)極上時(shí)，電子流通過狹縫形成一束電子射線。如果我們在電子射線管外面放一塊磁鐵，可以看到電子射線的路徑發(fā)生彎曲。由于電流是大量電荷作定向運(yùn)動(dòng)形成的，所以，上述一系列事實(shí)說明，在運(yùn)動(dòng)電荷周圍空間存在著磁場；在磁場中的運(yùn)動(dòng)電荷要受到磁場力(簡稱磁力)的作用。磁場不僅對運(yùn)動(dòng)電荷或載流導(dǎo)線有力的作用，它和電場一樣，也具有能量。這正是磁場物質(zhì)性的表現(xiàn)。7.1.2磁感應(yīng)強(qiáng)度在靜電學(xué)中，我們利用電場對靜止電荷有電場力作用這一表現(xiàn)，引入電場強(qiáng)度E來定量地描述電場的性質(zhì)。與此類似，我們利用磁場對運(yùn)動(dòng)電荷有磁力作用這一表現(xiàn)，引入磁感應(yīng)強(qiáng)度B來定量地描述磁場的性質(zhì)。其中B的方向表示磁場的方向，B的大小表示磁場的強(qiáng)弱。v∥BF=0v⊥BF=Fmax（a）（b）圖7-4運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁場中的受力情況運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中的受力情況，如圖7-4所示。v∥BF=0v⊥BF=Fmax（a）（b）圖7-4運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁場中的受力情況v∥BF=0v⊥BF=Fmax（a）（b）圖7-4運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁場中的受力情況由大量實(shí)驗(yàn)可以得出如下結(jié)果：

1．運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中所受的磁力隨電荷的運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向之間的夾角的改變而變化。當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向一致時(shí)，它不受磁力作用[圖7-4(a)]。而當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向垂直時(shí)，它所受磁力最大，用表示[圖7-4(b)]。2．磁力的大小正比于運(yùn)動(dòng)電荷的電量，即。如果電荷是負(fù)的，它所受力的方向與正電荷相反。

3．磁力的大小正比于運(yùn)動(dòng)電荷的速率，即。4．作用在運(yùn)動(dòng)電荷上的磁力F的方向總是與電荷的運(yùn)動(dòng)方向垂直，即。由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中受的力有兩種特殊情況：當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向一致時(shí)，F(xiàn)=0；當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直于磁場方向時(shí)，。根據(jù)這兩種情況，我們可以定義磁感應(yīng)強(qiáng)度B(簡稱磁感強(qiáng)度)的方向和大小如下：在磁場中某點(diǎn)，若正電荷的運(yùn)動(dòng)方向與在該點(diǎn)的小磁針N極的指向相同或相反時(shí)，它所受的磁力為零，我們把這個(gè)小磁針N極的指向方向規(guī)定為該點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B的方向。當(dāng)正電荷的運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向垂直時(shí)，它所受的最大磁力與電荷的電q和速度v的大小的乘積成正比，但對磁場中某一定點(diǎn)來說，比值是一定的。對于磁場中不同位置，這個(gè)比值有不同的確定值。我們把這個(gè)比值規(guī)定為磁場中某點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B的大小，即

磁感強(qiáng)度B的單位，取決于F、q和v的單位，在國際單位制中，F(xiàn)的單位是牛頓(N)，q的單位是庫侖(C)，v的單位是米／秒(m/s)，則B的單位是特斯拉，簡稱為特，符號為T。所以。應(yīng)當(dāng)指出，如果磁場中某一區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)B的方向一致、大小相等，那么，該區(qū)域內(nèi)的磁場就叫均勻磁場。不符合上述情況的磁場就是非均勻磁場。長直螺線管內(nèi)中部的磁場是常見的均勻磁場。地球的磁場只有，一般永磁體的磁場約為。而大型電磁鐵能產(chǎn)生2T的磁場，目前已獲得的最強(qiáng)磁場是31T。7.2畢奧—薩伐爾定律

TheBiot-SavartLaw在靜電場中，計(jì)算帶電體在某點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E時(shí)，先把帶電體分割成許多電荷元dq，求出每個(gè)電荷元在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度dE，然后根據(jù)迭加原理把帶電體上所有電荷元在同一點(diǎn)產(chǎn)生的迭加(即求定積分)，從而得到帶電體在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E。與此類似，磁場也滿足迭加原理，要計(jì)算任意載流導(dǎo)線在某點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B，可先把載流導(dǎo)線分割成許多電流元(電流元是矢量，它的方向是該電流元的電流方向)，求出每個(gè)電流元在該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度dB，然后把該載流導(dǎo)線的所有電流元在同一點(diǎn)產(chǎn)生的dB迭加，從而得到載流導(dǎo)線在該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B。因?yàn)椴淮嬖诠铝⒌碾娏髟?，所以電流元的磁感?qiáng)度公式不可能直接從實(shí)驗(yàn)得到。歷史上，畢奧和薩伐爾兩人首先用實(shí)驗(yàn)方法得到關(guān)于載有穩(wěn)恒電流的長直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)公式()等，再由拉普拉斯通過分析經(jīng)驗(yàn)公式而得到如下定律：7.2.1畢奧—薩伐爾定律

TheBiot-SavartLaw

穩(wěn)恒電流的電流元在真空中某點(diǎn)P所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度dB的大小，與電流元的大小成正比，與電流元和由電流元到P點(diǎn)的矢徑間的夾角θ［也用（.)表示］

的正弦成正比，而與電流元到P點(diǎn)的距離r的平方成反比(圖7-5)，即式中比例系數(shù)k決定于單位制的選擇，在國際單位制中，k正好等于，為了使從畢奧—薩伐爾定律導(dǎo)出的些重要公式中不出現(xiàn)因子而令，式中，叫做真空中的磁導(dǎo)率。

圖7-5畢奧—薩伐爾定律—電流元所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度于是上式寫成

(7-2)

的方向垂直于和所組成的平面，并沿矢積×的指向，即由經(jīng)小于180°角轉(zhuǎn)向的右手螺進(jìn)方向。若用矢量式表示，畢奧—薩伐爾定律可寫成（7-3）式中為的單位矢量，畢奧—薩伐爾定律雖然不能由實(shí)驗(yàn)直接驗(yàn)證，但由這一定律出發(fā)而得出的一些結(jié)果都很好地和實(shí)驗(yàn)符合。7.2.2畢奧—薩伐爾定律的應(yīng)用TheBiot-SavartLaw

要確定任意載有穩(wěn)恒電流的導(dǎo)線在某點(diǎn)的磁感強(qiáng)度，根據(jù)磁場滿足迭加原理，由式(7-3)對整個(gè)載流導(dǎo)線積分，即得

(7-4)值得注意的是，上式中每一電流元在給定點(diǎn)產(chǎn)生的方向一般不相同，所以上式是矢量積分式。由于一般定積分的含意是代數(shù)和，所以求式(7-4)的積分時(shí)，應(yīng)先分析各電流元在給定點(diǎn)所產(chǎn)生的的方向是否沿同一直線。如果是沿同一直線，則式(7-4)的矢量積分轉(zhuǎn)化為一般積分，即

(7-5)如果各個(gè)方向不是沿同一直線，應(yīng)先求在各坐標(biāo)軸上的分量式(例如)，對它們積分后，即得的各分量(例如

最后再求出矢量()。下面應(yīng)用這種方法討論幾種典型載流導(dǎo)線所產(chǎn)生的磁場。1．載流直導(dǎo)線的磁場圖7-6計(jì)算直線電流的B分布設(shè)有一長為L的載流直導(dǎo)線，放在真空中，導(dǎo)線中電流為I，現(xiàn)計(jì)算鄰近該直線電流的一點(diǎn)P處的磁感強(qiáng)度B。如圖7-6所示，在直導(dǎo)線上任取一電流元，根據(jù)畢奧—薩伐爾定律，電流元在給定點(diǎn)P所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小為的方向垂直于電流元與矢徑所決定的平面，指向如圖7-6所示(垂直于xoy平面，沿z軸負(fù)向)。由于導(dǎo)線上各個(gè)電流元在P點(diǎn)所產(chǎn)生的方向相同，因此P點(diǎn)的總磁感強(qiáng)度等于各電流元所產(chǎn)生的代數(shù)和，用積分表示，有

圖7-6計(jì)算直線電流的B分布

進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)，應(yīng)首先把等變量，用同一參變量表示?，F(xiàn)在取矢徑與P點(diǎn)到直線電流的垂線PO之間的夾角β為參變量。取O點(diǎn)為原點(diǎn)，從O到處的距離為l并以a表示PO的長度。從圖中可以看出從而`把以上各關(guān)系式代入前式中，并按圖中所示，取積分下限，上限為，得(7-6)

式中β1是從PO轉(zhuǎn)到電流起點(diǎn)與P點(diǎn)連線的夾角；β2是從PO轉(zhuǎn)到電流終點(diǎn)與P點(diǎn)連線的夾角。當(dāng)β角的旋轉(zhuǎn)方向與電流方向相同時(shí),β取正值；當(dāng)β角的旋轉(zhuǎn)方向與電流的方向相反時(shí)，β取負(fù)值。圖7-6中的β1和β2均為正值。如果載流導(dǎo)線是一無限長的直導(dǎo)線，那么可認(rèn)為，所以

(7-7)上式是無限長載流直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度，它與畢奧—薩伐爾的早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。

2．圓形電流的磁場圖7-7計(jì)算圓電流軸線上的B設(shè)在真空中，有一半徑為R的圓形載流導(dǎo)線，通過的電流為I，計(jì)算通過圓心并垂直于圓形導(dǎo)線所在平面的軸線上任意點(diǎn)P的磁感強(qiáng)度(圖7-7)。圖7-7計(jì)算圓電流軸線上的B

圖7-7計(jì)算圓電流軸線上的B

在圓上任取一電流元，它在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度的大小為，由畢奧—薩伐爾定律得

圖7-7計(jì)算圓電流軸線上的B由于與垂直，所以，上式可寫成的方向垂直于電流元和矢徑所組成的平面，由于圓形導(dǎo)線上各電流元在P點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度的方向不同，因此把分解成兩個(gè)分量：平行于X軸的分量和垂直于X軸的分量。在圓形導(dǎo)線上，由于同一直徑兩端的兩電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度對X軸是對稱的，所以它們的垂直分量互相抵消，于是整個(gè)圓形電流的所有電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度的垂直分量兩兩相消，所以迭加的結(jié)果只有平行于X軸的分量，即式中，對于給定點(diǎn)P、r、I和R都是常量，所以（7-8）的方向垂直于圓形導(dǎo)線所在平面，并與圓形電流組成右手螺旋關(guān)系。上式中令x=0，得到圓心處的磁感強(qiáng)度為

(7-9)在軸線上，遠(yuǎn)離圓心即()處的磁感強(qiáng)度為式中為圓形導(dǎo)線所包圍積，，為面積S法線方向的單位矢量，它的方向和圓電流垂直軸線上的磁感強(qiáng)度的方向一樣，與圓電流成右手螺旋關(guān)系，則上式可改寫成矢量式(7-10)上式與電偶極子沿軸線上的電場強(qiáng)度公式相似，只是把電場強(qiáng)度E換成磁感強(qiáng)度B，系數(shù)換成，而電矩?fù)Q成。由此可見應(yīng)叫做載流圓形線圈的磁矩。式(7-10)可推廣到一般平面載流線圈。若平面線圈共有N匝，每匝包圍面積為S，通有電流為I，線圈平面的法線單位矢量方向的指向與線圈中的電流方向成右旋關(guān)系，那么該線圈的磁矩為

(7-11)例7-1真空中，一無限長載流導(dǎo)線，AB、DE部分平直，中間彎曲部分為半徑R＝4.00cm的半圓環(huán)，各部分均在同一平面內(nèi)，如圖7-8所示。若通以電流I＝20.0A，求半圓環(huán)的圓心O處的磁感強(qiáng)度。解:由磁場迭加原理，O點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度是由AB、BCD和DE三部分電流產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度的疊加。AB部分為“半無限長”直線電流，在O點(diǎn)產(chǎn)生的B1大小為因故B1的方向垂直紙面向里。同理，DE部分在O點(diǎn)產(chǎn)生的B2的大小與方向均與B1相同，即BCD部分在O點(diǎn)產(chǎn)生的B3要用積分計(jì)算因故的方向垂直紙面向里。半圓環(huán)上各電流元在O點(diǎn)產(chǎn)生方向都相同，則因的方向都相同，所以O(shè)點(diǎn)處總的磁感強(qiáng)度的大小為的方向垂直紙面向里。7.3磁場的高斯定理

MagneticGauss’sLaw

7.3.1磁感線

為了形象化的描述磁場分布情況，我們像在電場中用電場線來描述電場的分布那樣，用磁感應(yīng)線簡稱線來表示磁場的分布。為此，我們規(guī)定

1.磁感應(yīng)線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向一致；2.磁感應(yīng)線的密度表示B的大小。即通過某點(diǎn)處垂直于的單位面積上的磁感應(yīng)線條數(shù)等于該點(diǎn)處B的大小。因此，B大的地方，磁感應(yīng)線就密集；B小的地方，磁感應(yīng)線就稀疏。

實(shí)驗(yàn)上可以利用細(xì)鐵粉在磁場中的取向來顯示磁感應(yīng)線的分布。圖7-9給出了幾種不同形狀的電流所產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)線示意圖。

(a)直電流的磁感應(yīng)線(b)圓電流的磁感應(yīng)線

(c)螺線管電流的磁感應(yīng)線

圖7-9幾種不同形狀的電流所產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)線從磁感應(yīng)線的圖示，可得到磁感應(yīng)線的重要性質(zhì)：(1)任何磁場的磁感應(yīng)線都是環(huán)繞電流的無頭無尾的閉合線。這是磁感應(yīng)線與電場線的根本不同點(diǎn)。它說明任何磁場都是渦旋場。

(2)每條磁感應(yīng)線都與形成磁場的電流回路互相套合著。磁感應(yīng)線的回轉(zhuǎn)方向與電流的方向之間關(guān)系遵從右手螺旋法則。(3)磁場中每一點(diǎn)都只有一個(gè)磁場方向，因此任何兩條磁感應(yīng)線都不會(huì)相交。磁感應(yīng)線的這一特性和電場線是一樣的。

7.3.2磁通量

磁場的高斯定理

MagneticFluxGauss’sLawfortheMagneticField通過磁場中任一曲面的磁感應(yīng)線(B線)總條數(shù)，稱為通過該曲面的磁通量，簡稱:通量，用表示。磁通量是標(biāo)量，但它可有正、負(fù)之分。磁通量的計(jì)算方法與電通量的計(jì)算方法類似。如圖7-10所示，在磁場中任一給定曲面S上取面積元，若的法線的方向與該處磁感應(yīng)強(qiáng)度的夾角為θ

，則通過面積元的磁通量為(7-12)式中，是面積元矢量，其大小等于dS，其方向沿法線的方向。通過整個(gè)曲面S的磁通量等于通過此面積上所有面積元磁通量的代數(shù)和，即

在國際單位制中，磁通量的單位是韋伯，符號為Wb，

對閉合曲面來說，規(guī)定取垂直于曲面向外的指向?yàn)榉ň€的正方向。于是磁感應(yīng)線從閉合曲面穿出時(shí)的磁通量為正值()，磁感應(yīng)線穿入閉合曲面時(shí)的磁通量為負(fù)值（)。由于磁感應(yīng)線是無頭無尾的閉合線，所以穿入閉合曲面的磁感應(yīng)線數(shù)必然等于穿出閉合曲面的磁感應(yīng)線數(shù)。因此，通過磁場中任一閉合曲面的總磁通量是恒等于零。這一結(jié)論稱作磁場中的高斯定理。即

圖7-10上式與靜電場中的高斯定理相對應(yīng)，但兩者有本質(zhì)上的區(qū)別。在靜電場中，由于自然界有獨(dú)立存在的自由電荷，所以通過某一閉合曲面的電通量可以不為零，其中

說明靜電場是有源場。在磁場中，因自然界沒有單獨(dú)存在的磁極，所以通過任一閉合面的磁通量必恒等于零，即，說明磁場是無源場，或者說是渦旋場。例7-2如圖7-11所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2T的均勻磁場，方向沿y軸正向。閉合面是一底面為直角三角形的三棱柱面。規(guī)定封閉曲面各處的法線方向垂直曲面向外。求通過：（1）befc面的磁通量；(2)aefd面的磁通量；（3）整個(gè)閉合面的磁通量；解；（1）通過befc面的磁通量為（2）通過aefd面的磁通量為（3）對整個(gè)閉合面而言，面上各點(diǎn)的正法線指向規(guī)定向外為正，磁感線從abcd面穿入，則通過abcd面的磁通量為負(fù)而通過aefd面的磁通量是穿出的，磁通量為正，由（2）得：通過其他三個(gè)面的磁通量均為零。所以通過整個(gè)閉合面的磁通量為例7-3真空中一無限長直導(dǎo)線CD，通以電流I＝10.0A，若一矩形EFHG與CD共面，如圖7-12所示。其中a=d=10.0cm，b＝20.0cm。求通過矩形EFGH面積S的磁通量。

解

由于無限長直線電流在面積S上各點(diǎn)

所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B的大小隨r不同而不同，所以計(jì)算通過S面的磁通量B時(shí)要用積分。為了便于運(yùn)算，可將矩形面積S劃分

成無限多與直導(dǎo)線CD平行的細(xì)長條面積元dS

=bdr，

設(shè)其中某一面積元dS與CD相距r，dS上各點(diǎn)B的

大小視為相等，B的方向垂直紙面向里。

取dS的方向(也就是矩形面積的法線方向)

也垂直紙面向里，則

7.4安培環(huán)路定理

AmpereCircuitaltheorem

靜電場中的電場線不是閉合曲線，電場強(qiáng)度沿任意閉合路徑的環(huán)流恒等于零，即

。這是靜電場的一個(gè)重要特征。但是在磁場中，磁感應(yīng)線都是環(huán)繞電流的閉合曲線，因而可預(yù)見磁感強(qiáng)度的環(huán)流不一定為零。如果積分路徑是沿某一條磁感應(yīng)線，則在每一線段元上的B·都是大于零，所以

。這種環(huán)流可以不等于零的場叫做渦旋場。磁場是一種渦旋場，這一性質(zhì)決定了在磁場中不能引入類似電勢的概念。在真空中，各點(diǎn)磁感強(qiáng)度的大小和方向與產(chǎn)生該磁場的電流分布有關(guān)?？梢灶A(yù)見環(huán)流的值也與場源電流的分布有關(guān)。下面的定理將給出它們之間十分簡單的定量關(guān)系。7.4.1安培環(huán)路定理

為簡單起見，下面從特例計(jì)算環(huán)流的值，然后引入定理。設(shè)真空中有一長直載流導(dǎo)線，它所形成的磁場的磁感應(yīng)線是一組以導(dǎo)線為軸線的同軸圓(圖7-13)，即圓心在導(dǎo)線上，圓所在的平面與導(dǎo)線垂直。在垂直于長直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，任取一條以載流導(dǎo)線為圓心半徑為

r的圓形環(huán)路

l作為積分的閉合路徑。

圖7-13圖7-14

則在這圓周路徑上的磁感強(qiáng)度的大小為，其方向與圓周相切。如果積分路徑的繞行方向與該條磁感應(yīng)線方向相同，也就是積分路徑的繞行方向與包圍的電流成右螺旋關(guān)系，則與間的夾角處處為零，于是所以

=

μ0I

(7-15a)上式說明磁感強(qiáng)度的環(huán)流等于閉合路徑所包圍的電流與真空磁導(dǎo)率的乘積，而與積分路徑的圓半徑r無關(guān)。如果保持積分路徑的繞行方向不變，而改變上述電流的方向，由于每個(gè)線元與的夾角，則所以β=－μ0I=μ0（－I）(7-15b)上式說明積分路徑的繞行方向與所包圍的電流方向成左旋關(guān)系，可認(rèn)為對路徑講，該電流是負(fù)值。(7-15a)、(7-15b)兩式雖從特例得出，但可證明(從略)：對于任意形狀的載流導(dǎo)線以及任意形狀的閉合路徑，該兩式仍成立。應(yīng)指出，當(dāng)電流未穿過以閉合路徑為周界的任意曲面時(shí)，路徑上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度雖不為零，但磁感強(qiáng)度沿該閉合路徑的環(huán)流為零，即=0(7-15c)在一般情況下，設(shè)有n根電流為的載流導(dǎo)線穿過以閉合路徑l為周界的任意曲面，m根電流為的載流導(dǎo)線未穿過該曲面，利用(7-15a)、(7-15b)、(7-15c)并根據(jù)磁場的迭加原理，可得到該閉合路徑的環(huán)流式中是由、共（n+m）個(gè)電流共同產(chǎn)生的。由此總結(jié)出真空中的安培環(huán)路定理如下：在穩(wěn)恒磁場中，磁感強(qiáng)度B沿任何閉合路徑的線積分

，等于這閉合路徑所包圍的各個(gè)電流之代數(shù)和的μ0倍。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(7-16)它指出：在真空中磁感強(qiáng)度沿任意閉合路徑的環(huán)流等于穿過以該閉合路徑為周界的任意曲面的各電流的代數(shù)和與真空磁導(dǎo)率μ0的乘積，而與未穿過該曲面的電流無關(guān)。應(yīng)當(dāng)指出：未穿過以閉合路徑為周界的任意曲面的電流雖對磁感強(qiáng)度沿該閉合路徑的環(huán)流無貢獻(xiàn)，但這些電流對路徑上各點(diǎn)磁感強(qiáng)度的貢獻(xiàn)是不容忽視的。在圖7-14中，電流穿過閉合路徑l所包圍的曲面，與l成右旋關(guān)系，I1取正值；I2與l成左旋關(guān)系，I2取負(fù)值。I3未穿過閉合路徑l所包圍的曲面，所以對的環(huán)流無貢獻(xiàn)。于是磁感強(qiáng)度B沿該閉合路徑的環(huán)流為安培環(huán)路定理反映了磁場的基本規(guī)律。和靜電場的環(huán)路定理相比較，穩(wěn)恒磁場中B的環(huán)流，說明穩(wěn)恒磁場的性質(zhì)和靜電場不同，靜電場是保守場，穩(wěn)恒磁場是非保守場。

安培環(huán)路定理對于研究穩(wěn)恒磁場有重要意義。下面只應(yīng)用安培環(huán)路定理計(jì)算幾種特殊分布的穩(wěn)恒電流所產(chǎn)生的磁場的磁感強(qiáng)度。

7.4.2安培環(huán)路定理的應(yīng)用

安培環(huán)路定理是一個(gè)普遍定理，但要用它直接計(jì)算磁感強(qiáng)度，只限于電流分布具有某種對稱性，即利用安培環(huán)路定理求磁場的前提條件是：如果在某個(gè)載流導(dǎo)體的穩(wěn)恒磁場中，可以找到一條閉合環(huán)路

l，該環(huán)路上的磁感強(qiáng)度大小處處相等，的方向和環(huán)路的繞行方向也處處同向，這樣利用安培環(huán)路定理求磁感強(qiáng)度的問題，就轉(zhuǎn)化為求環(huán)路長度，以及求環(huán)路所包圍的電流代數(shù)和的問題，即

所以，利用安培環(huán)路定理求磁場的適用范圍是，在磁場中能否找到上述的環(huán)路。這取決于該磁場分布的對稱性，而磁場分布的對稱性又來源于電流分布的對稱性。應(yīng)用安培環(huán)路定理，計(jì)算一些具有一定對稱性的電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度十分方便。計(jì)算時(shí)，首先用磁場疊加原理對載流體的磁場作對稱性分析；然后根據(jù)磁場的對稱性和特征，設(shè)法找到滿足上述條件的積分路徑（使Ｂ可提到積分號外）；最后利用定理公式求磁感強(qiáng)度。舉例說明如下：1.長直載流螺線管內(nèi)的磁場設(shè)螺線管長l，直徑為Ｄ，且；導(dǎo)線均勻密繞在管的圓柱面上，單位長度上的匝數(shù)為n；導(dǎo)線中的電流強(qiáng)度為Ｉ。

（a）

（b）

圖7-15用磁場疊加原理作對稱性分析：可將長直密繞載流螺線管看作由無窮多個(gè)共軸的載流圓環(huán)構(gòu)成，其周圍磁場是各匝圓電流所激發(fā)磁場的疊加結(jié)果。在長直載流螺線管的中部任選一點(diǎn)P，在P點(diǎn)兩側(cè)對稱性地選擇兩匝圓電流，由圓電流的磁場分布可知，二者磁場疊加的結(jié)果，磁感強(qiáng)度的方向與螺線管的軸線方向平行。如圖7-15（a）所示。

由于且，則長直螺線管可以看成無限長，因此在P點(diǎn)兩側(cè)可以找到無窮多匝對稱的圓電流，它們在P點(diǎn)的磁場迭加結(jié)果與圖7-15（a）相似。由于P點(diǎn)是任選的，因此可以推知長直載流螺線管內(nèi)各點(diǎn)磁場的方向均沿軸線方向。磁場分布如圖7-15（b）所示。

從圖7-15可以看出，在管內(nèi)的中央部分，磁場是均勻的，其方向與軸線平行，并可按右手螺旋法則判定其指向；而在管的中央部分外側(cè)，磁場很微弱，可忽略不計(jì)，即

B=0。據(jù)此，選擇如圖7-15（b）所示的過管內(nèi)任意場點(diǎn)P的一矩形閉合曲線abcda為積分路徑l

。則環(huán)路ab段的方向與磁場的方向一致，即（，）=0°，故在ab段上；在環(huán)路cd段上，B=0，則；在環(huán)路bc段和da段上，管內(nèi)部分與垂直，管外部分=0，都有，因此，沿此閉合路徑

l，磁感強(qiáng)度的環(huán)流為：螺線管上每單位長度有n匝線圈，通過每匝的電流是I，則閉合路徑所圍繞的總電流為n·非ab·I，根據(jù)右手螺旋法則，其方向是正的。由安培環(huán)路定理B=abμ0nI故得

B=μ0nI

螺線管為在實(shí)驗(yàn)上建立一已知的均勻磁場提供了一種方法，正如平行板電容器提供了建立均勻電場的方法一樣。

2.環(huán)形載流螺線管（常稱螺繞環(huán)）內(nèi)外的磁場

均勻密繞在環(huán)形管上的圓形線圈叫做環(huán)形螺線管，設(shè)總匝數(shù)為N(圖7-16a、b)。通有電流I時(shí)，由于線圈繞得很密，所以每一匝線圈相當(dāng)于一個(gè)圓形電流。下面根據(jù)對稱性，分析環(huán)形螺線管的磁場分布。對于如圖7-16（a）所示的均勻密繞螺繞環(huán)，由于整個(gè)電流的分布具有中心軸對稱性，因而磁場的分布也應(yīng)具有軸對稱性，且不論在螺線管內(nèi)還是螺線管外，磁場的分布都是軸對稱。由于磁感應(yīng)線總是閉合曲線，所以所有磁感應(yīng)線只能是圓心在軸線上，并與環(huán)面平行的同軸圓。將通有電流I的矩形螺繞環(huán)沿直徑切開，其剖面圖如圖7-16（b）在環(huán)內(nèi)作一個(gè)半徑為r的環(huán)路l，繞行方向如圖7-16（b）所示。環(huán)路上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度大小相等，方向由右手螺旋法可知，與環(huán)路繞行方向一致。磁感強(qiáng)度沿此環(huán)路的環(huán)流為

（a）

圖7-16（b）

環(huán)路內(nèi)包圍電流的代數(shù)和為NI。根據(jù)安培環(huán)路定理，有：B2πr=μ0NI得

（R1＜r＜R2）

可見，螺繞環(huán)內(nèi)任意點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨到環(huán)心的距離而變，即螺繞環(huán)內(nèi)的磁場是不均勻的。用R表示螺繞環(huán)的平均半徑，當(dāng)時(shí)，可近似認(rèn)為環(huán)內(nèi)任一與環(huán)共軸的同心圓的半徑r≈R，則上式可變換為（R1＜r＜R2）

可見，螺繞環(huán)內(nèi)任意點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨到環(huán)心的距離而變，即螺繞環(huán)內(nèi)的磁場是不均勻的。用R表示螺繞環(huán)的平均半徑，當(dāng)時(shí)，可近似認(rèn)為環(huán)內(nèi)任一與環(huán)共軸的同心圓的半徑r≈R，則上式可變換為

（R1＜r＜R2）式中，n=N／2πR為環(huán)上單位長度所繞的匝數(shù)。因此，當(dāng)螺繞環(huán)的平均半徑比環(huán)的內(nèi)外半徑之差大得多時(shí)，管內(nèi)的磁場可視為均勻的，計(jì)算公式與長螺線管相同。根據(jù)同樣的分析，在管的外部，也選取與環(huán)共軸的圓L（半徑為r′）作積分路徑，則因?yàn)長所圍電流強(qiáng)度代數(shù)和為零，由安培環(huán)路定理，有：B2πr′=0，所以

B=0

即對均勻密繞螺繞環(huán)，由于環(huán)上的線圈繞得很密，則磁場幾乎全部集中于管內(nèi)，在環(huán)的外部空間，磁感強(qiáng)度處處為零。

3.長直載流圓柱體的磁場

在利用畢奧——薩伐爾定律計(jì)算無限長載流直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度，得出式(7-7)時(shí)，認(rèn)為載流導(dǎo)線很細(xì)，但是當(dāng)a→0時(shí)，該式失效。實(shí)際上，導(dǎo)線都有一定的半徑，尤其在考察導(dǎo)線內(nèi)的磁場分布時(shí)，就不得不把導(dǎo)體看成圓柱體了。對于穩(wěn)恒電流，在導(dǎo)線的橫截面上，電流I是均勻分布的。長直圓柱體中的電流分布對稱于圓柱的軸線，所以圓柱內(nèi)、外的磁感強(qiáng)度也應(yīng)對軸線對稱。又因磁感應(yīng)線總是閉合曲線，于是長直載流圓柱體內(nèi)、外的磁感應(yīng)線分布，只能是圓心在軸線上，

并與軸線垂直的同軸圓。也就是說：磁場中各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度方向與通過該點(diǎn)的同軸圓相切。由于同一磁感應(yīng)線上各點(diǎn)到軸線的距離相等，根據(jù)軸對稱，同一磁感應(yīng)線上各點(diǎn)磁感強(qiáng)度的大小相等?，F(xiàn)在我們來計(jì)算半徑為R的長直載流圓柱內(nèi)、外，距軸線為r的P點(diǎn)的磁感強(qiáng)度。將長直載流圓柱體分割成許多截面為dS的無限長直線電流，每一直線電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度都分布在垂直于導(dǎo)體的平面內(nèi)。如圖7-17所示，過場點(diǎn)P取垂直于導(dǎo)體的平面，點(diǎn)O是導(dǎo)體軸線與此平面的交點(diǎn)。在此平面內(nèi)的導(dǎo)體截面上取關(guān)于OP對稱分布的一對面元dS和

dS′，設(shè)dB和dB′分別是以dS和dS′為截面的無限長電流dI和dI′在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。不難看出，它們的合矢量dB+dB′

應(yīng)沿以O(shè)為圓心、OP=r為半徑、位于和導(dǎo)體垂直的平面內(nèi)的圓L的切線，指向與電流方向成右螺旋關(guān)系。選擇通過P點(diǎn)的同軸圓L作為積分的閉合路徑，則對導(dǎo)體內(nèi)部的點(diǎn)P，r＜R，L所圍的電流，由安培環(huán)路定理，有：得

（r＜R）

上式表明，在導(dǎo)體內(nèi)部，B與r成正比。

對導(dǎo)體外部的點(diǎn)P，r＞R，L所圍的電流即圓柱體上的總電流I，由安培環(huán)路定理有

得（r＞R）該式表明，在導(dǎo)體內(nèi)部，B與r成反比。即長直載流圓柱體外部磁場B的分布與一無限長載流直導(dǎo)線的磁場的B分布相同。對圓柱體表面上的點(diǎn)，r=R，從以上兩式都能得到：。圖7-17給出了長直載流圓柱體的磁場B隨r變化的曲線。

*7.5磁場對電流的作用

前面我們討論了穩(wěn)恒電流所產(chǎn)生的磁場，這只是電流和磁場之間相互關(guān)系中的一個(gè)側(cè)面。本節(jié)我們簡單討論一下問題的另一個(gè)側(cè)面，即磁場對電流的作用。主要內(nèi)容有：磁場對載流導(dǎo)線作用力的基本規(guī)律——安培定律；磁場對載流線圈作用的磁力矩；磁場對運(yùn)動(dòng)電荷的作用力——洛侖茲力。

7.5.1磁場對載流導(dǎo)線的作用力

載流導(dǎo)線放在磁場中時(shí)，將受到磁力的作用。安培最早用實(shí)驗(yàn)方法，研究了電流和電流之間的磁力的作用，從而總結(jié)出載流導(dǎo)線上一小段電流元所受磁力的基本規(guī)律，稱為安培定律。其內(nèi)容如下：放在磁場中某點(diǎn)處的電流元Idl，所受到的磁場作用力dF的大小和該點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度B的大小、電流元的大小以及電流元Idl和磁感強(qiáng)度B所成的角θ[或用(Idl，B)表示]的正弦成正比，即dF=kBIdlsinθ

dF的方向與矢積Idl

×B的方向相同(圖7-18)。

式中的比例系數(shù)k的量值取決于式中各量的單位。在國際單位制中，B的單位用特斯拉(T)，I的單位用安培(A)，dl的單位用米(m)，dF的單位用牛頓(N)，則k=1，安培定律的表達(dá)式可簡化為

dF=BIdlsinθ

，寫成矢量表達(dá)式，即

dF=Idl×B

（7-17）

載流導(dǎo)線在磁場中所受的磁力，通常也叫安培力。式(7-17)表達(dá)的規(guī)律叫做安培定律。

因?yàn)榘才喽山o出的是載流導(dǎo)線上一個(gè)電流元所受的磁力，所以它不能直接用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。但是，任何有限長的載流導(dǎo)線L在磁場中所受的磁力F，應(yīng)等于導(dǎo)線L上各個(gè)電流元所受磁力dF的矢量和，

(7-18)圖7-19圖7-18對于一些具體的載流導(dǎo)線，理論計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測量的結(jié)果是相符的。這就間接證明了安培定律的正確性。圖7-18圖7-19

式(7-18)是一個(gè)矢量積分。如果導(dǎo)線上各個(gè)電流元所受的磁力dF的方向都相同，則矢量積分可直接化為標(biāo)量積分。例如，長為L的一段載流直導(dǎo)線，放在均勻磁場B中，如圖7-19所示。根據(jù)矢積的右手螺旋法則，可以判斷導(dǎo)線上各個(gè)電流元所受磁力dF的方向都是垂直紙面向外的。所以整個(gè)載流直導(dǎo)線所受的磁力F的大小為

其中θ為電流I的方向與磁場B的方向之間的夾角。F的方向與dF的方向相同，即垂直于紙面向外。

由式(7-18)可以看出，當(dāng)直導(dǎo)線與磁場平行時(shí)(即或)，F(xiàn)=0，即載流導(dǎo)線不受磁力作用；當(dāng)直導(dǎo)線與磁場垂直時(shí)（)，載流導(dǎo)線所受磁力最大，其值為F=BIL；如果載流導(dǎo)線上各個(gè)電流元所受磁力dF的方向各不相同，式(7-18)的矢量積分不能直接計(jì)算。這時(shí)應(yīng)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，先將dF沿各坐標(biāo)分解成分量，然后對各個(gè)分量進(jìn)行標(biāo)量積分：，，，最后再求出合力。例7-4如圖7-20所示，載流長直導(dǎo)線L1通有電流，另一載流直導(dǎo)線L2與L1共面且正交，長為，通電流。L2的左端與L1相距d＝20cm，求導(dǎo)線L2所受的磁場力。

解

長直載流導(dǎo)線L1所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B在L2處的方向雖都是垂直圖面向內(nèi)，但它的大小沿L2逐點(diǎn)不同。要計(jì)算L2所受的力，先要在L2上距L1為x處任意取一線段元dx，在電流元I2dx的微小范圍內(nèi)，B可看作恒量，它的大小為

顯然任一電流元I2dx都與磁感強(qiáng)度B垂直，即，所以電流元受力的大小根據(jù)矢積Idl

×B的方向可知，電流元受力的方向垂直L2沿圖面向上。由于所有電流元受力方向都相同，所以整根L2所受的力F是各電流元受力大小的和，可用標(biāo)量積分直接計(jì)算

圖7-20

代入題設(shè)數(shù)據(jù)后得

導(dǎo)體L2受力的方向和電流元受力方向一樣，也是垂直L2沿圖面向上。7.5.2磁場對載流線圈的作用力矩

一個(gè)剛性載流線圈放在磁場中往往要受力矩的作用，因而發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。這種情況在電磁儀表和電動(dòng)機(jī)中經(jīng)常用到。下面我們利用安培定律討論均勻磁場對平面載流線圈作用的磁力矩。圖7-21

如圖7-21所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場中，有一剛性的載流線圈abcd，邊長分別為L1和L2，通有電流I。設(shè)線圈平面的法線n的方向(由電流I的方向，按右手螺旋法則定出)與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向所成的夾角為φ。ab和cd兩邊與B垂直。由圖可見，線圈平面與B的夾角

根據(jù)安培定律，導(dǎo)線bc和da所受磁場的作用力分別為F1和F2，其大小,F1和F2大小相等，方向相反，又都在過bc和da中點(diǎn)的同一直線上。所以它們的合力為零，對線圈不產(chǎn)生力矩。導(dǎo)線ab和cd所受磁場的作用力分別為F3和F4，

根據(jù)安培定律，它們的大小為

圖7-21F3和F4大小相等，方向相反，雖然合力為零，但因它們不在同一直線上，而形成一力偶，其力臂為因此，均勻磁場作用在矩形線圈上的力矩M的大小為

（7-19）

式中，S=L1L2為矩形線圈的面積。M的方向?yàn)檠豠c中點(diǎn)和bd中點(diǎn)的聯(lián)線向上。如果線圈有N匝，則線圈所受力矩為一匝時(shí)的N倍，即式中，Pm=NIS為載流線圈磁矩的大小，Pm的方向就是載流線圈平面的法線n的方向。所以上式可以寫成矢量形式，即

M=Pm×B

（7-20）式(7-19)和式(7-20)雖然是由矩形載流線圈推導(dǎo)出來的，但可以證明，在均勻磁場中對于任意形狀的載流平面線圈所受的磁力矩，上述二式都是普遍適用的?？傊?，任何一個(gè)載流平面線圈在均勻磁場中，雖然所受磁力的合力為零，但它還受一個(gè)磁力矩的作用。這個(gè)磁力矩M總是力圖使線圈的磁矩Pm轉(zhuǎn)到磁場B的方向上來。當(dāng)φ=，即線圈磁矩Pm與磁場方向垂直，或者說線圈平面與磁場方向平行時(shí)，線圈所受磁力矩最大，即由此也可以得到磁感強(qiáng)度B的大小的又一個(gè)定義式，即當(dāng)φ=0即線圈磁矩Pm與磁場方向一致時(shí)，磁力矩M=0，此時(shí)線圈處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當(dāng)φ=π時(shí)，載流線圈所受的磁力矩為零，此時(shí)線圈處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)。

7.5.3磁場對運(yùn)動(dòng)電荷的作用力

帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到磁場的作用力，這種磁場對運(yùn)動(dòng)電荷的作用力叫做洛侖茲力。

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁場中某點(diǎn)所受到的洛侖茲力f的大小，與粒子所帶電量q的量值、粒子運(yùn)動(dòng)速度v的大小、該點(diǎn)處磁感強(qiáng)度B的大小以及B與v之間夾角θ的正弦成正比。在國際單位制中，洛侖茲力f的大小為

(7-21)洛侖茲力f的方向垂直于v和B構(gòu)成的平面，其指向按右手螺旋法則由矢積v×B的方向以及q的正負(fù)來確定：對于正電荷(q>0)，f的方向與矢積v×B的方向相同；對于負(fù)電荷(q<0)，f的方向與矢積v×B的方向相反，如圖7-22所示。洛侖茲力f的矢量式為

f=qv×B

(7-22)圖7-22注意，式中的q本身有正負(fù)之別，這由運(yùn)動(dòng)粒子所帶電荷的電性決定。當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向平行于磁場時(shí)，v與B之間的夾角或θ=π，則洛侖茲力f=0。當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直于磁場時(shí)，v與B的夾角，則運(yùn)動(dòng)電荷所受的洛侖茲力最大，這正是7.1.2中定義磁感強(qiáng)度B的大小時(shí)引用過的情況。由于運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中所受的洛侖茲力的方向始終與運(yùn)動(dòng)電荷的速度垂直，所以洛侖茲力只能改變運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向，不能改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的大小。也就是說洛侖茲力只能使運(yùn)動(dòng)電荷的運(yùn)動(dòng)路徑發(fā)生彎曲，但對運(yùn)動(dòng)電荷不作功。

7.5.4霍耳效應(yīng)

將通有電流I的金屬板（或半導(dǎo)體板）置于磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場中，磁場的方向和電流方向垂直如圖7-23所示，在金屬板的第三對表面間就顯示出橫向電勢差，這一現(xiàn)象稱為霍耳效應(yīng)。UH則稱為霍耳電勢差。

實(shí)驗(yàn)測定，霍耳電勢差的大小和電流I及磁感強(qiáng)度B成正比，而與板的厚度d成反比。

這種現(xiàn)象可用載流子受到洛侖茲力來解釋。

設(shè)一導(dǎo)體薄片寬為l、厚為d，把它放在磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場中，通以電流I，方向如圖7-23所示。如果載流子（金屬導(dǎo)體中為電子）作宏觀定向運(yùn)動(dòng)的平均速度為v(也叫平均漂移速度，與I的方向相反)，則每個(gè)載流子受到的平均洛侖茲力Fm的大小為

Fm

=qvB，它的方向?yàn)槭阜eqv

×B的方向。即圖7-23（b）中寬度l向下的方向。在洛侖茲力作用下，使正載流子聚集于上表面，下表面因缺少正載流子而積累等量異號的負(fù)電荷。隨著電荷的積累，在兩表面之間出現(xiàn)電場強(qiáng)度為EH的橫向電場，使載流子受到與洛侖茲力方向相反的電場力Fe

(=qEH)的作用。達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，兩力方向相反而大小相等。于是有

(b)

圖7-23霍耳效應(yīng)

所以由于半導(dǎo)體內(nèi)各處，載流子的平均漂移速度相等。而且磁場是均勻磁場，所以動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，半導(dǎo)體內(nèi)出現(xiàn)的橫向電場是均勻電場。于是霍爾電壓為，由于電流，n為載流子密度，上面兩式消去v，即得或?qū)懗?/p>

(7-23)式中叫做材料的霍爾系數(shù)?；魻栂禂?shù)越大的材料，霍爾效應(yīng)越顯著?；魻栂禂?shù)與載流子密度n成反比。在金屬導(dǎo)體中，自由電子的濃度大，故金屬導(dǎo)體的霍耳系數(shù)很小，相應(yīng)的霍耳電勢差也就很弱，即霍耳效應(yīng)不明顯。而半導(dǎo)體的載流子密度遠(yuǎn)比金屬導(dǎo)體的小，故半導(dǎo)體的霍耳系數(shù)比金屬導(dǎo)體大得多，所以半導(dǎo)體的霍爾效應(yīng)比金屬導(dǎo)體明顯得多。如果載流子是負(fù)電荷(則)，霍爾系數(shù)是負(fù)值，則霍爾電壓也是負(fù)值。因此可根據(jù)霍爾電壓的正、負(fù)判斷導(dǎo)電材料中的載流子是正的還是負(fù)的。

在電流、磁場均相同的前提下，應(yīng)特別注意：P型半導(dǎo)體和N型半導(dǎo)體的霍耳電勢差正負(fù)不同?；舳禂?shù)與材料性質(zhì)有關(guān)。表7-1列出了幾種材料的霍耳系數(shù)

表7-1幾種材料的霍耳系數(shù)

物

質(zhì)化學(xué)名稱霍耳系數(shù)

物

質(zhì)化學(xué)名稱霍耳系數(shù)鋰Li-1.7鉍Be2.44鈉Na-2.5鎂Mg-0.94鉀K-4.2鋅Zn0.33銫Cs-7.8鉻Cr6.5銅Cu-0.55鋁Al-0.30銀Ag-0.84錫Sn

-0.048金Au-0.72鉈Tl

0.12用半導(dǎo)體做成反映霍爾效應(yīng)的器件叫做霍爾元件。它已廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和生產(chǎn)技術(shù)上。例如可用霍爾元件做成測量磁感強(qiáng)度的儀器——高斯計(jì)。利用霍耳效應(yīng)，可實(shí)現(xiàn)磁流體發(fā)電。它是目前許多國家都在積極研制的一項(xiàng)高新技術(shù)。7.5.5介質(zhì)中的磁場

在實(shí)際的磁場中，一般都存在各種不同的實(shí)物性物質(zhì)，放在磁場中的任何物質(zhì)都要和磁場發(fā)生相互作用，所以人們把放在磁場中的任何物質(zhì)統(tǒng)稱為磁介質(zhì)。

1.磁介質(zhì)

放在靜電場中的電介質(zhì)要被電場極化，極化了的電介質(zhì)會(huì)產(chǎn)生附加電場，從而對原電場產(chǎn)生影響。與此類似，放在磁場中的磁介質(zhì)要被磁場磁化，磁化了的磁介質(zhì)也會(huì)產(chǎn)生附加磁場，從而對原磁場產(chǎn)生影響。實(shí)驗(yàn)表明，不同的磁介質(zhì)對磁場的影響不同。如果在真空中某點(diǎn)磁感強(qiáng)度為B0，放入磁介質(zhì)后，因磁介質(zhì)被磁化而在該點(diǎn)產(chǎn)生的附加磁感強(qiáng)度為B′。那么該點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B應(yīng)是這兩個(gè)磁感強(qiáng)度的矢量和，即

B=B0

+

B′(7-24)

在磁介質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)，附加磁感強(qiáng)度B′的方向隨磁介質(zhì)而異，如果B′的方向與B0的方向相同，使得B＞B0，這種磁介質(zhì)叫做順磁質(zhì)，如鋁、氧、錳等。還有一些磁介質(zhì)，在磁介質(zhì)內(nèi)部任一點(diǎn)，B′的方向與B0的方向相反，使得B＜B0，這種磁介質(zhì)叫做抗磁質(zhì)，如銅、鉍、氫等。無論是順磁質(zhì)還是抗磁質(zhì)，附加的磁感強(qiáng)度B′都比B0小得多(不大于十萬分之幾)，它對原來的磁場的影響比較弱。所以，順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)統(tǒng)稱為弱磁質(zhì)。另一類磁介質(zhì)，在磁介質(zhì)內(nèi)

部任一點(diǎn)的附加磁感強(qiáng)度B′的方向與順磁質(zhì)一樣，也和B0的方向相同，但B′的值卻比B0大得多，即，從而使磁場顯著增強(qiáng)，例如鐵、鈷、鎳等就屬于這種情況，人們把這類磁介質(zhì)叫做鐵磁質(zhì)或強(qiáng)磁質(zhì)。

為反映各種磁介質(zhì)對外磁場影響的程度，常用磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率來描述。

2.相對磁導(dǎo)率和磁導(dǎo)率

以載流長直螺線管為例來討論磁介質(zhì)對外磁場的影響。設(shè)螺線管中的電流為I，單位長度的匝數(shù)為n，則電流在螺線管內(nèi)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B0的大小為(7-25)如果在長直螺線管內(nèi)充滿某種均勻的各向同性磁介質(zhì)，則由于磁介質(zhì)的磁化而產(chǎn)生附加磁感強(qiáng)度B′，使螺線管內(nèi)的磁介質(zhì)中的磁感強(qiáng)度變?yōu)锽，B和B0大小的比為

(7-26)

比值是決定磁介質(zhì)磁性的純數(shù)。叫做該磁介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率，它的大小表征了磁介質(zhì)對外磁場影響的程度。比較(7-25)、(7-26)兩式得

或(7-27)

式中，μ叫做磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率。在國際單位制中，磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率μ的單位和真空磁導(dǎo)率的單位相同，即或N·A-2。

對于順磁質(zhì)，＞1，對于抗磁質(zhì)，＜1，事實(shí)上，大多數(shù)順磁質(zhì)和一切抗磁質(zhì)的相對磁導(dǎo)率是與1相差極微的常數(shù)，說明這些物質(zhì)對外磁場影響甚微，因而有時(shí)可忽略它們的影響。至于鐵磁質(zhì)，它們的相對磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于1，并且隨著外磁場的強(qiáng)弱而變化。磁介質(zhì)的磁化是物體的一個(gè)重要屬性。它與物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)分不開，下面介紹弱磁物質(zhì)的磁化的微觀機(jī)理。

3.順磁質(zhì)與抗磁質(zhì)的磁化機(jī)理

從物質(zhì)結(jié)構(gòu)看，任何物質(zhì)分子中的每個(gè)電子，除繞原子核作軌道運(yùn)動(dòng)外，還有自旋運(yùn)動(dòng)，這些運(yùn)動(dòng)都要產(chǎn)生磁場。如果把分子當(dāng)作一個(gè)整體，每一個(gè)分子中各個(gè)運(yùn)動(dòng)電子所產(chǎn)生的磁場的總和，相當(dāng)于—個(gè)等效圓形電流所產(chǎn)生的磁場。這一等效圓形電流叫做分子電流。每種分子的分子電流的磁矩Pm具有確定的量值，叫做分子磁矩。

在順磁質(zhì)中，每個(gè)分子的分子磁矩Pm不為零，當(dāng)沒有外磁場時(shí)，由于分子的熱運(yùn)動(dòng)，每個(gè)分子磁矩的取向是無序的。因此在一個(gè)宏觀的體積元中，所有分子磁矩的矢量和ΣPm為零。也就是說：當(dāng)無外磁場時(shí)，磁介質(zhì)不呈磁性。當(dāng)有外磁場時(shí)，各分子磁矩都要受到磁力矩的作用。在磁力矩作用下，所有分子磁矩Pm將力圖轉(zhuǎn)到外磁場方向，但由于分子熱運(yùn)動(dòng)的影響，分子磁矩沿外磁場方向的排列只是略占優(yōu)勢。因此在宏觀的體積元中，各分子磁矩的矢量和ΣPm不為零。即合成—個(gè)沿外磁場方向的合磁矩。這樣，在磁介質(zhì)內(nèi)，分子電流產(chǎn)生了一個(gè)沿外磁場方向的附加磁感強(qiáng)度B′，于是，順磁質(zhì)內(nèi)的磁感強(qiáng)度B的大小增強(qiáng)為

B

=B0+B′，這就是順磁質(zhì)的磁化效應(yīng)。

在抗磁質(zhì)中，雖然組成分子的每個(gè)電子的磁矩不為零，但每個(gè)分子的所有分子磁矩正好相互抵消。也就是說：抗磁質(zhì)的分子磁矩為零，即Pm

=0。所以當(dāng)無外磁場時(shí)，磁介質(zhì)不呈現(xiàn)磁性。當(dāng)抗磁質(zhì)放人外磁場中時(shí)，由于外磁場穿過每個(gè)抗磁質(zhì)分子的磁通量增加，無論分子中各電子原來的磁矩方向怎樣，根據(jù)中學(xué)里已學(xué)過的電磁感應(yīng)知識(shí)，分子中每個(gè)運(yùn)動(dòng)著的電子將感應(yīng)出—個(gè)與外磁場方向相反的附加磁場，來反抗穿過該分子的磁通量的增加。這—附加磁場可看作是由分子的附加等效圓形電流所產(chǎn)生的，其磁矩為，叫做分子的附加磁矩

。由于原子、分子中電子運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)一一電子不易與外界交換能量，磁場穩(wěn)定后，已產(chǎn)生的附加等效圓形電流將繼續(xù)下去，因而在外磁場中的抗磁質(zhì)內(nèi)，由所有分子的附加磁矩產(chǎn)生了一個(gè)與外磁場方向相反的附加磁感應(yīng)強(qiáng)度B′。于是抗磁質(zhì)內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小減為B

=

B0-B′，這就是抗磁質(zhì)的磁化效應(yīng)。實(shí)際上，在外磁場中順磁質(zhì)分子也要產(chǎn)生—個(gè)與外磁場方向相反的附加磁矩，但在一個(gè)宏觀的體積元中，順磁質(zhì)分子由于轉(zhuǎn)向磁化而產(chǎn)生與外磁場方向相同的磁矩遠(yuǎn)大于分子附加磁矩的總和，因此順磁質(zhì)中的分子附加磁矩被分子轉(zhuǎn)向磁化而產(chǎn)生的磁矩所掩蓋。4.介質(zhì)中的安培環(huán)路定理

在不考慮磁介質(zhì)時(shí)，磁場的安培環(huán)路定理可寫作

在有磁介質(zhì)的情況下，介質(zhì)中各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B等于傳導(dǎo)電流I和磁化電流I′分別在該點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度

B0和

B′之矢量和，即

B=B0+B′

因此，磁場的安培環(huán)路定理中，還須計(jì)入被閉合路徑

l所圍繞的磁化電流I′，即但是，由于磁化電流

的分布難于測定，這就給應(yīng)用安培環(huán)路定理來研究介質(zhì)中的磁場造成了困難，為此，在磁場中引入一個(gè)輔助量——稱為磁場強(qiáng)度，簡稱H矢量，定義為

，單位是安培每米（

A·m-1）。于是，可以得到有磁介質(zhì)時(shí)磁場的安培環(huán)路定理為上式表明，在任何磁場中，H矢量沿任何閉合路徑

l的線積分（即），等于此閉合路徑

l所圍繞的傳導(dǎo)電流

之代數(shù)和。

5.鐵磁質(zhì)的特性

順磁質(zhì)和抗磁噴的都接近1，因此對磁場影響不大。而鐵磁質(zhì)則很大，因而磁導(dǎo)率是真空中的幾百倍至幾萬倍。此外還有如下一些特性：(1)鐵磁質(zhì)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B

(=μH)并不隨著磁場強(qiáng)度H按比例地變化，即鐵磁質(zhì)的磁導(dǎo)率不是常量。當(dāng)H從零逐漸增大（H的值不是很大）時(shí)，B也逐漸地增加；之后，H再增加時(shí)，B就急劇地增加；當(dāng)H增大到一定程度以后，再增H時(shí)，B就增加得慢了，并且再增加外磁場強(qiáng)度H，B的增加就十分緩慢，以至于不再增大。這時(shí)對應(yīng)的B值一般叫做飽和磁感強(qiáng)度Bmax，這種現(xiàn)象叫做磁飽和現(xiàn)象。

(2)鐵磁質(zhì)的磁化過程并不是可逆的。當(dāng)H增大時(shí)，B按一條磁化曲線增長，當(dāng)鐵磁質(zhì)磁化到一定程度后，再逐漸使H減弱而使鐵磁質(zhì)退磁時(shí)，B雖相應(yīng)的減小，但卻按照另一條曲線下降，而該曲線的位置比上一曲線高，這種B的變化落后于H的變化的現(xiàn)象，叫做磁滯現(xiàn)象，簡稱磁滯。當(dāng)H減小到零時(shí)，B并不等于零，而仍有一定數(shù)值Br，Br叫做剩余磁感強(qiáng)度，簡稱剩磁。這是鐵磁質(zhì)所特有的現(xiàn)象。如果一鐵磁質(zhì)有剩磁存在，這就表明它已被磁化過。為了消除剩磁，必須加一反向磁場。

圖7-24磁滯回線

由圖7-24可以看出，隨著反向磁場的增加，B逐漸減小，當(dāng)達(dá)到H=HC時(shí)，B等于零。通常把HC叫做矯頑力。它表示鐵磁質(zhì)去磁的能力。當(dāng)反向磁場繼續(xù)不斷增強(qiáng)到－HC時(shí)，材料的反向磁化同樣能達(dá)到飽和。由于磁滯，B-H曲線形成一個(gè)閉合曲線，通常叫做磁滯回線。如圖7-24所示。圖7-24磁滯回線

(3)．實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，鐵磁質(zhì)的磁化和溫度有關(guān)。隨著溫度的升高，它的磁化能力逐漸減小，當(dāng)溫度升高到某一溫度時(shí)，鐵磁性就完全消失。這個(gè)溫度叫做居里溫度或居里點(diǎn)。從實(shí)驗(yàn)知道鐵的居里溫度是770℃(1043K)

本章小結(jié)：

1.磁感強(qiáng)度B

大?。?；方向：規(guī)定磁場中，小磁針靜止時(shí)N極的指向方向?yàn)樵擖c(diǎn)的磁感強(qiáng)度B的方向。

可用磁感應(yīng)線簡稱線來形象化的描述磁場的分布情況：磁感應(yīng)線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向一致；磁感應(yīng)線的密度表示B的大小。

2.畢奧—薩伐爾定律穩(wěn)恒電流的電流元I在真空中某點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度

（1）載流直導(dǎo)線的磁場

當(dāng)載流導(dǎo)線為無限長時(shí)：

（2）圓形電流的磁場

；圓心處：；當(dāng)：

或

線圈的磁矩

3.通過曲面S的磁通量

4.磁場中的高斯定理

它表明磁場是無源場，或者說是渦旋場5.安培環(huán)路定理

它表明穩(wěn)恒磁場是非保守場（1）.長直載流螺線管內(nèi)的磁場

B=μ0n

I（2）環(huán)形載流螺線管（常稱螺繞環(huán)）內(nèi)外的磁場

管內(nèi)（R1＜

r

＜R2）：，當(dāng)，（R：螺繞環(huán)的平均半徑）：

管外

B=0（3）長直載流圓柱體的磁場導(dǎo)體