信號(hào)與系統(tǒng) 第八章 濾波器和均衡器中的應(yīng)用

第八章濾波器和均衡器中的應(yīng)用濾波器是對(duì)信號(hào)的頻率成分進(jìn)行選擇和調(diào)整的工具。使用濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行選擇的前提，是所需要信號(hào)的頻率成分與寄生（無用）信號(hào)的頻率成分之間是分離的。均衡器是從輸出信號(hào)中恢復(fù)輸入信號(hào)的工具。利用拉普拉斯變換和z變換，可以實(shí)現(xiàn)濾波器和均衡器的設(shè)計(jì)。理想濾波器概念是濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，從理想濾波器概念出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)際濾波器的設(shè)計(jì)。低通濾波器設(shè)計(jì)是高通濾波器和帶通濾波器等濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)方法以連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的角度設(shè)計(jì)的濾波器是模擬濾波器，以離散時(shí)間系統(tǒng)角度設(shè)計(jì)的濾波器是數(shù)字濾波器?！?.1引言§8.2無失真?zhèn)鬏敆l件如果輸出信號(hào)y(t)只是輸入信號(hào)x(t)幅度的尺度變換和恒定的時(shí)間延遲，則稱系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行了無失真的傳輸。系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件可以表示為其中

C和

t0均是常數(shù)，分別代表幅度變換程度和傳輸過程中的時(shí)間延遲。LTI系統(tǒng)輸入信號(hào)x(t)輸出信號(hào)y(t)=C

x(t-t0)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的傅里葉變換為線性非時(shí)變無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)和沖激響應(yīng)分別為§8.2無失真?zhèn)鬏敆l件無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度響應(yīng)為常數(shù)：無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的相位響應(yīng)，是以系統(tǒng)延遲時(shí)間的負(fù)值為斜率、隨頻率變化的直線。無時(shí)移系統(tǒng)的相位響應(yīng)為常數(shù)。0ω|H(jω)|C0ωarg{H(jω)}斜率=-t0離散信號(hào)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)ωΔt

對(duì)所有頻率§8.3理想低通濾波器實(shí)際信號(hào)隨時(shí)間的變化率一般都有一定的上下限，即信號(hào)的頻譜只占有有限的頻率范圍。我們可以通過對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，使其具有選擇讓某些頻率范圍的信號(hào)通過，并阻斷某些頻率范圍信號(hào)的功能，實(shí)現(xiàn)這種功能的方法或工具稱為濾波器。實(shí)際系統(tǒng)都只能對(duì)一定頻率范圍的信號(hào)做出響應(yīng)，因此從廣義上說，實(shí)際系統(tǒng)本身就具有濾波器的功能。濾波器的頻率響應(yīng)通過通帶和阻帶體現(xiàn)其特性，通帶與阻帶之間由過渡帶（保護(hù)帶）隔離開，過渡帶往往是系統(tǒng)為保證完整而無失真地取得有用信號(hào)的冗余保障。濾波器有低通、高通、帶通和帶阻等類型，分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)需要傳輸?shù)皖l、高頻、中頻及除中頻外頻段信號(hào)的特性。低通濾波器是具有讓頻率從零至某一最大頻率范圍信號(hào)通過，而阻斷其他高頻信號(hào)通過的系統(tǒng)。允許所有通帶內(nèi)的低頻信號(hào)無失真通過，通帶外的高頻信號(hào)完全不能通過的濾波器是為理想低通濾波器。低通濾波器設(shè)計(jì)方法是其他濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)?！?.3理想低通濾波器理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：0ω|H(jω)|1ωc-ωc0ωarg{H(jω)}1ωc-ωc斜率=-t0理想低通濾波器通帶內(nèi)幅度響應(yīng)為1，相位響應(yīng)為直線，即：§8.3理想低通濾波器理想低通濾波器的沖激響應(yīng)：主瓣寬度：2π/ωc上升時(shí)間：π/ωct

<0時(shí)，h(t)≠0由于t

<0時(shí)，h(t)≠0，理想低通濾波器不具有因果性。

8.3.1時(shí)域矩形脈沖信號(hào)通過理想低通濾波器后的特性輸入為矩形脈沖信號(hào)通過理想低通濾波器后的輸出信號(hào)為其中：

8.3.1矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特性而稱為正弦積分正弦積分的基本特點(diǎn):正弦積分是奇函數(shù)；正弦積分在π的整數(shù)倍位置上有極大值或極小值；隨著|u|的增加，正弦積分趨向于極限值±π/2。

8.3.1矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特性矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特點(diǎn)1、ωc＞4π/T0時(shí)，輸出信號(hào)y(t)與輸入矩形脈沖x(t)的持續(xù)時(shí)間大致相同，但是：a）與輸入信號(hào)的陡峭上升和下降不同，輸出信號(hào)具有一定的上上升和下降時(shí)間，上升和下降時(shí)間的長(zhǎng)短與截止頻率ωc成反比，截止頻率越大，上升和下降時(shí)間越短；b）輸出信號(hào)y(t)在上升和下降沿的前后存在過沖和振蕩（吉布斯現(xiàn)象），最大頂部上沖量約為正弦積分極限值的9%。

2、ωc=2π/T0時(shí)，輸出響應(yīng)y(t)可以看成一個(gè)脈沖信號(hào)。脈沖的上升時(shí)間和下降時(shí)間之和與輸入矩形脈沖的持續(xù)時(shí)間幾乎是相同的，可以近似反映輸入信號(hào)的有無和持續(xù)時(shí)間過程。3、當(dāng)ωc＜2π/T0時(shí)，響應(yīng)y(t)可以粗略地看作輸入脈沖的失真模式。ωc>4π/T0ωc=2π/T0ωc＜2π/T0x(t)y(t)

8.3.1矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特性（第7節(jié)課，2014年12月15日，金工實(shí)習(xí)停課6周后第六次課講到此。）

矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特點(diǎn)ωcT0

=10π時(shí)，矩形脈沖通過理想低通濾波器后的輸出：1）上升和下降時(shí)間較ωcT0

=4π時(shí)明顯減??；2）平均振蕩幅度較ωcT0

=4π時(shí)明顯減??；3）其過沖（最大振蕩幅度）基本保持不變，約為平均極限響應(yīng)的9%。ωcT0

=20π時(shí)，矩形脈沖通過理想低通濾波器后的輸出：1）上升和下降時(shí)間較ωcT0

=10π時(shí)進(jìn)一步減??；2）平均振蕩幅度進(jìn)一步減??；3）其過沖（最大振蕩幅度）基本保持不變，約為平均極限響應(yīng)的9%?！?.4濾波器設(shè)計(jì)理想低通濾波器具有的三項(xiàng)功能：讓位于通帶內(nèi)的所有頻率成分無失真通過；濾除所有位于阻帶內(nèi)的頻率成分；從通帶到阻帶的過渡是陡峭的。但是這三項(xiàng)功能實(shí)際上是難以實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際濾波器是在允許存在一定誤差的條件下來實(shí)現(xiàn)的。

實(shí)際低通濾波器的設(shè)計(jì)原則:1）濾波器的幅度響應(yīng)的平方控制在1與1-ε之間，即1-ε≤|H(jω)|2≤1對(duì)于0≤ω≤ωp

其中ωp是通帶的截止頻率，

ε是容限參數(shù)；2）阻帶內(nèi)濾波器的幅度的平方小于δ，即

|H(jω)|2≤δ對(duì)于|ω|≥ωs

其中ωs是阻帶的截止頻率，

δ是容限參數(shù)；3）過渡帶的帶寬是有限值，為：ωs-ωp，即阻帶最小頻率與通帶最大頻率之差。11-εδ|H(jω)|2ωsωp0通帶阻帶過渡帶§8.4濾波器設(shè)計(jì)實(shí)際低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟:1）通過表示穩(wěn)定因果系統(tǒng)的有理傳遞函數(shù)，將預(yù)定的頻率響應(yīng)（包括幅度及相位響應(yīng)）作近似表示；2）通過實(shí)際的物理系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)以上近似表示的傳遞函數(shù)。

實(shí)際低通濾波器的設(shè)計(jì)方法:1）對(duì)模擬系統(tǒng)采用模擬方法實(shí)現(xiàn)濾波器設(shè)計(jì)；2）在已經(jīng)知道的模擬濾波器基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，稱為模擬—數(shù)字方法；3）直接進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法?！?.5實(shí)現(xiàn)實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)的近似函數(shù)

實(shí)際濾波器的設(shè)計(jì)沒有固定和唯一的方法，只能根據(jù)需要問題的要求，從一個(gè)優(yōu)化的原則和技術(shù)出發(fā)，得到符合一定規(guī)范條件下的解決方案。濾波器設(shè)計(jì)中常用的兩種優(yōu)化方案是最大平坦幅度響應(yīng)和等紋波幅度響應(yīng)。a）最大平坦幅度響應(yīng)

如果幅度響應(yīng)|H(jω)|對(duì)ω的各階偏導(dǎo)數(shù)在ω=0時(shí)均為零，稱該濾波器|H(jω)|是關(guān)于ω=0點(diǎn)最大平坦的。即最大平坦幅度響應(yīng)滿足：§8.5實(shí)現(xiàn)實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)的近似函數(shù)b）等紋波幅度響應(yīng)

令幅度響應(yīng)|H(jω)|的模平方具有如下形式：

如果函數(shù)F

2(ω)在整個(gè)通帶內(nèi)只在最大值與最小值之間振蕩，那么就可以通過選擇適當(dāng)?shù)摩弥?，使得|H(jω)|在通帶內(nèi)只在1與1-ε之間變化，稱這種情況下的幅度響應(yīng)為等紋波幅度響應(yīng)。等紋波幅度響應(yīng)舉例1：函數(shù)F

(ω)關(guān)于ω的K=3階導(dǎo)數(shù)存在，且ωc=1（i）F

2(ω)=0，當(dāng)ω

=0，±ωa

（ii）F

2(ω)=1，當(dāng)ω

=±ωb，

±1（iii）

，當(dāng)ω

=±ωb，±ωa

其中：0＜ωb＜ωa＜1ωbωa011ωF

2(ω)§8.5實(shí)現(xiàn)實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)的近似函數(shù)等紋波幅度響應(yīng)舉例2：函數(shù)F

(ω)關(guān)于ω的K=4階導(dǎo)數(shù)存在，且ωc=1（i）F2

(ω)=0，當(dāng)ω

=0，±ωa1

，±ωa2

（ii）F

2(ω)=1，當(dāng)ω

=0，±ωb，

±1（iii）

，當(dāng)ω

=0，±ωa1

，±ωb，±ωa2

其中：0＜ωa1

＜ωb＜ωa2

＜1ωa1ωa2011ωF

2(ω)ωb等紋波幅度響應(yīng)舉例2：函數(shù)F

(ω)關(guān)于ω的K=4階導(dǎo)數(shù)存在，且ωc=18.5.1Butterworth低通濾波器K階

Butterworth低通濾波器的定義為Butterworth低通濾波器是關(guān)于ω的偶函數(shù)。

ωc是濾波器的截止頻率。ω/ωc|H(jω)|28.5.1Butterworth低通濾波器Butterworth低通濾波器的特點(diǎn)：1、ω=0時(shí)，|H(jω)|的2K-1階導(dǎo)數(shù)均為零，即Butterworth低通濾波器對(duì)于ω=0是最大平坦的；2、無論K為多少階，濾波器在ω=0

處無衰減；3、Butterworth低通濾波器是單調(diào)的，且無論K為多少階，濾波器在ω=±ωc

處的輸出為最大值的1/2，即以半功率輸出對(duì)應(yīng)的頻率為截止頻率；截止頻率越大，通帶寬度越寬，截止頻率越小，則通帶寬度越窄；4、Butterworth低通濾波器的階數(shù)越大，通帶內(nèi)不同頻率信號(hào)的增益越平坦；

Butterworth低通濾波器的階數(shù)越小，通帶內(nèi)不同頻率信號(hào)的增益越不平坦；5、Butterworth低通濾波器的階數(shù)越大，通帶邊緣的上升和下降率就越大，

Butterworth低通濾波器的階數(shù)越小，通帶邊緣的上升和下降率就越小。ε=0.02ε=0.01ε=0.05ε=0.1Kωp/ωc8.5.1Butterworth低通濾波器由ω=ωp

時(shí)，

|H(jω)|2=1-ε

得到通帶特性：8.5.1Butterworth低通濾波器由ω=ωs

時(shí)，

|H(jω)|2=δ

得到阻帶特性：δ=0.01δ=0.02δ=0.05δ=0.1ωs/ωcK8.5.1Butterworth低通濾波器由s=jω替換

|H(jω)|2

中的ω，則Butterworth低通濾波器的傳遞函數(shù)：H(s)H(-s)的極點(diǎn)滿足：即：H(s)的極點(diǎn)位于半徑為ωc的圓周上(P603圖8.11)，且與虛軸沒有交點(diǎn)（這是傅里葉變換即頻率響應(yīng)存在的必然結(jié)果），特別是如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，

Butterworth低通濾波器傳遞函數(shù)H(s)的極點(diǎn)將只位于s平面的左半平面內(nèi)?！遠(yuǎn)(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)，H*(jω)=H(-jω)8.5.1Butterworth低通濾波器例題與習(xí)題：例8.3（P603）作業(yè)：習(xí)題8.2（P604），習(xí)題8.3（P604），8.5.1Butterworth低通濾波器例題與習(xí)題：

例8.3（P603）三階Butterworth濾波器的極點(diǎn)分布k=1k=2k=3k=4k=5k=68.5.1Butterworth低通濾波器例題與習(xí)題：例8.3（P603）四階Butterworth濾波器的極點(diǎn)分布k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=88.5.2Chebyshev（切比雪夫，橢圓）濾波器Chebyshev（切比雪夫）低通濾波器是一種等紋波濾波器，它的定義式比Butterworth濾波器復(fù)雜，分為Chebyshev-I型和Chebyshev-II型。Chebyshev-I型濾波器的定義：Chebyshev-II型濾波器的定義：

可見，Chebyshev-II型（反Chebyshev

）濾波器是Chebyshev-I型濾波器的反濾波器。式中：

ε＜1，是通帶紋波參數(shù)；δ＜1，是阻帶紋波參數(shù)；而雙曲余弦函數(shù)：cosh(x)=(ex+e-x)/2|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωcK=2K=4K=6K=88.5.2Chebyshev（切比雪夫）濾波器Chebyshev-I型濾波器的功率譜Chebyshev-II型（反Chebyshev）濾波器的功率譜8.5.2Chebyshev（切比雪夫）濾波器|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωcK=1K=3K=5K=7Chebyshev-I型濾波器在通帶內(nèi)是等紋波的，紋波的極大和極小值的總數(shù)與濾波器階數(shù)K相同，阻帶內(nèi)Chebyshev-I型濾波器是單調(diào)下降的。Chebyshev-II型濾波器在阻帶內(nèi)是等紋波的，在通帶內(nèi)Chebyshev-II型濾波器是單調(diào)下降的。Chebyshev-I型通帶內(nèi)的等紋波性與Chebyshev-II型濾波器阻帶內(nèi)的等紋波性結(jié)合可以減小過渡帶的帶寬。這時(shí)兩個(gè)Chebyshev濾波器的極點(diǎn)均位于橢圓上，稱這樣的濾波器為橢圓濾波器。

橢圓濾波器是最優(yōu)化濾波器，因?yàn)楦鶕?jù)這樣的規(guī)范所設(shè)計(jì)濾波器的過渡帶寬最小，其傳遞函數(shù)在s平面上的零點(diǎn)是有限的，零點(diǎn)的數(shù)目由濾波器的階數(shù)K惟一確定。另外，Butterworth

和Chebyshev濾波器傳遞函數(shù)的所有零點(diǎn)都位于

s=∞處。8.5.2Chebyshev（切比雪夫）濾波器§8.6頻率變換—濾波器通帶之間的關(guān)系

截止ωc=1的低通濾波器稱為“原型”濾波器：通過改變截止頻率的值，可以得到具有任意截止頻率的低通濾波器；通過一定獨(dú)立變量代換，可以在不改變?nèi)莶畹那闆r下，由原型濾波器得到高通、帶通和帶阻濾波器。8.6.1低通濾波器到高通濾波器的轉(zhuǎn)換

低通濾波器的傳遞函數(shù)中，s平面內(nèi)的s=0和s=∞分別代表通帶的頻率中點(diǎn)（零頻率）及阻帶中的漸近過程。高通濾波器的作用與低通濾波器的作用恰好相反，因此可以在低通濾波器中將sLP用ωc/sHP替代而得到高通濾波器的傳遞函數(shù)，其中ωc是高通濾波器的低頻截止頻率。即：sLP

ωc/sHP8.6.1低通濾波器到高通濾波器的轉(zhuǎn)換

進(jìn)一步當(dāng)已經(jīng)得到了原型低通濾波器傳遞函數(shù)的部分分式，則原型低通濾波器傳遞函數(shù)到高通濾波器的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2從原型低通濾波器傳遞函數(shù)與高通濾波器的關(guān)系直接得到：8.6.2低通濾波器到帶通和帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換

帶通濾波器抑制了信號(hào)的低頻和高頻成分，而只允許其中某一帶寬范圍內(nèi)的頻率成分通過。帶通濾波器的頻率響應(yīng)H(jω)具有如下特點(diǎn)：1、在以為ω0中心頻率、截止頻率為±ωc的通帶內(nèi)，1/2≤|H(jω)|2≤1；2、在ω

遠(yuǎn)離±ωc的地方，|H(jω)|2≈0。從原型低通濾波器傳遞函數(shù)得到帶通濾波器的功率譜傳遞函數(shù)：

相應(yīng)地，可以建立零點(diǎn)位于s=0和s=∞處，極點(diǎn)位于s=±jω0處，通帶寬度為B的傳遞函數(shù)。sLP

（s2BP+ω20）/

BsBP

進(jìn)一步當(dāng)已經(jīng)得到了原型低通濾波器傳遞函數(shù)的部分分式，則原型低通濾波器傳遞函數(shù)到帶通濾波器的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：其中極點(diǎn)8.6.2低通濾波器到帶通和帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換

帶阻濾波器抑制了信號(hào)的某一帶寬范圍內(nèi)的頻率成分，而允許低頻和高頻成分通過。帶阻濾波器的頻率響應(yīng)HBR(jω)具有如下特點(diǎn)：1、在以為ω0中心頻率、截止頻率為±ωc的阻帶內(nèi)，0≤|H(jω)|2≤1/2；2、在ω

遠(yuǎn)離±ωc的地方，|H(jω)|2≈1。從原型低通濾波器傳遞函數(shù)得到帶通和帶阻濾波器的功率譜傳遞函數(shù)：ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2BB§8.6頻率變換例題與習(xí)題：作業(yè)：習(xí)題8.4（P607），習(xí)題8.5（P607），習(xí)題8.6（P608），習(xí)題8.7（P608）§8.7無源濾波器（P608）

（第8節(jié)課，2014年12月22日，金工實(shí)習(xí)停課6周后第七次課講到此。）

完全由無源電路元件（電阻、電容、電感等）組成的的濾波器稱為無源濾波器。無源濾波器的設(shè)計(jì)完全取決于電容和電感兩種電抗元件，電阻元件只作為輸入阻抗和輸出負(fù)載引入到設(shè)計(jì)中。濾波器的階數(shù)K往往由組成濾波器的電抗元件個(gè)數(shù)決定。濾波器的設(shè)計(jì)經(jīng)常是根據(jù)信號(hào)的頻率分布特性來進(jìn)行，即預(yù)先知道了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后根據(jù)傳遞函數(shù)來確定構(gòu)成濾波電路的元件，這個(gè)過程稱為網(wǎng)絡(luò)綜合?！?.8數(shù)字濾波器

無源濾波器在電子系統(tǒng)和通信系統(tǒng)中發(fā)揮了重要的作用，但是隨著技術(shù)的進(jìn)步、數(shù)字技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，無源濾波器的主導(dǎo)地位逐漸被有源濾波器和數(shù)字濾波器所取代。數(shù)字濾波器通過計(jì)算實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)信號(hào)或離散信號(hào)的濾波處理。模數(shù)轉(zhuǎn)換器數(shù)字濾波器數(shù)模轉(zhuǎn)換器重構(gòu)濾波器輸入信號(hào)x(t)輸出信號(hào)y(t)x[n]y[n]y’(t)含數(shù)字濾波器單元的連續(xù)時(shí)間濾波系統(tǒng)§8.8數(shù)字濾波器

數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)中需要注意的問題1、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)是離散信號(hào)處理理論。在那里，連續(xù)信號(hào)在時(shí)間上是經(jīng)過離散抽樣的，但抽樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)信號(hào)值的精度是無限精確的。這樣設(shè)計(jì)的濾波器可以在數(shù)學(xué)處理和分析上帶來很大的方便。2、對(duì)于實(shí)際的數(shù)字信號(hào)，不僅在抽樣過程中產(chǎn)生了時(shí)間的離散，同時(shí)還在量化過程中產(chǎn)生了信號(hào)值的數(shù)字化，使數(shù)字信號(hào)與原信號(hào)值之間產(chǎn)生了誤差。因此在數(shù)字濾波器的實(shí)際應(yīng)用中，由于計(jì)算或處理中舍入的門誤差，往往會(huì)導(dǎo)致濾波器的實(shí)際效果與理論設(shè)計(jì)結(jié)果之間存在一定的偏差。3、注意：第一種情況的準(zhǔn)確描述應(yīng)為離散時(shí)間濾波器，第二種情況才是真正的數(shù)字濾波器?！?.8數(shù)字濾波器

數(shù)字濾波器的分類1、有限持續(xù)時(shí)間沖擊響應(yīng)（FIR：finite-durationimpulseresponse）數(shù)字濾波器：由一個(gè)非遞歸線性常系數(shù)差分方程描述，其傳遞函數(shù)是z-1的多項(xiàng)式。FIR濾波器具有以下特性：

●有限的記憶，因此，任何瞬時(shí)啟動(dòng)的持續(xù)時(shí)間都是有限的；

●總是有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的；●能在滿足線性相位響應(yīng)的無相位失真條件下，實(shí)現(xiàn)特定的幅度響應(yīng)。

模擬濾波器的特性是通過時(shí)域的無限持續(xù)時(shí)間沖擊響應(yīng)來體現(xiàn)，而數(shù)字濾波器對(duì)應(yīng)的沖擊響應(yīng)持續(xù)時(shí)間既有有限的，也有無限的?！?.8數(shù)字濾波器2、無限持續(xù)時(shí)間沖擊響應(yīng)（IIR：infinite-durationimpulseresponse）數(shù)字濾波器：其輸入—輸出特性由一個(gè)遞歸線性常系數(shù)差分方程描述，其傳遞函數(shù)是z-1的有理多項(xiàng)式。對(duì)于給定頻率響應(yīng)，使用IIR數(shù)字濾波器會(huì)比使用相應(yīng)的FIR數(shù)字濾波器得到更短的濾波器長(zhǎng)度，但這是以相位失真和瞬時(shí)啟動(dòng)不一定是有限為代價(jià)的§8.9FIR數(shù)字濾波器

對(duì)于一個(gè)沖激響應(yīng)為h[n]的離散時(shí)間非周期系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)為H(ejΩ)，二者之間的關(guān)系為

FIR數(shù)字濾波器的特性是其相位響應(yīng)是線性的。相位線性響應(yīng)對(duì)應(yīng)著沖激響應(yīng)的固定時(shí)延，可以簡(jiǎn)化FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中的對(duì)幅度響應(yīng)的近似處理。8.9.1離散時(shí)間非周期系統(tǒng)頻率響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系§8.9FIR數(shù)字濾波器

如果一系統(tǒng)理想頻率響應(yīng)為Hd(ejΩ)，其對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)為hd

[n]，hd

[n]一般是無限離散時(shí)間非周期函數(shù)。為了便于時(shí)域處理，需要通過一個(gè)窗口函數(shù)w[n]使實(shí)際沖激響應(yīng)為h

[n]變?yōu)橛邢迺r(shí)間函數(shù)，實(shí)際上，由于信號(hào)采集的時(shí)間不可能無限長(zhǎng)，實(shí)際沖激響應(yīng)為h[n]總是有限的，這時(shí)其中窗口函數(shù)其傅里葉變換表示分別為H(ejΩ)和W(ejΩ)。8.9.2FIR數(shù)字濾波器的基本概念§8.9FIR數(shù)字濾波器

根據(jù)乘積的傅里葉變換性質(zhì)，有限時(shí)間函數(shù)沖激響應(yīng)h

[n]的頻率響應(yīng)為：8.9.3FIR數(shù)字濾波器產(chǎn)生的誤差使用FIR數(shù)字濾波器前后，頻率響應(yīng)誤差可以用均方誤差衡量:§8.9FIR數(shù)字濾波器

根據(jù)帕斯瓦爾定理，誤差可以在時(shí)域表示為：將窗口函數(shù)帶入，得到對(duì)矩形窗口，誤差為可見為了減少誤差，窗口函數(shù)的選擇應(yīng)使殘留的沖激響應(yīng)盡可能小。8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應(yīng)矩形窗口函數(shù)漢明（Hamming）窗口函數(shù)漢寧（Hanning）窗口函數(shù)8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應(yīng)矩形窗口函數(shù)矩形窗口函數(shù)的頻率響應(yīng)8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應(yīng)漢寧（Hanning）窗口函數(shù)漢寧（Hanning）窗口函數(shù)的頻率響應(yīng)8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應(yīng)漢明（Hamming）窗口函數(shù)漢明（Hamming）窗口函數(shù)的頻率響應(yīng)8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應(yīng)nwRect[n]nwHamming[n]nwHanning[n]窗口函數(shù)圖形8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應(yīng)ΩW

(ejΩ)rectHammingHanning窗口函數(shù)的幅度譜（線性坐標(biāo)）8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應(yīng)ΩW

(ejΩ)rectHammingHanning窗口函數(shù)的幅度譜（線性坐標(biāo)）8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應(yīng)Ω20Log10|W

(ejΩ)|rectHammingHanning窗口函數(shù)的幅度譜（分貝）8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應(yīng)Ω20Log10|W

(ejΩ)|rectHammingHanning窗口函數(shù)的幅度譜（分貝）8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟：1、了解系統(tǒng)或信號(hào)的頻率響應(yīng)或頻率成分Hd(ejΩ)；2、求Hd(ejΩ)的逆傅里葉變換得到對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)hd

[n]，即3、選擇適當(dāng)?shù)拇翱诤瘮?shù)w[n]，使理想沖激響應(yīng)被調(diào)制為可實(shí)際應(yīng)用的有限時(shí)間沖激響應(yīng)為h

[n]，即4、求輸入信號(hào)x

[n]與有限時(shí)間沖激響應(yīng)為h

[n]

的卷積和得到輸出信號(hào)y

[n]

，即8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5P613）0Ω|Hd(ejΩ)|10Arg[Hd(ejΩ)]Ωc-ΩcΩc-ΩcΩ頻譜成分及對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被窗口函數(shù)調(diào)制后的沖激響應(yīng)8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被窗口函數(shù)調(diào)制后沖激響應(yīng)的頻譜被窗口函數(shù)調(diào)制后沖激響應(yīng)對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)n沖激響應(yīng)hrect[n]hd[n]8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=12）調(diào)制后沖激響應(yīng)的圖形表示8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=12）調(diào)制后沖激響應(yīng)的圖形表示8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=12）調(diào)制后沖激響應(yīng)的圖形表示n沖激響應(yīng)hHam[n]hd[n]8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=12）調(diào)制后沖激響應(yīng)的圖形表示（紅線是矩形窗口調(diào)制的結(jié)果）8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=12）調(diào)制后沖激響應(yīng)的圖形表示n沖激響應(yīng)hHan[n]hd[n]8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=12）調(diào)制后沖激響應(yīng)的圖形表示（紅線是矩形窗口調(diào)制的結(jié)果）8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=12）調(diào)制后沖激響應(yīng)的頻譜Ω頻率響應(yīng)Wrect(ejΩ)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*Wrect8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=12）調(diào)制后沖激響應(yīng)的頻譜Ω頻率響應(yīng)WHam(ejΩ)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHam8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=12）調(diào)制后沖激響應(yīng)的頻譜Ω頻率響應(yīng)WHan(ejΩ)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHan8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=50）調(diào)制后沖激響應(yīng)的頻譜Ω頻率響應(yīng)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WrectWrect(ejΩ)WHam(ejΩ)Ω頻率響應(yīng)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHam8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=50）調(diào)制后沖激響應(yīng)的頻譜8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=50）調(diào)制后沖激響應(yīng)的頻譜WHan(ejΩ)Ω頻率響應(yīng)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHan8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=50）調(diào)制后的沖激響應(yīng)8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=50）調(diào)制后的沖激響應(yīng)8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=50）調(diào)制后的沖激響應(yīng)8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.6（P615）頻譜成分及對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)0Ω|Hd(ejΩ)|π0Arg[Hd(ejΩ)]πΩ-π-π-πππM/2-πM/28.9.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.6（P615）經(jīng)過M=12的矩形窗口調(diào)制后的沖激響應(yīng)8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.6（P615）經(jīng)過M=12的Hanming窗口調(diào)制后的沖激響應(yīng)8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.6（P615）經(jīng)過M=12的Hanming窗口調(diào)制后的沖激響應(yīng)8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.6（P615）經(jīng)過寬度為M=12矩形窗口的幅度響應(yīng)8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.6（P615）經(jīng)過寬度為M=12漢明窗口的幅度響應(yīng)8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.6（P615）經(jīng)過寬度為M=50矩形窗口的幅度響應(yīng)8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用—例8.6（P615）經(jīng)過寬度為M=50漢明窗口的幅度響應(yīng)習(xí)題講解：習(xí)題8.7（P608）§8.10IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法舉例連續(xù)信號(hào)的傳遞函數(shù)通過拉普拉斯變換得到，而離散信號(hào)的傳遞函數(shù)則由

z變換得到。當(dāng)連續(xù)信號(hào)離散后，需要尋找拉普拉斯變換與z變換之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即模擬濾波器與IIR數(shù)字濾波器之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。由模擬濾波器到IIR數(shù)字濾波器之間的轉(zhuǎn)換方法有許多種，雙線性z變換是其中比較基礎(chǔ)的一種，它能夠讓s平面上的點(diǎn)與z平面上的點(diǎn)具有惟一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。雙線性z變換的基本思路是：首先將整個(gè)s平面壓縮到s平面內(nèi)一條虛軸寬度（有限帶寬）為2π/Ts（-π/Ts＜ω＜π/Ts）的范圍內(nèi)，之后再用關(guān)系

z=rest將此橫帶轉(zhuǎn)換到z平面上（如下頁(yè)圖所示）?！?ωmax§8.10IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法舉例保證s平面與z平面具有一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系的條件為：1、

s平面上的整個(gè)虛軸

jω映射為z平面的單位圓上的一周；2、H(s)穩(wěn)定時(shí)，

H(z)也是穩(wěn)定的，因此s左半平面內(nèi)收斂的H(s)必須映射到

z平面的收斂圓內(nèi)，

s右半平面內(nèi)收斂的H(s)必須映射到

z平面的某一圓外；3、這種映射應(yīng)是可逆的，即：既可以由H(s)轉(zhuǎn)換為H(z)，也可以從H(z)

恢復(fù)H(s)；4、如果H(j0)=1，那么對(duì)應(yīng)的H(ej0)=1。s平面σ

jω0z平面Im{z}Ωrz平面jω0-π/Tsπ/TsRe{z}§8.10IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法舉例雙線性變換是滿足上述4個(gè)條件的變換，其定義之一為：其中Ts是從

s域到

z域轉(zhuǎn)換的抽樣間隔，即由連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散信號(hào)時(shí)的時(shí)間抽樣間隔。因此由拉氏變換傳遞函數(shù)H(s)到

z變換傳遞函數(shù)H(z)之間的變換關(guān)系為：因此:§8.10IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法舉例利用關(guān)系

s=σ+jω及

z=rejΩ

得到：而復(fù)角:§8.10IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法舉例從

s域到

z域傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：1、當(dāng)σ＜0時(shí)，r＜1，即：H(s)穩(wěn)定時(shí)，H(z)也是穩(wěn)定的；2、當(dāng)σ＞0時(shí)，r＞1，即：

H(s)非穩(wěn)定時(shí)，

H(z)也