第二章信號與系統(tǒng)的時域分析

第二章信號與系統(tǒng)的時域分析2本章內(nèi)容：信號的時域分解——用表示離散時間信號；用表示連續(xù)時間信號；離散時間LTI系統(tǒng)的時域分析：卷積和；連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的時域分析：卷積積分；

LTI系統(tǒng)的性質(zhì)；

LTI系統(tǒng)的微分方程、差分方程表示以及方框圖表示；3§2.0引言線性和時不變性是信號與系統(tǒng)分析中最重要的兩個特性。這是因?yàn)椋?.很多物理過程都具有這樣的特性，因此可以用LTI系統(tǒng)來表示；2.可以對LTI系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的分析。基本思想：如果能夠把任意的輸入信號都分解成基本信號的線性組合，那么只要得到LTI系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)的輸出響應(yīng)表示成系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)的線性組合。(Introduction)4

如果一個系統(tǒng)是線性的，當(dāng)我們能夠把輸入信號分解成若干個簡單的信號的線性組合時，只要能得到該系統(tǒng)對每一個簡單信號所產(chǎn)生的響應(yīng)。就可以很方便地根據(jù)線性特性，通過線性組合而得到系統(tǒng)對地輸出響應(yīng)。即若，且則5信號與系統(tǒng)的時域分析:一般的信號都可以表示為延遲沖激的線性組合。結(jié)合系統(tǒng)的疊加性和時不變性，就能夠用LTI的單位沖激響應(yīng)來完全表征任何一個LTI系統(tǒng)的特性。這樣一種表示在離散情況下稱為卷積和；在連續(xù)時間情況下稱為卷積積分。6對信號分解可在時域進(jìn)行，也可在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地產(chǎn)生了對LTI系統(tǒng)的時域分析法、頻域分析法和變換域分析法。分析方法：7

離散時間信號中,最簡單的是,可以由它的線性組合構(gòu)成，即：

§2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和

一用單位脈沖表示離散時間信號

對任何離散時間信號,如果每次從其中取出一個點(diǎn)，就可以將整個信號拆開來，每次取出的一個點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。（Convolutionsum）89

二卷積和（Convolutionsum）

表明：任何信號都可以被分解成移位加權(quán)的單位脈沖信號的線性組合。

如果一個線性系統(tǒng)對的響應(yīng)是，由線性特性就有系統(tǒng)對任何輸入的響應(yīng)為：若系統(tǒng)具有時不變性，即：若

，則10因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)(impulseresponse)，就可以得到LTI系統(tǒng)對任何輸入信號的響應(yīng)：這表明，一個LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積和（Theconvolutionsum）。11三卷積和的計(jì)算計(jì)算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）例1

12...13運(yùn)算過程：

將一個信號不動，另一個信號反轉(zhuǎn)后成為為,再隨參變量移位.在每個值的情況下，將

與

對應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的各點(diǎn)值累加，得到

時刻的

。通過圖形正確確定反轉(zhuǎn)移位信號的區(qū)間表示，對于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。

14例列表法

分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)：①與所有的各點(diǎn)都要遍乘一次；

②在遍乘后，各點(diǎn)相加時，根據(jù)

，參與相加的各點(diǎn)都具有與的守量之和為的特點(diǎn)。

15優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：計(jì)算非常簡單。①只適用于兩個有限長序列的卷積和；②一般情況下，無法寫出的封閉表達(dá)式。16（Theconvolutionintegral）一用沖激信號表示連續(xù)時間信號

與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)時間信號應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。例如單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系：§2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分

17表明：任何連續(xù)時間信號都可以被分解為移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。于是：

對一般信號，可以分成很多寬度的區(qū)段，用一個階梯信號近似表示.當(dāng)時，18表明，LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積積分（Theconvolutionintegral）。二

卷積積分（Theconvolutionintegral）＝若則19例1:20

卷積積分的計(jì)算與卷積和很類似，也有圖解法、解析法和數(shù)值解法。運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)也是：參與卷積的兩個信號中，一個不動，另一個反轉(zhuǎn)后隨參變量移動。對每一個的值，將和對應(yīng)相乘，再計(jì)算相乘后曲線所包圍的面積。通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。三卷積積分的計(jì)算21§2.3線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)

（thepropertyofLinearTime-invariantSystem）一、卷積積分與卷積和的性質(zhì)1、交換律：22結(jié)論：一個單位沖激響應(yīng)是的LTI系統(tǒng)對輸入信號所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個單位沖激響應(yīng)是的LTI系統(tǒng)對輸入信號所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。23結(jié)論：兩個LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)之和。2、分配律：243結(jié)合律:結(jié)論：兩個LTI系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的單位沖激脈沖響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激脈沖響應(yīng)的卷積。25

由于卷積滿足交換律，因此，系統(tǒng)級聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。26產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：①系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；②所有涉及到的卷積運(yùn)算必須收斂。如：平方乘2乘2平方若交換級聯(lián)次序，即：顯然是不等價的。又如：若，系統(tǒng)都是LTI系統(tǒng)。當(dāng)時，由于

不收斂，因而也不能交換其級聯(lián)次序。274、卷積還有如下性質(zhì)：卷積積分滿足微分、積分及時移特性：①若，則②若，則28將微分一次的，恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計(jì)算：例如：§2.2中的例22930二、LTI系統(tǒng)的性質(zhì)1、記憶性：

LTI系統(tǒng)可以由它的單位沖激/脈沖響應(yīng)來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激響應(yīng)中有所體現(xiàn)。如果系統(tǒng)是無記憶的，則系統(tǒng)在任何時刻的輸出僅與同一時刻的輸入值有關(guān)。即：離散時間情況下：有：無記憶系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：31當(dāng)時系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)：

如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是記憶的。此時，連續(xù)時間情況下：當(dāng)時系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)：322.LTI系統(tǒng)的可逆性考慮一個LTI系統(tǒng)，僅當(dāng)存在一個逆系統(tǒng)，其與原系統(tǒng)級聯(lián)后所產(chǎn)生的輸出等于第一個系統(tǒng)的輸入時，這個系統(tǒng)才是可逆的。因此有：例如：延時器是可逆的LTI系統(tǒng)，其，其逆系統(tǒng)是，顯然有：連續(xù)時間情況下：33

累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其，其逆系統(tǒng)是，顯然也有：離散時間情況下：34當(dāng)LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時，在任何時刻，都只能取決于時刻及其以前的輸入。3、因果性：或連續(xù)時間系統(tǒng)：這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。即：根據(jù)：離散時間系統(tǒng)：35根據(jù)穩(wěn)定性的定義，有界輸入必導(dǎo)致有界輸出，若有界，則若系統(tǒng)穩(wěn)定，則必有界，由可知，連續(xù)時間系統(tǒng)：

這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。4穩(wěn)定性：離散時間系統(tǒng)：

365、LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)來描述LTI系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對或所產(chǎn)生的響應(yīng)。LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。

離散時間系統(tǒng)：

連續(xù)時間系統(tǒng)：

37§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)

在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來描述。分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求求解線性常系數(shù)微分或差分方程。一線性常系數(shù)微分方程（Linearconstant-coefficientdifferentialequation）均為常數(shù)(ThecausalLTISystemsdescribedby

differentialanddifferenceequation)38

求解該微分方程，通常是求出一個特解

和通解，則.特解(受迫響應(yīng))是與輸入同類型的函數(shù),通解（自然響應(yīng)）是齊次方程的解，即的解，欲求得齊次解，可根據(jù)齊次方程建立一個特征方程：求出其特征根。在特征根均為單價根時，可得出齊次解的形式為：其中是待定系數(shù)。39

要確定系數(shù)，需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確定待定系數(shù)的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時刻都可以是任意的。當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須滿足系統(tǒng)零輸入——零輸出的特性。系統(tǒng)在沒有輸入即時，輸出。這就要求確定待定系數(shù)所需的一組初始4040

附加條件的值必須全部為零，即具有初始零附加條件，LCCDE才能描述線性系統(tǒng)。

在這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，LCCDE描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時不變的。41

在信號加入時刻給出的零附加條件稱為零初始條件。結(jié)論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個LTI因果系統(tǒng)。這組條件是：

如果一個因果的LTI系統(tǒng)由LCCDE描述（方程具有零初始條件），就稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的。如果LCCDE具有一組非零的初始條件，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。42二線性常系數(shù)差分方程（LCCDE）:(Linearconstant-coefficientdifferenceequation)

一般的線性常系數(shù)差分方程（LCCDE）可表示為：

與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個特解和一個通解，即齊次解來進(jìn)行，其過程與解微分方程一樣。要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加條件.同樣地，當(dāng)LCCDE具有一組全部為零的初始條件時，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時不變的。無論微分方程還是差分方程，由于其特解都是與輸入信號具有相同函數(shù)形式的，也就是說它是完全43

由輸入決定的,因而特解所對應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為受迫響應(yīng)或強(qiáng)迫響應(yīng)。齊次解所對應(yīng)的部分由于與輸入信號無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)。增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號無關(guān)，因此它屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號有關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。線性常系數(shù)差分方程還可以采用迭代的方法求解，將方程改寫為：例如：例2.1544當(dāng)時，差分方程變?yōu)椋捍藭r,求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非遞歸方程（nonrecursiveequation）顯然，此時方程就是一個卷積和的形式，相當(dāng)于此時，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)是有限長的,因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為FIR系統(tǒng)（FiniteImpulseResponse）.將遞歸方程（recursiveequation）描述的系統(tǒng)稱為IIR系統(tǒng)（InfiniteImpulseResponse）,此時系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個無限長的序列。

FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時間LTI系統(tǒng)中兩類很45重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)方法都存在很大的差異。三由微分和差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示

（Block-DiagramRepresentationoftheLTISystemdescribedbyLCCDE）

由LCCDE描述的系統(tǒng)，其數(shù)字模型是由一些基本運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運(yùn)算關(guān)系，就會更加形象直觀；另一方面,分析系統(tǒng)的很重要目的是為了設(shè)計(jì)或?qū)崿F(xiàn)一個系統(tǒng),用圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,將對系統(tǒng)的特性仿真、硬件或軟件實(shí)現(xiàn)具有重要意義。46

不同的結(jié)構(gòu)也會在設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)一個系統(tǒng)時帶來不同的影響：如系統(tǒng)的成本、靈敏度、誤差及調(diào)試難度等方面都會有差異。

１.由差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：可看出：方程中包括三種基本運(yùn)算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲）?？捎靡韵路柋硎荆篋4