第14章狹義相對論力學(xué)基礎(chǔ)

114.4洛倫茲變換一、洛倫茲坐標(biāo)和時(shí)間變換式

發(fā)生在P點(diǎn)的某一事件在慣性系S

中的時(shí)空坐標(biāo)為(x,y,z),S′中的時(shí)空坐標(biāo)(x′,y′,z′)

。設(shè)

t=t′=0

時(shí)，兩個(gè)原點(diǎn)重合。1.坐標(biāo)和時(shí)間變換式2愛因斯坦(Einstein)在S′系中t時(shí)刻，在S系中兩式相等，得3洛倫茲坐標(biāo)和時(shí)間變換式逆變換式4討論1.洛倫茲變換是狹義相對論的基本方程，是以兩個(gè)基本假設(shè)為依據(jù)導(dǎo)出的。2.變換式中(x,y,z)

和(x′,y′,z′)

是線性關(guān)系。3.當(dāng)u<<c

洛倫茲變換簡化為伽利略變換。u<<c絕對時(shí)空觀是低速情況下相對論時(shí)空觀的近似。5例1在地面參考系S

中,在x＝1.0×106m

處,于t=0.02s

時(shí)刻爆炸了一顆炸彈，如果有一沿x

軸正方向以v

=0.75c

速率運(yùn)動(dòng)的飛船經(jīng)過。試求在飛船參考系S′中的觀察者測得的這顆炸彈爆炸的地點(diǎn)(空間坐標(biāo))和時(shí)間。若按伽俐略變換，結(jié)果如何？解由洛侖茲變換式，可求出在飛船系S′中測得炸彈爆炸的空間、時(shí)間坐標(biāo)。6按伽俐略變換式，則：

顯然與洛侖茲變換所得結(jié)果不同，這說明在本題所述條件下,必須用洛侖茲變換計(jì)算。72.時(shí)間間隔、空間間隔的變換關(guān)系正變換逆變換8例2北京上海相距1000km,北京站的甲車先于上海站的乙車1.0×10-3s發(fā)車?，F(xiàn)有一艘飛船沿從北京到上海的方向從高空掠過,速率恒為u=0.6c

。求飛船系中測得兩車發(fā)車的時(shí)間間隔，哪一列先開?北京站上海站u

=0.6c事件1(x1，t1

)事件2(x2

，t2)甲乙9解地面系S飛船系S′兩獨(dú)立事件的時(shí)序發(fā)生了顛倒。10解：設(shè)槍在x1處，靶在x2處，根據(jù)洛侖茲變換

例3

地面上的射擊運(yùn)動(dòng)員，在時(shí)刻射擊一顆子彈，時(shí)刻()子彈擊中百米外的靶子。那么，在相對地面以速度v運(yùn)動(dòng)的宇宙飛船上的觀測者看來，是否仍有，會(huì)不會(huì)反過來，即子彈先擊中靶子，而后才出膛？

11vs和v皆小于光速c，因而 ，所以式中 ，即是子彈飛行的速度，由于

一般說來，有因果關(guān)系的兩事件，在不同慣性系的觀測者看來，其時(shí)序關(guān)系不會(huì)顛倒。12二、洛倫茲變換與狹義相對論時(shí)空觀1.“同時(shí)性”的相對性兩個(gè)事件S′系S系

在一個(gè)慣性系異地同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，在其他慣性系不同時(shí)。

在一個(gè)慣性系異地同時(shí)同地發(fā)生的兩個(gè)事件，對其他慣性系都是同時(shí)。132.時(shí)間延緩兩個(gè)事件S′系S系——時(shí)間延緩效應(yīng)。利用得143.長度收縮兩個(gè)事件S′系S系利用得——長度收縮效應(yīng)。（原長）15三、洛倫茲速度變換式正變換逆變換16

設(shè)S′系相對于S

系以勻速率u沿x方向運(yùn)動(dòng),一光束沿xx′軸發(fā)射,已知光對S系的速度是

c光對S′系的速度是：

利用洛倫茲速度變換討論真空中的光速結(jié)果與伽利略變換不同,但符合光速不變原理。即17

1964年到1966年，歐洲核子中心在質(zhì)子同步加速器中作了有關(guān)光速的精密實(shí)驗(yàn)。在同步加速器中產(chǎn)生的π°介子以0.99975ｃ的高速飛行,它在飛行中發(fā)生衰變,輻射出能量為６×109eV光子,測得光子的實(shí)驗(yàn)室速度值仍是c。18例4

在地面上測到有兩個(gè)飛船a、b

分別以＋0.9

c

和－0.9c

的速度沿相反方向飛行。求飛船a

相對于飛船b

的速度有多大？SS′19解設(shè)S系被固定在飛船a

上，地面對S系以0.9c

的速度向右運(yùn)動(dòng)。以地面為S′系，則飛船b

相對于S′系的速度為ux′=0.9c。將數(shù)值代入洛倫茲變換式,即可求得飛船b

相對于S系的速度,亦即相對于飛船a

的速度。如用伽俐略速度變換進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果為：

ux＝ux′＋v＝0.9c+0.9c＝1.8c>c＜

c20解選飛船參考系為S′系,地面參考系為

S

系例5

設(shè)想一飛船以0.80c

的速度在地球上空飛行,如果這時(shí)從飛船上沿速度方向拋出一物體,物體相對飛船速度為0.90c

。問從地面上看，物體速度多大？uv′o2114.5狹義相對論質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)簡介一、相對論質(zhì)量和動(dòng)量

根據(jù)狹義相對論原理,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本規(guī)律,都應(yīng)該具有洛倫茲變換的不變性，即保持定律形式不變；而且在低速情況下應(yīng)滿足對應(yīng)原理，即物理量須趨于經(jīng)典理論中相應(yīng)的量。1.質(zhì)速關(guān)系質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量m0

為靜止質(zhì)量。質(zhì)量22愛因斯坦(Einstein)

從m/m0

～v/c

關(guān)系曲線可以看出，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)速率接近光速時(shí)，質(zhì)量變得很大。

當(dāng)

v

<<c

時(shí),m≈m0,質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為一常量，牛頓力學(xué)仍然適用。1234500.51.0v

/cm/m0

高能加速器中的粒子隨著能量增加,速率可接近光速,但從沒有達(dá)到或超過真空中的光速。當(dāng)速度達(dá)到2.7×108ms

-1

時(shí),質(zhì)量達(dá)到2.3m0。

23討論2.質(zhì)速曲線當(dāng)v

=0.1c，m

增加0.5%；3.光速是物體運(yùn)動(dòng)的極限速度。1.當(dāng)v

<<c

時(shí),m=m0

。當(dāng)v

=0.866c，

；當(dāng)v

c，

；當(dāng)v

=c，。24

可以證明，該公式保證動(dòng)量守恒定律在洛倫茲變換下，對任何慣性系都保持不變性。2.相對論動(dòng)量253.相對論質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程

當(dāng)有外力作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí),由相對論動(dòng)量表達(dá)式,可得相對論力學(xué)的基本方程：系統(tǒng)相對論動(dòng)量守恒定律為：26

相對論的動(dòng)量、質(zhì)量,以及相對論的動(dòng)力學(xué)方程和動(dòng)量守恒定律具有普遍意義，而牛頓力學(xué)只是相對論力學(xué)在物體低速運(yùn)動(dòng)條件下的近似。當(dāng)v

<<

c時(shí)，變化為經(jīng)典力學(xué)的形式:27二、相對論動(dòng)能經(jīng)典力學(xué)中

按質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，動(dòng)能增量等于合外力對質(zhì)點(diǎn)所作的功。在相對論中,動(dòng)能其中28又有質(zhì)速關(guān)系有取微分,整理得代入動(dòng)能式中,得—相對論的動(dòng)能表達(dá)式。29當(dāng)v＜＜c時(shí),有代入動(dòng)能式中,得質(zhì)點(diǎn)作低速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與經(jīng)典動(dòng)能的表達(dá)式相同。

經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)能表達(dá)式是相對論力學(xué)動(dòng)能表達(dá)式在物體的速度遠(yuǎn)小于光速情形下的近似。30三、質(zhì)能關(guān)系式

將質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能表達(dá)式寫成

愛因斯坦指出:式中

E

0=m

0c

2

是質(zhì)點(diǎn)靜止時(shí)所具有的能量,稱為靜止能量,簡稱靜能;E=mc2

是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所具有的總能量,二者之差為質(zhì)點(diǎn)由于運(yùn)動(dòng)而增加的能量,既動(dòng)能E

k

。質(zhì)能關(guān)系31討論1.任何宏觀靜止物體具有能量，相對論質(zhì)量是能量的量度，物體的質(zhì)量是能量的一種儲(chǔ)藏。2.如果一個(gè)物體或物體系統(tǒng)的質(zhì)量有Δm

的變化,其能量也有相應(yīng)的改變。3.質(zhì)能關(guān)系式為人類利用核能奠定了理論基礎(chǔ)，如核裂變反應(yīng)、核聚變反應(yīng)。32四、相對論能量和動(dòng)量的關(guān)系在經(jīng)典力學(xué)中在相對論中，由質(zhì)速關(guān)系兩邊同乘以c4，并整理得或33由于故——能量和動(dòng)量的關(guān)系式。例如,動(dòng)能為Ek的粒子：代入能量和動(dòng)量關(guān)系式得當(dāng)v

＜＜c

時(shí),E

k＜＜m0

c2,略去Ek2,則變化為經(jīng)典力學(xué)的形式。PcEm0c234由相對論的動(dòng)量能量關(guān)系式如果,E>>E0,則

利用上式可以描述像光子這類靜止質(zhì)量為零的粒子的能量和動(dòng)量的關(guān)系。式中h

稱為普朗克常數(shù)。光子的動(dòng)量35例1電子靜止質(zhì)量m0=9.11×10-31kg。（1）試用焦耳和電子伏為單位，表示電子靜能；（2）靜止電子經(jīng)過106V電壓加速后，其質(zhì)量、速率各為多少？解（1）電子靜能36（2）靜止電子經(jīng)過106V電壓加速后，動(dòng)能為電子質(zhì)量電子速率37例2質(zhì)子以速度v=0.80c

運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)子的總能量、動(dòng)能和動(dòng)量。（m0=1.672×10-27kg）解因?yàn)橘|(zhì)子的靜止能量為：總能量動(dòng)能38動(dòng)量MeV/c

是核物理中的動(dòng)量單位?；颉?9例3在熱核反應(yīng)中，