第二章資金的時間價值

（三）名義利率和實際利率一般利率不特別說明，都是指年利率；計息期與利率的時間單位不一致時，產(chǎn)生名義利率和實際利率；名義利率：計息期少于1年時，每一計息期的實際利率乘以一年中的計息期數(shù)，即I=ni，類似單利；實際利率：考慮“利生利”

I=（1+i）n-1，類似復利。例：在年利率6%情況下，現(xiàn)在300元等值于8年末的478.2元。同一利率下不同時間的貨幣等值300元在8年末為：

300×(1+0.06)8=300[F/P,6%,8]=300×1.594=478.2元

317254680年300元i=6%317254680年478.2元例如上例：第7年第一個現(xiàn)金流量值是:300[F/P,6%,7]＝451

第二個現(xiàn)金流量值478.2[P/F,6%,1]=451第10年第一個現(xiàn)金流量值300[F/P,6%,10]＝537第二個現(xiàn)金流量值478.2[F/P,6%,2]=537（二）資金等值計算公式

A、一次支付類型

31n-12nPFF與P是等值的1、一次支付的終值公式（已知現(xiàn)值求終值）F＝P(1+i)nF—終值；P—現(xiàn)值；i—折現(xiàn)率；n—時間周期數(shù);(1+i)n—一次支付終值系數(shù)或復利終值系數(shù)，也可表示為(F/P,i,n)例1：某企業(yè)為開發(fā)新產(chǎn)品，向銀行借款100萬元，年利率10%，借期五年，問五年后一次歸還銀行的本利和是多少？解：F=P（1+I）n=100(1+0.1)5=100×1.611=161.1(萬元)2、一次支付現(xiàn)值公式（已知終值求現(xiàn)值）P＝F／(1+i)n=F(1+i)-n(1+i)-n稱一次支付現(xiàn)值系數(shù)可記為(P/F，i，n)例1：如果某項目報酬率為12%，為在5年后獲得10000元款項，現(xiàn)應投入多少？解：P=F（1+I）-5=10000(1+0.12)-5=5674(元)B、等額分付類型

在相同的時間間隔收到或支出等額的資金稱為年金。1、等額分付終值公式（已知年金求終值）

——等額分付終值系數(shù)，記作(F/P，i，n)

31n-12nF0A例：某人從30歲起每年末向銀行存入8000元，連續(xù)10年，若銀行利率為8%，10年后本利和是多少？（假定按復利計）

先付年金與后付年金的區(qū)別：先付年金（年初付款）終值計算公式為：

2、等額分付償債基金公式（已知終值求年金）

——等額分付償債基金系數(shù)，記作(A/F，i，n)

例：某廠欲積累一筆福利基金用于3年后建造職工俱樂部，此項投資總額為200萬元，銀行利率12%，問每年年末至少要存款多少？利用(F/A，i，n)和(A/F，i，n)二個公式時，應注意這兩個公式適用于下圖

31n-12nF0A3、等額分付現(xiàn)值公式（已知年金求現(xiàn)值）

記作（P/A，i，n）

31n-12nF0PA如果年僅為定期等額收付期限為無窮大，則稱為永續(xù)年金，其計算公式：永續(xù)年金現(xiàn)值

P＝每期等額收付金額／折現(xiàn)率＝A/i例：某企業(yè)擬設立一筆獎學基金，每年提取利息8萬元作為獎金，如年利率為10%，則該筆基金的數(shù)額為？

P=80000÷10%=800000元，即80萬元上述現(xiàn)值計算公式只適用于年金從一開始（即未來第一年年末）就發(fā)生的情況。假定計算期（或分析期）為從現(xiàn)在開始至最后一年年末，共為m+n年，前m年不發(fā)生年金，后n年發(fā)生年金為A，則n年內(nèi)的年金現(xiàn)值和為：例：某工程技術(shù)項目經(jīng)過四年建設后投產(chǎn)使用，從投產(chǎn)第一年開始每年年末支付經(jīng)營費30萬元，年折算率為20%，項目使用壽命為46年，試求項目全部適用期的經(jīng)營費用的現(xiàn)值（即開始施工時的價值，亦稱第0年價值）

=30[(P/A，20%，50)-(P/A，20%，4)]=30[4.999-2.589]=72.3萬元

4、等額分付資本回收公式（已知現(xiàn)值求年金）

，記作(A/P，i，n)

例：某項目貸款200萬元，銀行4年內(nèi)等額收回全部貸款i=10%，那么項目每年凈收益不應少于多少萬元？解：A＝P(A/P，10%，4)=200×0.31547=630940元

項目每年凈收益至少應為63.094萬元。

如：某工程項目的全部投資期初價值（即第0年末價值）經(jīng)施工期m年后，從m+1年才從項目的收益中得到回收，共回收n年才能全部回收，這種情況下，可以應用下式計算回收期內(nèi)平均每年應回收的金額：

m—項目建設期限，在此期限內(nèi)不回收資金；n—回收資金的期限，從m+1年起至m+n年止共n年。

C、等差序列現(xiàn)金流的等值計算

等差序列現(xiàn)金流量是在一定的基礎(chǔ)數(shù)值上逐期等差增加或逐期減少的現(xiàn)金流量。

1、等差序列終值公式

FA1＝A1(F/A，i，n)

式中：為等差序列終值系數(shù)，可用(F/G，i，n)表示。所以FA2＝G(F/G，i，n)如圖123n-2n0n-1A1A1+GA1+2GA1+(n-3)GA1+(n-1)GA1+(n-2)G2、等差收付現(xiàn)值公式

設每年金額均發(fā)生在年末，等差值為G，第一年年末收付為零，第二年年末收入是G，依此類推，第n年末收付是(n-1)G。

123n-2nG2G(n-3)G(n-1)G0n-1(n-2)G利用等比數(shù)列求和公式得：

式中：稱為等差收付現(xiàn)值系數(shù)，用(P/G，i，n)表示，則上邊公式表示為：P=G(P/G，i，n)3、等差收付年值公式

利用等差收付現(xiàn)值公式和等額收入資金回收公式，即P=G(P/G，i，n)和A＝P(A/P，i，n)先把等差收入折算為現(xiàn)值，再將現(xiàn)值折算為年值。A＝G(P/G，i，n)(A/P，i，n)；整理后得：稱為等差收入年值系數(shù)?？杀硎緸椋篈＝G(A/G，i，n)例：某設備期初投資為700萬元，每期末純收入分別為300萬元、260萬元、220萬元……每期遞減40萬元，設備壽命為6年，6年末無殘值i=12%，求其凈收益的現(xiàn)值和等年值。

解：P=300(P/A，12%，6)-40(P/A，12%，6)-700=300×4.111-40×8.93-700=176萬元A=176(A/P，12%，6)=42.8萬元資金等值計算的基本要點①計息周期與復利率周期一致。②本期末即下期初。③P發(fā)生在第一期初（0期）。④F發(fā)生在n期末。⑤各期的等額系列A發(fā)生在每期末，計算期數(shù)為A的發(fā)生次數(shù)。⑥各期的等額遞增系列發(fā)生在從第二期起的每期末，計算期數(shù)為遞增支付量發(fā)生數(shù)加1。⑦當問題包括P與A時，P發(fā)生在第一個A的前一期，當問題包括F與A時，F(xiàn)的發(fā)生與最后一個A同期。⑧當F與G時，F(xiàn)與最后一個G同期發(fā)生；P與G時，P發(fā)生在第一個G的前兩期；當A與G時，第1個A發(fā)生在第一個G的前一期，最后一個A與最后一個G同期。課堂練習1、天海公司欲購置1臺自動化設備，需資金10萬元，可使用10年，期滿無殘值，估計該設備每年可為企業(yè)增加收益2萬元。若購置設備由銀行借入，銀行借款年復利率14%，試問此項購置方案是否可行？1、參考答案解：根據(jù)題意，本題為等額支付系列情形中已知A求P，現(xiàn)金流量圖為：

首先計算10年總收益折成現(xiàn)值究竟是多少，然后再拿它與原投資額比較。其計算公式為：P=A（P/A,i,n）=2(P/A,12%,10)查復利系數(shù)表得（P/A，14%，10）=5.650則P=2×5.650=11.30萬元由此可見，10年的總收益現(xiàn)值為11.30萬元，大于原投資，故此投資方案是可行的。2、大通公司一投資方案，款項需由銀行借入，第10年末全部建成，借款本利和為5000萬元人民幣，如果年復利率為5%，那么從現(xiàn)在起，每年末公司應籌集多少錢作為償還基金？2、參考答案

解：根據(jù)題意，本題為等額支付情形中已知F求A，現(xiàn)金流量圖為：

計算公式為：A=F（A/F,i,n）=5000(A/F,5%,10)查復利系數(shù)表得（A/F，5%，10）=0.0795則A=5000×0.0795=397.5萬元答：該公司每年末需籌集397.5萬元才能如期償還債務。

3、某企業(yè)租憑機器，每一年付出租金4萬元，以后每年遞增2萬元，共租賃5年，年利率i=8%。問：1）若采用一次付款的方式，第一年初應一次性付出多少租金？2）若改為第5年末一次付清，應付多少？3、參考答案解：根據(jù)題意：

1）若第一年初一次付清，則P=A（P/A,i,n）+G(P/G,,i,n)=4(P/A,8%,5)+2(P/G,8%,5)=4×3.9927+2×7.372=30.714萬元2）若最后一年末一次付清，則F=P（F/P,i,n）=30.7148(F/P,8%,5)=30.7148×1.469=45.12萬元4、若復利率為年利率8%，要使自今后第三年末可提取5000元，第八年末可提取10000元，第十年末可提取9000元，三次將本利和提取完畢，問：1）應一次存入多少元？2）若改為前五年籌集這筆款項，每年末應等額存入多少元？

4、參考答案解：繪出現(xiàn)金流量圖，如下圖：

1）P=5000（P/F,8%,3）+10000(P/F,8%,8)+9000(P/F,8%,10)=(5000×0.7938+10000×0.5403+9000×0.4632)=13540.8元應一次存入13540.8元；2）A=P·（A/P,i,n）=13540.8(A/P,8%,5)元=（13540.8×0.02505）=3392元前五年每年末應存入3392元。5、某公司購置了一臺機器投資12000元，殘值2000元，年操作費用800元。每五年大修一次，花費2800元。若此機器壽命為20年，年利率10%。問使用此機器每年等額成本是多少？5、參考答案解：操作費用為一項每年等額值，因此只需將投資、大修費、殘值換算成每年等額值與之相加即得：

A=-800-[12000+2800（P/F,10%,5）+2800(P/F,10%,10)+2800(P/F,10%,15)](A/P,10%,20)+2000(A/F,10%,20)=-800-（12000+2800×0.6209+