中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯總《解直角三角形及其應(yīng)用》練習(xí)題

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯總《解直角三角形及其應(yīng)用》練習(xí)題（含答案）1．比較大?。簊in60°＞tan30°（用“＞”或“＜”填空）．2．Rt△ABC中∠C＝90°，sinA＝，則tanA的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，∴∠A＝30°，∴tan30°＝．3．如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC＝．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，利用面積法可求出CE的長(zhǎng)，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出BE的長(zhǎng)，再結(jié)合正切的定義可求出tan∠ABC的值．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，如圖所示．∵S△ABC＝AC?3＝AB?CE，即×2×3＝×3?CE，∴CE＝．在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，∴BE＝＝2，∴tan∠ABC＝＝．4．如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，則sin∠ADC的值為（）A． B． C． D．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，作等腰三角形ABD，使AB＝AD，∠BAD＝∠BAC，且點(diǎn)C不在射線AD上，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BDE的值為（）A． B． C． D．【分析】先在Rt△BCA中求出AB，再利用“AAS”說(shuō)明△ADE≌△ABC，求出BE、BD的長(zhǎng)，最后在Rt△BDE中求出∠BDE的正弦．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10．在△ADE和△ABC中∵AB＝AD＝10，∠BAD＝∠BAC，∠DEA＝∠C＝90°，∴△ADE≌△ABC（AAS），∴AC＝AE＝6，BC＝DE＝8．∴BE＝AB﹣AE＝4．∴BD＝＝4．∴sin∠BDE＝＝＝．故選：C．6．如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，則∠A正切值是（）A． B． C．2 D．【分析】取格點(diǎn)D，E，連接BD，可得∠ADB＝90°，再由勾股定理求得線段AD、AB的長(zhǎng)，然后由銳角三角函數(shù)定義求解即可．【解答】解：取格點(diǎn)D，E，連接BD，如圖，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝，7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，使點(diǎn)C恰好落在A′B上，則tan∠A′AC的值為（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理求出AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB＝A′B＝5，從而求出A′C，然后在Rt△ACA′中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，∴AC＝＝＝3，由旋轉(zhuǎn)得：AB＝A′B＝5，∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，∵∠ACB＝90°，∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，在Rt△ACA′中，tan∠A′AC＝＝，8．如圖，一輛小車(chē)沿傾斜角為α的斜坡向上行駛13m，若sinα＝，則小車(chē)上升的高度是（）A．5m B．6m C．6.5m D．12m【分析】根據(jù)正弦的定義列式計(jì)算，得到答案．【解答】解：設(shè)小車(chē)上升的高度是xm，∵sinα＝，∴＝，解得，x＝5，9．在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠AOD的正弦值為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，則∠AOD＝∠DCE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，則∠EFC＝90°，由圖可得：CD＝＝，CE＝＝，＝4，∵，即4＝，∴EF＝，在Rt△CEF中，sin∠DCE＝＝＝，∴sin∠AOD＝．10．如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，則tanB的值為．【解答】解：如圖，連接格點(diǎn)A、D．在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝4，∴tanB＝；11．如圖是一種平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，平板電腦放置在托板上，右圖是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長(zhǎng)AB＝20cm，支撐板長(zhǎng)CD＝DE＝16cm，支撐板頂端C點(diǎn)恰好是托板AB的中點(diǎn)，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，則點(diǎn)A到直線DE的距離是（）cm（結(jié)果保留根號(hào)）A． B． C． D．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE延長(zhǎng)線于H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，∵CG∥EH，∴∠GCD＝∠CDE＝60°，∴∠ACG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，在Rt△ACG中，AC＝10（cm），sin∠ACG＝＝＝，∴AG＝5（cm），在Rt△CDF中，CD＝16cm，∠CDE＝60°，∴CF＝CD?sin60°＝8m，∴GH＝CF＝8cm，∴AH＝（5+8）cm．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊上一點(diǎn)且CE＝2AE，將△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，則tan∠CBE＝．【解答】解：延長(zhǎng)EF交BC于H，如圖：∵AB＝AC，D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF∥AD，∴EH⊥BC，＝，∵CE＝2AE，∴CH＝2DH，設(shè)DH＝x，則CH＝2x，∴CD＝BD＝3x，∴BH＝BD+DH＝4x，設(shè)AE＝EF＝y(tǒng)，F(xiàn)H＝a，則CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，∴（4x）2+a2＝（3y）2①，在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，由①②聯(lián)立方程組，解得x＝a，y＝3a，∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y(tǒng)+a＝4a，∴tan∠CBE＝＝＝，13．如圖，直角△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)作圖痕跡，若CA＝3cm，tanB＝，則DE＝cm．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，∴tanB＝＝，∴CB＝4（cm），∴AB＝＝＝5（cm），∵DE垂直平分線段AB，∴BE＝AE＝（cm），∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，∴△CED∽△BCA，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），14．（2022·深圳坪山區(qū)一模）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則sinB的值是．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴sinB＝＝，解直角三角形的應(yīng)用15．春節(jié)期間，小明發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)處大樓的大屏幕時(shí)出現(xiàn)了“新年快樂(lè)”幾個(gè)大字，小明想利用剛學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)量“新”字的高度：如圖，小明先在A處，測(cè)得“新”字底端D的仰角為60°，再沿著坡面AB向上走到B處，測(cè)得“新”字頂端C的仰角為45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假設(shè)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)）．（1）求點(diǎn)B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD長(zhǎng)保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)≈1.732）【分析】（1）由坡度的概念求出BF即可；（2）由勾股定理求出AF，再由銳角三角函數(shù)定義求出DE和CG，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，過(guò)B作BG⊥CE于G，∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），答：“新”字的高度CD約為13.4m．16．小明為測(cè)量校園里一棵大樹(shù)AB的高度，在樹(shù)底部B所在的水平面內(nèi)，將測(cè)角儀CD豎直放在與B相距8m的位置，在D處測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為52°．若測(cè)角儀的高度是1m，則大樹(shù)AB的高度約為11米．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出AE，進(jìn)而求出AB即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，由題意得，BC＝DE＝8米，∠ADE＝52°，BE＝CD＝1米，在Rt△ADE中，AE＝DE?tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24（米），∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）17．如圖，在離鐵塔150米的A處，用測(cè)傾儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，測(cè)傾儀高AD為1.5米，則鐵塔的高BC為（）A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+）米 C．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+）米【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，E為垂足，再由銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，由BC＝CE+BE即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，E為垂足，如圖所示：則四邊形ADCE為矩形，AE＝150米，∴CE＝AD＝1.5米，在△ABE中，∵tanα＝＝，∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（米），18．如圖，無(wú)人機(jī)在空中C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60°、45°，如果無(wú)人機(jī)距地面高度CD為米，點(diǎn)A、D、B在同一水平直線上，則A、B兩點(diǎn)間的距離是米．（結(jié)果保留根號(hào)）19．在疫情防控工作中，某學(xué)校在校門(mén)口的大門(mén)上方安裝了一個(gè)人體測(cè)溫?cái)z像頭．如圖，學(xué)校大門(mén)高M(jìn)E＝7.5米，AB為體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域的長(zhǎng)度，小明身高BD＝1.5米，他站在點(diǎn)B處測(cè)得攝像頭M的仰角為30°，站在點(diǎn)A處測(cè)得攝像頭M的仰角為60°，求體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)度．【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造三角關(guān)系，進(jìn)而可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意可知：四邊形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，設(shè)FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵M(jìn)E＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)為4米．20．某地為了讓山頂通電，需要從山腳點(diǎn)B開(kāi)始接駁電線，經(jīng)過(guò)中轉(zhuǎn)站D，再連通到山頂點(diǎn)A處，測(cè)得山頂A的高度AC為300米，從山腳B到山頂A的水平距離BC是500米，斜面BD的坡度i＝1：2（指DF與BF的比），從點(diǎn)D看向點(diǎn)A的仰角為45°．（1）斜面AD的坡度i＝1：1；（2）求電線AD+BD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】（1）根據(jù)題意可得∠AED＝90°，∠ADE＝45°，然后在在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）設(shè)AE＝DE＝x米，則DE＝CF＝x米，從而表示出DF，BF的長(zhǎng)，再利用斜面BD的坡度i＝1：2，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可求出x的值，然后分別在Rt△BDF和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD，BD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：∠AED＝90°，∠ADE＝45°，在Rt△ADE中，tan45°＝＝1，∴斜面AD的坡度i＝1：1，（2）由（1）得：AE＝DE，設(shè)AE＝DE＝x米，則DE＝CF＝x米，∵AC＝300米，BC＝500米，∴EC＝AC﹣AE＝（300﹣x）米，BF＝BC﹣CF＝（500﹣x）米，∴DF＝EC＝（300﹣x）米，∵斜面BD的坡度i＝1：2，∴＝，∴BF＝2DF，∴500﹣x＝2（300﹣x），解得：x＝100，∴BF＝400米，DF＝200米，AE＝DE＝100米，在Rt△BDF中，BD＝＝＝200（米），在Rt△ADE中，AD＝＝＝100（米），∴AD+BD＝（100+200）米，∴電線AD+BD的長(zhǎng)度為（100+200）米．21．學(xué)校玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樹(shù)BC的高．當(dāng)無(wú)人機(jī)在A處時(shí)，恰好測(cè)得大樹(shù)頂端C的俯角為45°，大樹(shù)底端B的俯角為60°，此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度AD＝30米，求大樹(shù)BC的高．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．≈1.414，≈1.732）【分析】延長(zhǎng)BC，交過(guò)點(diǎn)A的水平線于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得BE⊥AE，AD＝BE＝30米，先在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，再在Rt△AEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC的長(zhǎng)，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：延長(zhǎng)BC，交過(guò)點(diǎn)A的水平線于點(diǎn)E，則BE⊥AE，AD＝BE＝30米，在Rt△ABE中，∠EAB＝60°，∴AE＝＝＝10（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝45°，∴EC＝AE?tan45°＝10（米），∴BC＝BE﹣EC＝30﹣10≈12.7（米），∴大樹(shù)BC的高約為12.7米．22．如圖，廣州塔與木棉樹(shù)間的水平距離BD為600m，從塔尖A點(diǎn)測(cè)得樹(shù)頂C點(diǎn)的俯角α為44°，測(cè)得樹(shù)底D點(diǎn)俯角β為45°，則木棉樹(shù)的高度CD是24米．（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）【解答】解：如圖：延長(zhǎng)DC，交過(guò)點(diǎn)A的水平線于點(diǎn)E，則BD＝AE＝600米，在Rt△AED中，∠EAD＝45°，∴DE＝AE?tan45°＝600×1＝600（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝44°，∴EC＝AE?tan44°≈600×0.96＝576（米），∴CD＝DE﹣CE＝600﹣576＝24（米），∴木棉樹(shù)的高度CD是24米，23．“灣區(qū)之光”摩天輪位于深圳市華僑城歡樂(lè)港灣內(nèi)，是深圳地標(biāo)性建筑之一，摩天輪采用了世界首創(chuàng)的魚(yú)鰭狀異形大立架，有28個(gè)進(jìn)口轎廂，每個(gè)轎廂可容納25人．小亮在轎廂B處看摩天輪的圓心O處的仰角為30°，看地面A處的俯角為45°（如圖所示，OA垂直于地面），若摩天輪的半徑為54米，則此時(shí)小亮到地面的距離BC為27米．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA，垂足為D，根據(jù)題意可得AD＝BC，然后在Rt△DOB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DO，DB的長(zhǎng)，最后在Rt△ADB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，從而求出BC的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA，垂足為D，則AD＝BC，在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，OB＝54米，∴OD＝OB＝27（米），DB＝OD＝27（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴AD＝DB?tan45°＝27（米），∴AD＝BC＝27米，∴小亮到地面的距離BC為27米，24．如圖，上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，9時(shí)30分到達(dá)B處，從A，B兩處分別測(cè)得小島C在北偏東45°和北偏東15°．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求B處船與小島C的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC與點(diǎn)E．由題意得，∠ABC＝105°，∠CAB＝45°，∴∠C＝180°﹣105°﹣45°＝30°；（2）由題意得，AB＝40×＝20（海里），在Rt△ABE中，BE＝AB?sin45°＝10（海里），在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，∴BC＝2BE＝20（海里），答：B處船與小島C的距離為20海里．25．如圖，一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫瘤在A處．在接受放射性治療時(shí)，為了最大限度地保證療效，并且防止傷害器官，射線必須從側(cè)面照射腫瘤．已知射線從腫瘤右側(cè)10cm的B處進(jìn)入身體，且射線與皮膚所成的夾角為∠CBA＝32.7°，則腫瘤在皮下的深度AC約為6.4cm．[參考數(shù)據(jù)：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]【分析】在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝32.7°，BC＝10cm，∴AC＝BC?tan32.7°≈10×0.64＝6.4（cm），∴腫瘤在皮下的深度AC約為6.4cm，26．某倉(cāng)儲(chǔ)中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，頂部A處的高AC為4米，B、C在同一水平面上．則斜坡AB的水平寬度BC為8米．【分析】根據(jù)坡度定義直接解答即可．【解答】解：∵坡度為i＝1：2，AC＝4米，∴BC＝4×2＝8（米），27．（2022·深圳坪山區(qū)二模）如圖是某地滑雪運(yùn)動(dòng)場(chǎng)大跳臺(tái)簡(jiǎn)化成的示意圖．其中AB段是助滑坡，傾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳臺(tái)，CD段是著陸坡，傾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整個(gè)賽道長(zhǎng)度（包括AB、BC、CD段）為270m，平臺(tái)BC的長(zhǎng)度是60m，整個(gè)賽道的垂直落差A(yù)N是114m．則AB段的長(zhǎng)度大約是（）A．80m B．85m C．90m D．95m【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DN于H，設(shè)AB＝xm，則CD＝270﹣60﹣x＝（210﹣x）m，在Rt△CDH