高中概率統(tǒng)計史寧中

高中數(shù)學的統(tǒng)計與概率東北師范大學史寧中Key

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NortheastNormalUniversity高中數(shù)學總體要求（教材、教學活動）概念表述自然：抽象過程的合理性，來自生活、數(shù)學、科學培養(yǎng)學生直觀：教學活動的可視性，利用背景、圖形、數(shù)據(jù)必修內(nèi)容（統(tǒng)計與概率）

統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)據(jù)分析。概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學分支，它為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，為統(tǒng)計的發(fā)展提供理論基礎(chǔ)。

在必修課程中，通過統(tǒng)計內(nèi)容的學習，提升數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、直觀想象、和數(shù)學建模素養(yǎng)；通過概率模型的學習，培養(yǎng)學生分析隨機現(xiàn)象的能力，提升數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)。Key

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NortheastNormalUniversity1．統(tǒng)計

本單元在義務(wù)教育階段學習統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)上，進一步學習數(shù)據(jù)收集和整理的方法、數(shù)據(jù)直觀圖表的表示方法、數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征的刻畫方法。

通過具體實例，感悟根據(jù)實際情況進行科學決策的必要性和可能性，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗，通過實際操作、計算機模擬等活動，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

本單元的內(nèi)容包括：數(shù)據(jù)與基本概念、抽樣、統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體數(shù)字特征和總體分布。Key

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(1)數(shù)據(jù)與基本概念

①

知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計報表和年鑒，社會調(diào)查，試驗設(shè)計，普查和抽樣，互聯(lián)網(wǎng)等，了解數(shù)據(jù)的隨機性。

②

了解總體、樣本、樣本量的概念。Key

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NortheastNormalUniversity描述統(tǒng)計、推斷統(tǒng)計（總體←→樣本）

總體：是指能夠通過數(shù)據(jù)表達的隱含的客觀存在

主要是指數(shù)據(jù)的取值特征和規(guī)律

樣本：獨立同分布（iid：信息貢獻一樣）的、取自總體的數(shù)據(jù)

總體：廣州市高中生男生身高

樣本：隨機抽取若干學校，分年級（分層抽樣）隨機抽取若干男生，

測量身高得到數(shù)據(jù)

分析：通過數(shù)據(jù)得到均值、頻率圖，推斷總體期望、分布密度

總體：隨機變量。通過取值（樣本），推斷隨機變量的參數(shù)和分布規(guī)律。

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(2)抽樣

①

簡單隨機抽樣

通過實例，了解簡單隨機抽樣的含義及解決問題的過程，掌握簡單隨機抽樣的抽簽法和隨機數(shù)法。會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系。

②

分層隨機抽樣

通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍，了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法。結(jié)合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差。

③

抽樣方法的選擇

在簡單的實際情境中，能夠根據(jù)實際問題的特點，設(shè)計恰當?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題。二、數(shù)學的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity分層隨機抽樣

對一個總體按（某種特征）比例分層（數(shù)據(jù)）

n1/n=N1/N，……，

nk/n=Nk/N總體樣本均值：總體樣本方差：原則：利用分層計算的結(jié)果。方法可用于大數(shù)據(jù)的分布式計算。二、數(shù)學的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity(3)統(tǒng)計圖表（高中教師不理解）

能夠根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性。(4)用樣本估計總體數(shù)字特征和總體分布

①

結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中程度參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解位置參數(shù)的統(tǒng)計含義。

②

結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標準差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義。

③

結(jié)合實例，能利用樣本估計總體取值規(guī)律。

④

結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù)（四），理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義。二、數(shù)學的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理主要有三種圖扇形圖：可以用來表示各種數(shù)據(jù)所占比例?；陬l數(shù)的直方圖：可以表示取值規(guī)律，以及取值的比較（復(fù)式）?；陬l率的直方圖：可以用來推斷總體的取值分布。折線圖：可以用來表示數(shù)據(jù)的變化趨勢。Key

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(5)大數(shù)據(jù)（數(shù)學文化）

收集大數(shù)據(jù)發(fā)展的資料，撰寫論文，闡述大數(shù)據(jù)研究所包含的內(nèi)容、重要結(jié)果以及對當代社會發(fā)展的作用。二、數(shù)學的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity2．概率

本單元在義務(wù)教育階段對概率初步了解的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體實例，理解隨機事件，會計算古典概型中隨機事件的概率，加深對隨機現(xiàn)象的認識和理解，提升數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

本單元的內(nèi)容包括：隨機事件與有限樣本空間、頻率與概率、概率的初步應(yīng)用。二、數(shù)學的推理、命題和定義《Key

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NortheastNormalUniversity(1)隨機事件與概率

①

結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系。了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件并、交的運算。

②

結(jié)合具體實例，理解古典概型；能計算古典概型中簡單隨機事件的概率。

③

通過實例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機事件概率的運算法則。

④

結(jié)合實例，會用頻率估計概率。(2)隨機事件的獨立性

結(jié)合有限樣本空間，了解兩個和三個隨機事件獨立性的含義。結(jié)合古典概型，利用獨立性來計算概率。二、數(shù)學的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity有限樣本空間問題一：拋擲一枚骰子，求出現(xiàn)正面的概率。問題二：拋擲兩枚骰子，求點數(shù)和是偶數(shù)的概率。樣本空間是什么？樣本空間只與背景有關(guān)，與問題無關(guān)。T(x)（X，A，p）——（Y，B，pT）T(x)：隨機變量二、數(shù)學的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity選修內(nèi)容

本主題的內(nèi)容是必修統(tǒng)計與概率的延續(xù)，在古典概型和有限樣本空間的基礎(chǔ)上，了解隨機變量；學習二項分布、超幾何分布等離散型隨機變量的分布模型；通過正態(tài)分布的初步學習，了解連續(xù)型隨機變量及其分布。

為了掌握這些知識，本主題的內(nèi)容還包括計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理。本主題還將學習一些統(tǒng)計方法：成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、一元線性回歸模型、2×2列聯(lián)表等。本主題的內(nèi)容包括：計數(shù)原理、概率、統(tǒng)計。二、數(shù)學的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity1.計數(shù)原理

計數(shù)問題是數(shù)學的研究對象之一。在計數(shù)問題中，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是最基本、最重要的，也稱為基本計數(shù)原理。

通過本單元的學習，學生能夠理解兩個基本計數(shù)原理，能運用計數(shù)原理探索排列、組合、二項式定理等問題，提升數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng)。本單元的內(nèi)容包括：兩個基本計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理。二、數(shù)學的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity(1)兩個基本計數(shù)原理

通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義。(2)排列與組合

通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組

合數(shù)公式。(3)二項式定理

能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與

二項展開式有關(guān)的簡單問題。二、數(shù)學的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity2.概率

通過本單元的學習，能夠理解隨機事件的獨立性、了解條件概率并能進行簡單計算；感悟離散隨機變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現(xiàn)象；能夠理解伯努利試驗，掌握二項分布；了解超幾何分布；感悟服從正態(tài)分布的隨機變量，知道連續(xù)型隨機變量。能夠基于隨機變量及其分布解決簡單的實際問題。本單元的內(nèi)容包括：隨機事件的獨立性與條件概率、離散型隨機變量及其分布列、正態(tài)分布。

三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity(1)隨機事件的條件概率

①

結(jié)合古典概型，了解條件概率，并能計算簡單隨機事件的條件概率。

②

結(jié)合古典概型，會利用乘法公式計算概率。

③

結(jié)合古典概型，會利用全概率公式計算概率。*了解貝葉斯公式。(2)離散型隨機變量及其分布列

①

通過具體實例，了解離散性隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數(shù)字特征（均值、方差）。

②

通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題。

③

通過具體實例，了解超幾何分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題。三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity條件概率：事件B給定事件A的條件概率為=規(guī)定？事實上：，？

三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity(3)正態(tài)分布

①

通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量。通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征。

②

了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義。三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity誤差模型（高斯）

x=a+ε抽樣

x1

=a+ε1……

xn

=a+εn求和

x1+…+xn=na+ε1+…+εn

估計

三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity統(tǒng)計

通過本單元的學習，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，能夠運用這些方法解決簡單的實際問題，能夠利用統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)分析，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模和邏輯推理等素養(yǎng)。本單元的內(nèi)容包括：成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、一元線性回歸模型、2×2列聯(lián)表。三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理(1)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

①

結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系。

②

結(jié)合實例，通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性。Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理相關(guān)系數(shù)：借助成對數(shù)據(jù)，利用內(nèi)積（夾角）研究兩個隨機變量的關(guān)系。(x1，y1），……，(xn，yn）兩個隨機變量x和y的相關(guān)系數(shù)：余弦函數(shù)取值（-1，1）之間，是反函數(shù)：角越小、相關(guān)系數(shù)越大。Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理(2)一元線性回歸模型

①

結(jié)合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件。

②

針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預(yù)測。(3)2×2列聯(lián)表

①

通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義。

②

通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用，會使用統(tǒng)計表。Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理皮爾遜擬合似然檢驗

20世紀人類20個重大發(fā)明之一Key

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NortheastNormalUniversity謝謝！Key

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NortheastNormalUniversity統(tǒng)計學與數(shù)學的差異

研究起點數(shù)學：定義、假設(shè)；統(tǒng)計：數(shù)據(jù)、模型

思維方法數(shù)學：演繹推理；統(tǒng)計：歸納推理結(jié)果判斷數(shù)學：對不對；統(tǒng)計：好不好統(tǒng)計學與概率的區(qū)別共性：都是研究隨機現(xiàn)象差異：概率是用數(shù)學的方法

統(tǒng)計是用數(shù)據(jù)分析的方法Key

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NortheastNormalUniversity某小學男生對于香港演員只喜歡周星馳（0）和成龍（1）。函數(shù)：1-3年級男生喜歡周星馳；4-5年級男生喜歡成龍。

f(x)=0，x=1,2,3；

=1，x=4,5,6。概率：40%男生喜歡周星馳；60%男生喜歡成龍。

p(X=0)=40%；

p(X=1)=60%。統(tǒng)計：隨機調(diào)查n名男生（理解隨機），如果有m名喜歡周星馳，那么，

推斷p=m/n。Key

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NortheastNormalUniversity度量的不同函數(shù)：測度空間（X，A，μ），μ

是測度；概率：概率空間（X，A，p），p是概率測度；

統(tǒng)計：統(tǒng)計空間（X，A，P），P是概率族，

P={pθ；θ∈Θ}。

通過數(shù)據(jù)推斷具體的p

是什么。通常采用最大似然原理

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邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是具有傳遞性的推理。

關(guān)系傳遞（演繹推理）令A(yù)是一個集合，≈是集合上的一個二元關(guān)系。稱這個關(guān)系對于集合具有傳遞性，對于集合中的元素a，b和c，如果a≈b，b≈c，則a≈c。

進一步，令⊙是集合A上的一種運算。稱這個關(guān)系對于運算具有傳遞性，如果a≈b，則a⊙c≈b⊙c。

稱具有關(guān)系傳遞性的推理為關(guān)系傳遞性推理。Key

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NortheastNormalUniversity性質(zhì)傳遞第一類性質(zhì)傳遞（結(jié)論必然成立）

（演繹）

令A(yù)是一個集合，P是一個性質(zhì)。A→P。如果x∈A。則x→P。

第二類性質(zhì)傳遞（結(jié)論或然成立）(A：歸納)令A(yù)是一個集合，P是一個性質(zhì)。

x→P。如果x∈A。則A→P。(B：類比)令A(yù)和B是兩個集合，Q是一個屬性，P是一個性質(zhì)。A和B中的元素都具有屬性Q。如果A→P。則B→P。第二類性質(zhì)傳遞特征：通過經(jīng)驗過的東西推斷未曾經(jīng)驗過的東西，是創(chuàng)造性

思維方法的核心?？梢越y(tǒng)稱為歸納推理。Key

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歸納推理的規(guī)則（結(jié)論或然成立）

x→P。如果x∈A。則A→P。其中特殊的一類，這就是統(tǒng)計（基于隨機變量）的歸納推理，基本特征：

不僅結(jié)論是或然成立的，

結(jié)論表述形式本身也是或然的。比如：這學期有10次數(shù)學測試。A同學有7次進入班級前五名。

所以，這學期的期末數(shù)學考試，A同學有7/10的可能性

進入班級前五名。

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的過程。主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進行分析、推斷，獲得結(jié)論。（概念內(nèi)涵）數(shù)據(jù)分析是研究隨機現(xiàn)象的重要數(shù)學手段，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會生活和科學研究的各個方面。（學科價值）通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提升從數(shù)據(jù)中獲取有價值信息的能力，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識；積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗，形成重視調(diào)查、基于證據(jù)認識事物的思維品質(zhì)。（素養(yǎng)內(nèi)涵）Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理每個數(shù)學核心素養(yǎng)水平的闡述，都涉及四個方面：情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思。三種情境：生活情境、數(shù)學情境、科學情境三個層次：熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的三類問題：簡單的、較為復(fù)雜的、復(fù)雜的上述三個要素是構(gòu)成數(shù)學核心素養(yǎng)水平劃分的基礎(chǔ)。水平一：三種情境中的熟悉；三類問題中的簡單；水平二：三種情境中的關(guān)聯(lián)；三類問題中的較為復(fù)雜；水平三：三種情境中的綜合；三類問題中的復(fù)雜；Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理水平1（必修結(jié)束、高中畢業(yè)）

能夠結(jié)合具體情境，識別隨機現(xiàn)象；能夠在學過的類似情境中發(fā)現(xiàn)并提出概率或統(tǒng)計問題。

能夠?qū)o定的概率問題，選擇合適的概率模型，解決問題；能夠?qū)o定的統(tǒng)計問題，選擇合適的抽樣方法收集數(shù)據(jù)，掌握描述、刻畫、分析數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計方法，解決問題。

能夠結(jié)合具體隨機現(xiàn)象的案例，知道可以通過概率的方法對隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小進行度量，可以通過統(tǒng)計的方法根據(jù)數(shù)據(jù)對度量進行估計；能夠用統(tǒng)計和