高中數(shù)學(xué)人教A版5不等式和絕對(duì)值不等式

第一講一2一、選擇題1．如果0<a<b，且a＋b＝1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是()\f(1,2) B．bC．2ab D．a(chǎn)2＋b2解析：設(shè)a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，代入可得2ab＝eq\f(4,9)，a2＋b2＝eq\f(1,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)答案：B2．當(dāng)a＞1,0＜b＜1時(shí)，logab＋logba的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：由條件知logab＜0，logba＜0，故(－logab)＋(－logba)≥2eq\r(－logab·－logba)＝2，∴l(xiāng)ogab＋logba≤－2，選D.答案：D3．下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．當(dāng)x>0時(shí)，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C．當(dāng)x≥2時(shí)，x＋eq\f(1,x)的最大值為2D．當(dāng)0<x≤2時(shí)，x－eq\f(1,x)無最大值解析：若0<x<1時(shí)，lgx<0，所以A錯(cuò)；x＋eq\f(1,x)≥2時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閤≥2，所以C錯(cuò)；因?yàn)閤和－eq\f(1,x)均為增函數(shù)，所以x－eq\f(1,x)為增函數(shù)，當(dāng)x＝2時(shí)，x－eq\f(1,x)有最大值eq\f(3,2)，所以D錯(cuò)．答案：B4．某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站()A．5千米處 B．4千米處C．3千米處 D．2千米處解析：設(shè)倉庫應(yīng)建在離車站x千米處，設(shè)總費(fèi)用為y，由題意得y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x.把(10,2)，(10,8)代入得k1＝20，k2＝eq\f(4,5)，∴y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(20,x)＝eq\f(4x,5)，∴x＝5.答案：A二、填空題5．a(chǎn)，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，則a＋b的最小值為________．解析：∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝1＋2＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，∴a＋b的最小值為3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)6．設(shè)x>0，y>0，且xy－(x＋y)＝1，則x＋y的取值范圍為________．解析：因?yàn)閤y－(x＋y)＝1，且xy≤eq\f(x＋y2,4)，所以1＝xy－(x＋y)≤eq\f(x＋y2,4)－(x＋y)．設(shè)x＋y＝a，則eq\f(a2,4)－a－1≥0(a>0)，則a≥2＋2eq\r(2)，即x＋y≥2eq\r(2)＋2，故x＋y的取值范圍為[2eq\r(2)＋2，＋∞)．答案：[2eq\r(2)＋2，＋∞)三、解答題7．設(shè)a，b∈(0，＋∞)，試比較eq\f(a＋b,2)，eq\r(ab)，eq\r(\f(a2＋b2,2))，eq\f(2ab,a＋b)的大小，并說明理由．解析：∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，即eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(2ab,a＋b)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(a2＋b2＋2ab,4)≤eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2,2).∴eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．而eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，于是eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．8．求函數(shù)y＝eq\f(1,x－3)＋x(x>3)的最小值．解析：將原式配湊成y＝eq\f(1,x－3)＋x－3＋3.∵x>3，∴x－3>0，eq\f(1,x－3)>0，∴y≥2eq\r(x－3·\f(1,x－3))＋3＝5.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,x－3)＝x－3，即x＝4時(shí)，y有最小值5.9．如圖所示，動(dòng)物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24m2解析：(1)設(shè)每間虎籠長xm時(shí)，寬為ym，則由條件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy.方法一：由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，∴2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝,y＝3.))故每間虎籠長4.5m，寬為3m時(shí)，可使面積最大．方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f(3,2)y.∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(3,2)y))y＝eq\f(3,2)(6－y)·y.∵0<y<6，∴6－y>0，∴S≤eq\f(3,2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6－y＋y,2)))2＝eq\f(27,2).當(dāng)且僅當(dāng)6－y＝y(tǒng)，即y＝3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x＝.故每間虎籠長4.5m，寬3m時(shí)，可使面積最大．(2)由條件知S＝xy＝24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l，則l＝4x＋6y.方法一：∵2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，∴l(xiāng)＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝4.))故每間虎籠長6m，寬4m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長最?。椒ǘ河蓌y＝24，得x＝eq\f(24,y).