高中數(shù)學(xué)北師大版2第一章推理與證明 第1章1類(lèi)比推理

類(lèi)比推理1.通過(guò)具體實(shí)例理解類(lèi)比推理的意義.(重點(diǎn))2.會(huì)用類(lèi)比推理對(duì)具體問(wèn)題作出判斷.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1類(lèi)比推理閱讀教材P5“類(lèi)比推理”至P6前16行，完成下列問(wèn)題.由于兩類(lèi)不同對(duì)象具有某些類(lèi)似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類(lèi)對(duì)象的其他特征，推斷另一類(lèi)對(duì)象也具有類(lèi)似的其他特征，我們把這種推理過(guò)程稱(chēng)為類(lèi)比推理.類(lèi)比推理是兩類(lèi)事物特征之間的推理.類(lèi)比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖莀_______(填序號(hào)).①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等.【解析】正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類(lèi)比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類(lèi)比，故①②③都對(duì).【答案】①②③教材整理2合情推理閱讀教材P6的最后4個(gè)自然段，完成下列問(wèn)題.合情推理是根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式.合情推理的結(jié)果不一定正確.下列說(shuō)法正確的是()A.由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B.合情推理必須有前提有結(jié)論C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤【解析】根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結(jié)論.【答案】B[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]類(lèi)比推理在數(shù)列中的應(yīng)用在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比數(shù)列，且公比為4100；類(lèi)比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項(xiàng)和.(1)寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論，判斷該結(jié)論是否正確，并加以證明；(2)寫(xiě)出一個(gè)更為一般的結(jié)論(不必證明).【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合已知等比數(shù)列的特征可類(lèi)比等差數(shù)列每隔10項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì).【自主解答】(1)數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是正確的.證明如下：∵等差數(shù)列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝eq\o(10d＋10d＋…10d,\s\do8(10個(gè)))＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列，且公差為300.(2)對(duì)于任意k∈N＋，都有數(shù)列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數(shù)列，且公差為k2d.1.本題是等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的類(lèi)比推理，在等比數(shù)列與等差數(shù)列的類(lèi)比推理中，要注意等差與等比、加與乘、減與除、乘法與乘方的類(lèi)比特點(diǎn).2.類(lèi)比推理的思維過(guò)程觀(guān)察、比較→聯(lián)想、類(lèi)推→猜測(cè)新的結(jié)論.即在兩類(lèi)不同事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似之處后，推測(cè)這兩類(lèi)事物在其他方面的相同或相似之處.[再練一題]1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210005】【解析】等差數(shù)列類(lèi)比于等比數(shù)列時(shí)，和類(lèi)比于積，減法類(lèi)比于除法，可得類(lèi)比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列.【答案】eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)類(lèi)比推理在幾何中的應(yīng)用如圖1-1-10所示，在平面上，設(shè)ha，hb，hc分別是△ABC三條邊上的高，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa，pb，pc，可以得到結(jié)論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝1.圖1-1-10證明此結(jié)論，通過(guò)類(lèi)比寫(xiě)出在空間中的類(lèi)似結(jié)論，并加以證明.【精彩點(diǎn)撥】三角形類(lèi)比四面體，三角形的邊類(lèi)比四面體的面，三角形邊上的高類(lèi)比四面體以某一面為底面的高.【自主解答】eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,2)BC·pa,\f(1,2)BC·ha)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(S△PAC,S△ABC)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PAB,S△ABC).∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PBC＋S△PAC＋S△PAB,S△ABC)＝1.類(lèi)比上述結(jié)論得出以下結(jié)論：如圖所示，在四面體ABCD中，設(shè)ha，hb，hc，hd分別是該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面的距離，P為該四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為pa，pb，pc，pd，可以得到結(jié)論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝1.證明如下：eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·pa,\f(1,3)S△BCD·ha)＝eq\f(VP-BCD,VA-BCD)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(VP-ACD,VA-BCD)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(VP-ABD,VA-BCD)，eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP-ABC,VA-BCD).∵VP-BCD＋VP-ACD＋VP-ABD＋VP-ABC＝VA-BCD，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP-BCD＋VP-ACD＋VP-ABD＋VP-ABC,VA-BCD)＝1.1.一般地，平面圖形與空間圖形類(lèi)比如下：平面圖形點(diǎn)線(xiàn)邊長(zhǎng)面積線(xiàn)線(xiàn)角三角形空間圖形線(xiàn)面面積體積二面角四面體2.類(lèi)比推理的一般步驟(1)找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；(2)用一類(lèi)事物的性質(zhì)推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論.[再練一題]2.在上例中，若△ABC的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其對(duì)角分別為A，B，C，那么由a＝b·cosC＋c·cosB可類(lèi)比四面體的什么性質(zhì)？【解】在如圖所示的四面體中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小.猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.[探究共研型]類(lèi)比推理在其他問(wèn)題中的應(yīng)用探究1魯班發(fā)明鋸子的思維過(guò)程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開(kāi)木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷?lèi)似的.因此，它們?cè)谛螤钌弦矐?yīng)該類(lèi)似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的.你認(rèn)為該過(guò)程為歸納推理還是類(lèi)比推理？【提示】類(lèi)比推理.探究2已知以下過(guò)程可以求1＋2＋3＋…＋n的和.因?yàn)?n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋2n－n,2)＝eq\f(n（n＋1）,2).類(lèi)比以上過(guò)程試求12＋22＋32＋…＋n2的和.【提示】因?yàn)?n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，…23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n3＋3n2＋3n－\f(3n2＋5n,2)))＝eq\f(2n3＋3n2＋n,6)＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6).已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值，試寫(xiě)出雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)具有類(lèi)似特征的性質(zhì)，并加以證明.【精彩點(diǎn)撥】eq\x(\a\al(雙曲線(xiàn)與,橢圓類(lèi)比))→eq\x(\a\al(橢圓中的結(jié)論))→eq\x(\a\al(雙曲線(xiàn)中的,相應(yīng)結(jié)論))→eq\x(理論證明)【自主解答】類(lèi)似性質(zhì)：若M，N為雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.證明如下：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)，則N(－m，－n).因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，則kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值).1.兩類(lèi)事物能進(jìn)行類(lèi)比推理的關(guān)鍵是兩類(lèi)對(duì)象在某些方面具備相似特征.2.進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，首先，找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表達(dá)的相似特征.然后，用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得到一個(gè)猜想.[再練一題]3.(2023·溫州高二檢測(cè))如圖1-1-11所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up12(→))⊥eq\o(AB,\s\up12(→))時(shí)，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓”.類(lèi)比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線(xiàn)”的離心率e等于________.圖1-1-11【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，所以eq\o(FB,\s\up12(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－a，b).又因?yàn)閑q\o(FB,\s\up12(→))⊥eq\o(AB,\s\up12(→))，所以eq\o(FB,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去).【答案】eq\f(1＋\r(5),2)[構(gòu)建·體系]1.下面使用類(lèi)比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A.“若a·3＝b·3，則a＝b”類(lèi)比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B.“(a＋b)c＝ac＋bc”類(lèi)比推出“(a·b)c＝ac·bc”C.“(a＋b)c＝ac＋bc”類(lèi)比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D.“(ab)n＝anbn”類(lèi)比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【解析】由實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)易得C項(xiàng)正確.【答案】C2.已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類(lèi)比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可知扇形面積公式為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210006】\f(r2,2) \f(l2,2)\f(lr,2) D.無(wú)法確定【解析】扇形的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對(duì)應(yīng)三角形的高，因此可得扇形面積公式S＝eq\f(lr,2).【答案】C3.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______.【解析】由平面和空間的知識(shí)，可知面積之比與邊長(zhǎng)之比成平方關(guān)系，在空間中體積之比與棱長(zhǎng)之比成立方關(guān)系，故若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積之比為1∶8.【答案】1∶84.在計(jì)算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”時(shí)，有如下方法：先改寫(xiě)第k項(xiàng)：k(k＋1)＝eq\f(1,3)[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝eq\f(1,3)(1×2×3－0×1×2)，2×3＝eq\f(1,3)(2×3×4－1×2×3)，……n(n＋1)＝eq\f(1,3)[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝eq\f(1,3)n(＋1)(n＋2).類(lèi)比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)”，其結(jié)果寫(xiě)成關(guān)于n的一次因式的積的形式為_(kāi)_______________.【解析】1×3＝eq\f(1,6)×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝eq\f(1,6)×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝eq\f(1,6)×(3×4×13－2×3×11)，……n(n＋2)＝eq\f(1,6)[n(n＋1)(2n＋7)－(n－1)n(2n＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋7).【答案】eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋7)5.如圖1-1-12(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC.若類(lèi)比該命題，如圖1-1-12(2)，三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則可以得到什么命題？命題是否是真命題，并加以證明.(1)(2)圖1-1-12【解】命題是：三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCM·S△BCD，是一個(gè)真命題.證明如下：如圖，連接DM，并延長(zhǎng)交BC于E，連接AE，則有DE⊥BC.因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是Seq\o\al(2,△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·AE))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·EM))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·ED))＝S△BCM·S△BCD.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類(lèi)比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A.一條中線(xiàn)上的點(diǎn)，但不是中心B.一條垂線(xiàn)上的點(diǎn)，但不是垂心C.一條角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D.中心【解析】由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個(gè)面的中心.【答案】D2.下列推理正確的是()A.把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類(lèi)比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB.把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類(lèi)比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC.把(ab)n與(a＋b)n類(lèi)比，則有(x＋y)n＝xn＋ynD.把(a＋b)＋c與(xy)z類(lèi)比，則有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的結(jié)合律與加法結(jié)合律相類(lèi)比得(xy)z＝x(yz).故選D.【答案】D3.設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類(lèi)比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體S-ABC的體積為V，則R＝()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210007】\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) \f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) \f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)【解析】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和.則四面體的體積為V四面體S-ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).【答案】C4.在等差數(shù)列{an}中，若an>0，公差d≠0，則有a4a6>a3a7.類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，則關(guān)于b5，b7，b4，b8的一個(gè)不等關(guān)系正確的是()>b4b8 >b4b5＋b7<b4＋b8 ＋b8<b4＋b5【解析】b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，∴b5＋b7<b4＋b8.【答案】C5.已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則eq\f(AG,GD)＝2”.若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長(zhǎng)都相等的四面體A-BCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”，則eq\f(AO,OM)＝() 【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此時(shí)易知點(diǎn)O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等體積法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)?r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1.【答案】C二、填空題6.(2023·山東日照一模)36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?6＝22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為_(kāi)_______.【解析】類(lèi)比求36的所有正約數(shù)之和的方法，200的所有正約數(shù)之和可按如下方法求得：因?yàn)?00＝23×52，所以200的所有正約數(shù)之和為(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.【答案】4657.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，將此結(jié)論類(lèi)比到空間有______________________________.【解析】Rt△ABC類(lèi)比到空間為三棱錐A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圓類(lèi)比到空間為三棱錐A-BCD的外接球.【答案】在三棱錐A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，則三棱錐A-BCD的外接球半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)8.已知等差數(shù)列{an}中，有eq\f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30,30)，則在等比數(shù)列{bn}中，會(huì)有類(lèi)似的結(jié)論____________________.【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30).【答案】eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30)三、解答題9.如圖1-1-13(1)，在平面內(nèi)有面積關(guān)系eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，寫(xiě)出圖1-1-13(2)中類(lèi)似的體積關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(1)(2)圖1-1-13【解】類(lèi)比eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，有eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).證明：如圖，設(shè)C′，C到平面PAB的距離分別為h′，h.則eq\f(h′,h)＝eq\f(PC′,PC)，故eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(\f(1,3)S△PA′B′·h′,\f(1,3)S△PAB·h)＝eq\f(PA′·PB′·h′,PA·PB·h)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).10.在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立.類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有什么樣的等式成立？【解】在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).[能力提升]1.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的eq\f(1,3)，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類(lèi)似的結(jié)論是()A.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,2)B.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,3)C.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4)D.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,5)【解析】原問(wèn)題的解法為等面積法，即S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar?r＝eq\f(1,3)h，類(lèi)比問(wèn)題的解法應(yīng)為等體積法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)Sr?r＝eq\f(1,4)h，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4).【答案】C2.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也為等差數(shù)列.類(lèi)比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n)＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)＝eq\r(n,\f(ceq\o\al(n,1)＋ceq\o\al(n,2)＋…＋ceq\o\al(n,n),n))＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)【解析】若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列，則c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·qeq\s\up12(\f(n（n－1）,2))，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\s\up12(\f(n－1,2))，即{dn}為等比數(shù)列.【答案】D3.類(lèi)比“等差數(shù)列”的定義，寫(xiě)出“等和數(shù)列”的定義，并解答下列問(wèn)題：已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5