高中數(shù)學(xué)人教A版5不等式和絕對(duì)值不等式 2

第一講二1一、選擇題1．實(shí)數(shù)a，b滿足ab<0，那么()A．|a－b|<|a|＋|b| B．|a＋b|≥|a－b|C．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<||a|－|b||解析：由ab<0，不妨設(shè)a>0，b<0，所以|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|，|a＋b|<|a－b|答案：C2．不等式eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)<1成立的充要條件是()A．a(chǎn)，b都不為零 B．a(chǎn)b<0C．a(chǎn)b為非負(fù)數(shù) D．a(chǎn)，b中至少有一個(gè)不為零解析：由絕對(duì)值不等式|a＋b|≤|a|＋|b|∴eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1，當(dāng)a，b同號(hào)或其中一個(gè)為零時(shí)取等號(hào)．∴ab<0.答案：B3．若|x－a|<m，|y－a|<n，則下列不等式一定成立的是()A．|x－y|<2m B．|x－y|<2C．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m解析：|x－a|<m|y－a|<n∴|x－a|＋|y－a|<m＋n∵|x－a|＋|y－a|≥|(x－a)－(y－a)|＝|x－y|∴|x－y|<m＋n答案：D4．已知函數(shù)f(x)＝－2x＋1，對(duì)任意ε使得|f(x1)－f(x2)|<ε成立的一個(gè)充分非必要條件是()A．|x1－x2|<ε B．|x1－x2|<eq\f(ε,2)C．|x1－x2|<eq\f(ε,3) D．|x1－x2|>eq\f(ε,3)解析：∵f(x)＝－2x＋1，∴|f(x1)－f(x2)|＝|－2x1＋1＋2x2－1|＝|2x1－2x2|＝2|x1－x2|<ε，∴|x1－x2|<eq\f(ε,2)∴|x1－x2|<eq\f(ε,3)?|x1－x2|<eq\f(ε,2).答案：C二、填空題5．若不等式|x＋5|＋|x＋7|＜a的解集為非空集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由|a|＋|b|≥|a＋b|得|x＋5|＋|x＋7|＝|x＋5|＋|－x－7|≥|x＋5－x－7|＝|－2|＝2，∴a＞2.答案：(2，＋∞)6．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________．解析：∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x))＝eq\f(13,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(4y,5x)×3≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)即x＝2y＝1時(shí)取等號(hào)．答案：5三、解答題7．已知|A－a|＜eq\f(ε,3)，|B－b|＜eq\f(ε,3)，|C－c|＜eq\f(ε,3).求證：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜ε.證明：|A＋B＋C－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜eq\f(ε,3)＋eq\f(ε,3)＋eq\f(ε,3)＝ε.8．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，總有|f(x)|≤1.求證：|f(2)|≤7.證明：∵|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，∴|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.又f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c＝|3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－3c＝|3f(1)＋f(－1)－3≤|3f(1)|＋|f(－1)|＋|3≤3＋1＋3＝7.∴|f(2)|≤7.9．設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．(1)若|a|≤1，求|f(x)|的最大值；(2)求a的值，使函數(shù)f(x)的最大值eq\f(17,8).解析：(1)設(shè)g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x∵－1≤x≤1，當(dāng)x＝±1時(shí)，|f(x)|＝|g(a)|＝1；當(dāng)x≠±1時(shí)，x2－1<0，g(a)＝(x2－1)a＋x是單調(diào)遞減函數(shù)．∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4)，g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，∴|f(x)|＝|g(a)|≤|g(a)max|＝|－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4)|≤eq\f(5,4)，∴f(x)的最大值為eq\f(5,4).(2)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x；當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)的最大值為f(1)＝1不可能滿足題設(shè)條件，∴a≠0.又f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1，故f(±1)均不是最大值．∴f(x)的最大值eq\f(17,8)應(yīng)在其對(duì)稱軸上頂點(diǎn)位置取得．∴a<0.∴命題等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<－\f(1,2a)<1,f－\f(1,2a)＝\f(17,8),a<0))?eq\b\lc\{