高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案

2023學(xué)年高一年級數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（2023學(xué)年高一年級數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（44）班級姓名學(xué)號編寫：趙海通審閱：侯國會§三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．學(xué)習(xí)重點：三角函數(shù)的實際應(yīng)用學(xué)習(xí)難點：三角函數(shù)模型的建立【學(xué)法指導(dǎo)】三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型，利用三角函數(shù)模型解決實際問題時，要注意充分依據(jù)收集的數(shù)據(jù)，畫出“散點圖”，觀察“散點圖”的特征，當(dāng)“散點圖”具有波浪形的特征時，可以考慮應(yīng)用正、余弦函數(shù)進(jìn)行擬合.一．知識導(dǎo)學(xué)1．三角函數(shù)的周期性y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____；y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____；y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____.2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的性質(zhì)(1)ymax＝，ymin＝.(2)A＝，k＝.(3)ω可由確定，其中周期T可觀察圖象獲得．(4)由ωx1＋φ＝，ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝，ωx4＋φ＝，ωx5＋φ＝中的一個確定φ的值．3．三角函數(shù)模型的應(yīng)用二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點一】利用三角函數(shù)模型解釋自然現(xiàn)象在客觀世界中，周期現(xiàn)象廣泛存在．潮起潮落、星月運轉(zhuǎn)、晝夜更替、四季輪換，甚至連人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況都呈現(xiàn)周期性變化．而三角函數(shù)模型是刻畫周期性問題的最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)模型．利用三角函數(shù)模型解決實際問題的具體步驟如下：(1)收集數(shù)據(jù)，畫出“散點圖”；(2)觀察“散點圖”，進(jìn)行函數(shù)擬合，當(dāng)散點圖具有波浪形的特征時，便可考慮應(yīng)用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)模型來解決；(3)注意由第二步建立的數(shù)學(xué)模型得到的解都是近似的，需要具體情況具體分析．例如，如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)＋b.根據(jù)圖象可知，一天中的溫差是；這段曲線的函數(shù)解析式是y＝．【探究點二】三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用在物理學(xué)中，當(dāng)物體做簡諧運動時，可以用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)來表示運動的位移y隨時間x的變化規(guī)律，其中：(1)A稱為簡諧運動的振幅，它表示物體運動時離開平衡位置的最大位移；(2)T＝eq\f(2π,ω)稱為簡諧運動的周期，它表示物體往復(fù)運動一次所需的時間；(3)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)稱為簡諧運動的頻率，它表示單位時間內(nèi)物體往復(fù)運動的次數(shù)．例如，一根細(xì)線的一端固定，另一端懸掛一個小球，小球來回擺動時，離開平衡位置的位移s(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是：s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)畫出它的圖象；t0eq\f(1,6)eq\f(5,12)eq\f(2,3)eq\f(11,12)12πt＋eq\f(π,6)eq\f(π,6)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π2π＋eq\f(π,6)6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))360－603(2)回答以下問題：①小球開始擺動(即t＝0)，離開平衡位置是多少？②小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少？③小球來回擺動一次需要多少時間？【典型例題】例1．(1)作出函數(shù)y＝|cosx|的圖象，判斷其奇偶性、周期性并寫出單調(diào)區(qū)間．(2)作出函數(shù)y＝sin|x|的圖象并判斷其周期性．跟蹤訓(xùn)練1。求下列函數(shù)的周期：(1)y＝|sin2x|；(2)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＋\f(1,3)))；(3)y＝|tan2x|.例2．交流電的電壓E(單位：伏)與時間t(單位：秒)的關(guān)系可用E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))來表示，求：(1)開始時的電壓；(2)最大電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔；(3)電壓的最大值和第一次取得最大值的時間．跟蹤訓(xùn)練2。下圖表示電流I與時間t的函數(shù)關(guān)系式：I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))在同一周期內(nèi)的圖象．(1)據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)為使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段eq\f(1,100)的時間內(nèi)電流I能同時取得最大值和最小值，那么正整數(shù)ω的最小值是多少？例3．某港口水深y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t(小時)03691215182124y(米)據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似的看成正弦函數(shù)模型y＝Asinωt＋B的圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出y＝Asinωt＋B的解析式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？(忽略離港所用的時間)小結(jié)確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝Asinωt＋B(A>0)，就是確定其中的參數(shù)A，ω，B等，可從所給的數(shù)據(jù)中尋找答案．由于函數(shù)的最大值與最小值不是互為相反數(shù)，若設(shè)最大值為M，最小值為m，則A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2).跟蹤訓(xùn)練3。設(shè)y＝f(t)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時間t(時)的函數(shù)，其中0≤t≤24.下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y12經(jīng)長期觀察，函數(shù)y＝f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)y＝k＋Asin(ωt＋φ)的圖象．下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是 ()A．y＝12＋3sineq\f(π,6)t，t∈[0,24]B．y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋π))，t∈[0,24]C．y＝12＋3sineq\f(π,12)t，t∈[0,24]D．y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,2)))，t∈[0,24]三．鞏固訓(xùn)練1．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)()A．沒有根 B．有且僅有一個根C．有且僅有兩個根 D．有無窮多個根2．如圖所示，設(shè)點A是單位圓上的一定點，動點P從點A出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，點P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是()3．一根長lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動的周期是1s時，線長l＝________cm.4．如圖所示，一個摩天輪半徑為10m，輪子的底部在地面上2m處，如果此摩天輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每30s轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點P處(點P與摩天輪中心高度相同)時開始計時．(1