高中數(shù)學人教B版2第一章統(tǒng)計案例 第1章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①回歸分析②相互獨立事件的概率③χ2公式④判斷兩變量的線性相關(guān)回歸分析問題建立回歸模型的步驟：(1)確定研究對象，明確變量x，y.(2)畫出變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等).(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，則選用回歸直線方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))).(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法).(5)得出回歸方程.另外，回歸直線方程只適用于我們所研究的樣本的總體，而且一般都有時間性.樣本的取值范圍一般不能超過回歸直線方程的適用范圍，否則沒有實用價值.假設(shè)一個人從出生到死亡，在每個生日那天都測量身高，并作出這些數(shù)據(jù)散點圖，則這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內(nèi)的增長數(shù)據(jù)有時可以用線性回歸來分析.下表是一位母親給兒子作的成長記錄：年齡/周歲3456789身高/cm年齡/周歲10111213141516身高/cm(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出這些數(shù)據(jù)的線性回歸方程；(3)對于這個例子，你如何解釋回歸系數(shù)的含義？(4)解釋一下回歸系數(shù)與每年平均增長的身高之間的聯(lián)系.【精彩點撥】(1)作出散點圖，確定兩個變量是否線性相關(guān)；(2)求出eq\o(a,\s\up7(^))，eq\o(b,\s\up7(^))，寫出線性回歸方程；(3)回歸系數(shù)即eq\o(b,\s\up7(^))的值，是一個單位變化量；(4)根據(jù)線性回歸方程可找出其規(guī)律.【規(guī)范解答】(1)數(shù)據(jù)的散點圖如下：(2)用y表示身高，x表示年齡，因為eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(1,14)×(3＋4＋5＋…＋16)＝，eq\o(y,\s\up7(－))＝eq\f(1,14)×＋＋…＋＝132，eq\o(b,\s\up7(^))＝≈eq\f(18993－14××132,1491－14×≈，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－beq\o(x,\s\up7(－))＝，所以數(shù)據(jù)的線性回歸方程為y＝＋.(3)在該例中，回歸系數(shù)表示該人在一年中增加的高度.(4)回歸系數(shù)與每年平均增長的身高之間近似相等.[再練一題]1.假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：xy(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，作出散點圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)預(yù)報有效穗.【導(dǎo)學號：37820006】【解】(1)散點圖如下.(2)由圖看出，樣本點呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系.設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))，eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝，故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝＋.當x＝時，eq\o(y,\s\up7(^))＝＋×＝.估計成熟期有效穗約為.獨立性檢驗獨立性檢驗的基本思想類似于反證法，要確認兩個分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下，我們構(gòu)造的隨機變量χ2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機變量χ2的含義，可以通過P(χ2>≈來評價假設(shè)不合理的程度，由實際計算出χ2>說明假設(shè)不合理的程度約為99%，即兩個分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度為99%.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)計算χ2的值.(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系并作統(tǒng)計推斷.在某校高三年級一次全年級的大型考試中數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分也優(yōu)秀哪個關(guān)系較大？物理化學總分數(shù)學優(yōu)秀228225267數(shù)學非優(yōu)秀14315699注：該年級此次考試中數(shù)學成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人.【精彩點撥】分別列出數(shù)學與物理，數(shù)學與化學，數(shù)學與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表，求k的值.由觀測值分析，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)列出數(shù)學與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀228132360數(shù)學非優(yōu)秀143737880合計3718691240n11＝228，n12＝132，n21＝143，n22＝737，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝371，n＋2＝869，n＝1240.代入公式χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,（n1＋n2＋n＋1n＋2）)得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(1240×（228×737－132×143）2,360×880×371×869)≈3.(2)列出數(shù)學與化學優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：化學優(yōu)秀化學非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀225135360數(shù)學非優(yōu)秀156724880合計3818591240n11＝225，n12＝135，n21＝156，n22＝724，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝381，n＋2＝859，n＝1240.代入公式，得χeq\o\al(2,2)＝eq\f(1240×（225×724－135×156）2,360×880×381×859)≈2.(3)列出數(shù)學與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀26793360數(shù)學非優(yōu)秀99781880合計3668741240n11＝267，n12＝93，n21＝99，n22＝781，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝366，n＋2＝874，n＝1240.代入公式，得χeq\o\al(2,3)＝eq\f(1240×（267×781－93×99）2,360×880×366×874)≈5.由上面計算可知數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，由計算分別得到χ2的統(tǒng)計量都大于臨界值，由此說明有99%的把握認為數(shù)學優(yōu)秀與物理、化學、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，但與總分優(yōu)秀關(guān)系最大，與物理次之.[再練一題]2.某推銷商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不服用該藥品的418人中僅有18人患A疾病.請用所學知識分析該藥品對預(yù)防A疾病是否有效.【解】將問題中的數(shù)據(jù)寫成如下2×2列聯(lián)表：患A疾病不患A疾病合計服用該藥品5100105不服用該藥品18400418合計23500523將上述數(shù)據(jù)代入公式χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)中，計算可得χ2≈4，因為4<，故沒有充分理由認為該保健藥品對預(yù)防A疾病有效.轉(zhuǎn)化與化歸思想在回歸分析中的應(yīng)用回歸分析是對抽取的樣本進行分析，確定兩個變量的相關(guān)關(guān)系，并用一個變量的變化去推測另一個變量的變化.如果兩個變量非線性相關(guān)，我們可以通過對變量進行變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題.某商店各個時期的商品流通率y(%)的商品零售額x(萬元)資料如下：xy64xy散點圖顯示出x與y的變動關(guān)系為一條遞減的曲線.經(jīng)濟理論和實際經(jīng)驗都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營規(guī)模效益，假定它們之間存在關(guān)系式：y＝a＋eq\f(b,x).試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計值，并估計商品零售額為30萬元的商品流通率.【規(guī)范解答】設(shè)u＝eq\f(1,x)，則y＝a＋bu，得下表數(shù)據(jù)：u30151y64u35624y由表中數(shù)據(jù)可得y與u之間的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝－5＋u.所以所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝－5＋eq\f,x).當x＝30時，y＝5，即商品零售額為30萬元時，商品流通率為5%.[再練一題]3.在某化學實驗中，測得如下表所示的6對數(shù)據(jù)，其中x(單位：min)表示化學反應(yīng)進行的時間，y(單位：mg)表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量.x/min123456y/mg(1)設(shè)y與x之間具有關(guān)系y＝cdx，試根據(jù)測量數(shù)據(jù)估計c和d的值(精確到；(2)估計化學反應(yīng)進行到10min時未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量(精確到.【解】(1)在y＝cdx兩邊取自然對數(shù)，令lny＝z，lnc＝a，lnd＝b，則z＝a＋bx.由已知數(shù)據(jù)，得x123456yz由公式得eq\o(a,\s\up7(^))≈5，eq\o(b,\s\up7(^))≈－9，則線性回歸方程為eq\o(z,\s\up7(^))＝5－9x.而lnc＝5，lnd＝－9，故c≈，d≈，所以c，d的估計值分別為，.(2)當x＝10時，由(1)所得公式可得y≈(mg).所以化學反應(yīng)進行到10min時未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量約為mg.1.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)支出y(萬元)根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))，其中eq\o(b,\s\up7(^))＝，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(x,\s\up6(－)).據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A.11.4萬元 萬元萬元 萬元【解析】由題意知，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up7(^))＝8－×10＝，∴當x＝15時，eq\o(y,\s\up7(^))＝×15＋＝(萬元).【答案】B2.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y－－－得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝bx＋a，則()＞0，b＞0 ＞0，b＜0＜0，b＞0 ＜0，b＜0【解析】作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線eq\o(y,\s\up7(^))＝bx＋a的斜率b＜0，當x＝0時，eq\o(y,\s\up7(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】B3.根據(jù)下面給出的2023年至2023年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()圖1-1A.逐年比較，2023年減少二氧化硫排放量的效果最顯著年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【解析】對于A選項，由圖知從2023年到2023年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確.對于B選項，由圖知，由2023年到2023年矩形高度明顯下降，因此B正確.對于C選項，由圖知從2023年以后除2023年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確.由圖知2023年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān)，故選D.【答案】D4.如圖1-2是我國2023年至2023年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.圖1-2(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到，預(yù)測2023年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：eq^\o(,\s\do4(i＝1))yi＝，eq^\o(,\s\do4(i＝1))tiyi＝，＝，eq\r(7)≈.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(a,\s\up7(^))＋eq\o(b,\s\up7(^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up7(^))＝，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(t,\s\up6(－)).【解】(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得t＝4，eq^\o(,\s\do4(i＝1))(ti－t)2＝28，＝，＝－4×＝，∴r≈eq\f,×2×≈.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為，說明y與t的線性相關(guān)程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f,7)≈及(1)得eq\o(b,\s\up7(^))＝＝eq\f,28)≈.eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(t,\s\up6(－))≈－×4≈.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝＋.將2023年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up7(^))＝＋×9＝.所以預(yù)測2023年我國生活垃圾無害化處理量約為億噸.5.某地區(qū)2023年至2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2023202320232023202320232023年份代號t1234567人均純收入y(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2023年至2023年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do14(i＝1))（ti－t）（yi－\o(y,\s\up7(－))）,\o(∑,\s\up7(n),\s\do14(i＝1))（ti－\o(t,\s\up7(－))）2)，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(t,\s\up6(－)).【解】(1)由所給數(shù)據(jù)計算得eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(1