高中數(shù)學(xué)人教B版2第一章統(tǒng)計(jì)案例 第1章章末分層突破

章末分層突破[自我校對(duì)]①回歸分析②相互獨(dú)立事件的概率③χ2公式④判斷兩變量的線(xiàn)性相關(guān)回歸分析問(wèn)題建立回歸模型的步驟：(1)確定研究對(duì)象，明確變量x，y.(2)畫(huà)出變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系等).(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則選用回歸直線(xiàn)方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))).(4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法).(5)得出回歸方程.另外，回歸直線(xiàn)方程只適用于我們所研究的樣本的總體，而且一般都有時(shí)間性.樣本的取值范圍一般不能超過(guò)回歸直線(xiàn)方程的適用范圍，否則沒(méi)有實(shí)用價(jià)值.假設(shè)一個(gè)人從出生到死亡，在每個(gè)生日那天都測(cè)量身高，并作出這些數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，則這些點(diǎn)將不會(huì)落在一條直線(xiàn)上，但在一段時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)數(shù)據(jù)有時(shí)可以用線(xiàn)性回歸來(lái)分析.下表是一位母親給兒子作的成長(zhǎng)記錄：年齡/周歲3456789身高/cm年齡/周歲10111213141516身高/cm(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求出這些數(shù)據(jù)的線(xiàn)性回歸方程；(3)對(duì)于這個(gè)例子，你如何解釋回歸系數(shù)的含義？(4)解釋一下回歸系數(shù)與每年平均增長(zhǎng)的身高之間的聯(lián)系.【精彩點(diǎn)撥】(1)作出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量是否線(xiàn)性相關(guān)；(2)求出eq\o(a,\s\up7(^))，eq\o(b,\s\up7(^))，寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程；(3)回歸系數(shù)即eq\o(b,\s\up7(^))的值，是一個(gè)單位變化量；(4)根據(jù)線(xiàn)性回歸方程可找出其規(guī)律.【規(guī)范解答】(1)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下：(2)用y表示身高，x表示年齡，因?yàn)閑q\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(1,14)×(3＋4＋5＋…＋16)＝，eq\o(y,\s\up7(－))＝eq\f(1,14)×＋＋…＋＝132，eq\o(b,\s\up7(^))＝≈eq\f(18993－14××132,1491－14×≈，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－beq\o(x,\s\up7(－))＝，所以數(shù)據(jù)的線(xiàn)性回歸方程為y＝＋.(3)在該例中，回歸系數(shù)表示該人在一年中增加的高度.(4)回歸系數(shù)與每年平均增長(zhǎng)的身高之間近似相等.[再練一題]1.假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下：xy(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對(duì)于基本苗數(shù)預(yù)報(bào)有效穗.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37820006】【解】(1)散點(diǎn)圖如下.(2)由圖看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，有比較好的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸方程刻畫(huà)它們之間的關(guān)系.設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))，eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝，故所求的線(xiàn)性回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝＋.當(dāng)x＝時(shí)，eq\o(y,\s\up7(^))＝＋×＝.估計(jì)成熟期有效穗約為.獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類(lèi)似于反證法，要確認(rèn)兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下，我們構(gòu)造的隨機(jī)變量χ2應(yīng)該很小，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測(cè)值很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機(jī)變量χ2的含義，可以通過(guò)P(χ2>≈來(lái)評(píng)價(jià)假設(shè)不合理的程度，由實(shí)際計(jì)算出χ2>說(shuō)明假設(shè)不合理的程度約為99%，即兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度為99%.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)計(jì)算χ2的值.(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系并作統(tǒng)計(jì)推斷.在某校高三年級(jí)一次全年級(jí)的大型考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀哪個(gè)關(guān)系較大？物理化學(xué)總分?jǐn)?shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699注：該年級(jí)此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人.【精彩點(diǎn)撥】分別列出數(shù)學(xué)與物理，數(shù)學(xué)與化學(xué)，數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表，求k的值.由觀測(cè)值分析，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀228132360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143737880合計(jì)3718691240n11＝228，n12＝132，n21＝143，n22＝737，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝371，n＋2＝869，n＝1240.代入公式χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,（n1＋n2＋n＋1n＋2）)得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(1240×（228×737－132×143）2,360×880×371×869)≈3.(2)列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀225135360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀156724880合計(jì)3818591240n11＝225，n12＝135，n21＝156，n22＝724，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝381，n＋2＝859，n＝1240.代入公式，得χeq\o\al(2,2)＝eq\f(1240×（225×724－135×156）2,360×880×381×859)≈2.(3)列出數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀26793360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀99781880合計(jì)3668741240n11＝267，n12＝93，n21＝99，n22＝781，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝366，n＋2＝874，n＝1240.代入公式，得χeq\o\al(2,3)＝eq\f(1240×（267×781－93×99）2,360×880×366×874)≈5.由上面計(jì)算可知數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，由計(jì)算分別得到χ2的統(tǒng)計(jì)量都大于臨界值，由此說(shuō)明有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，但與總分優(yōu)秀關(guān)系最大，與物理次之.[再練一題]2.某推銷(xiāo)商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不服用該藥品的418人中僅有18人患A疾病.請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)分析該藥品對(duì)預(yù)防A疾病是否有效.【解】將問(wèn)題中的數(shù)據(jù)寫(xiě)成如下2×2列聯(lián)表：患A疾病不患A疾病合計(jì)服用該藥品5100105不服用該藥品18400418合計(jì)23500523將上述數(shù)據(jù)代入公式χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)中，計(jì)算可得χ2≈4，因?yàn)?<，故沒(méi)有充分理由認(rèn)為該保健藥品對(duì)預(yù)防A疾病有效.轉(zhuǎn)化與化歸思想在回歸分析中的應(yīng)用回歸分析是對(duì)抽取的樣本進(jìn)行分析，確定兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，并用一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化.如果兩個(gè)變量非線(xiàn)性相關(guān)，我們可以通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性相關(guān)問(wèn)題.某商店各個(gè)時(shí)期的商品流通率y(%)的商品零售額x(萬(wàn)元)資料如下：xy64xy散點(diǎn)圖顯示出x與y的變動(dòng)關(guān)系為一條遞減的曲線(xiàn).經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營(yíng)規(guī)模效益，假定它們之間存在關(guān)系式：y＝a＋eq\f(b,x).試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計(jì)值，并估計(jì)商品零售額為30萬(wàn)元的商品流通率.【規(guī)范解答】設(shè)u＝eq\f(1,x)，則y＝a＋bu，得下表數(shù)據(jù)：u30151y64u35624y由表中數(shù)據(jù)可得y與u之間的回歸直線(xiàn)方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝－5＋u.所以所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝－5＋eq\f,x).當(dāng)x＝30時(shí)，y＝5，即商品零售額為30萬(wàn)元時(shí)，商品流通率為5%.[再練一題]3.在某化學(xué)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得如下表所示的6對(duì)數(shù)據(jù)，其中x(單位：min)表示化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行的時(shí)間，y(單位：mg)表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量.x/min123456y/mg(1)設(shè)y與x之間具有關(guān)系y＝cdx，試根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)c和d的值(精確到；(2)估計(jì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量(精確到.【解】(1)在y＝cdx兩邊取自然對(duì)數(shù)，令lny＝z，lnc＝a，lnd＝b，則z＝a＋bx.由已知數(shù)據(jù)，得x123456yz由公式得eq\o(a,\s\up7(^))≈5，eq\o(b,\s\up7(^))≈－9，則線(xiàn)性回歸方程為eq\o(z,\s\up7(^))＝5－9x.而lnc＝5，lnd＝－9，故c≈，d≈，所以c，d的估計(jì)值分別為，.(2)當(dāng)x＝10時(shí)，由(1)所得公式可得y≈(mg).所以化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量約為mg.1.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬(wàn)元)支出y(萬(wàn)元)根據(jù)上表可得回歸直線(xiàn)方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))，其中eq\o(b,\s\up7(^))＝，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(x,\s\up6(－)).據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶(hù)年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()A.11.4萬(wàn)元 萬(wàn)元萬(wàn)元 萬(wàn)元【解析】由題意知，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up7(^))＝8－×10＝，∴當(dāng)x＝15時(shí)，eq\o(y,\s\up7(^))＝×15＋＝(萬(wàn)元).【答案】B2.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y－－－得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝bx＋a，則()＞0，b＞0 ＞0，b＜0＜0，b＞0 ＜0，b＜0【解析】作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖象可知，回歸直線(xiàn)eq\o(y,\s\up7(^))＝bx＋a的斜率b＜0，當(dāng)x＝0時(shí)，eq\o(y,\s\up7(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】B3.根據(jù)下面給出的2023年至2023年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()圖1-1A.逐年比較，2023年減少二氧化硫排放量的效果最顯著年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從2023年到2023年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由2023年到2023年矩形高度明顯下降，因此B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，由圖知從2023年以后除2023年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確.由圖知2023年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D.【答案】D4.如圖1-2是我國(guó)2023年至2023年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線(xiàn)圖.圖1-2(1)由折線(xiàn)圖看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到，預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：eq^\o(,\s\do4(i＝1))yi＝，eq^\o(,\s\do4(i＝1))tiyi＝，＝，eq\r(7)≈.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(a,\s\up7(^))＋eq\o(b,\s\up7(^))t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up7(^))＝，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(t,\s\up6(－)).【解】(1)由折線(xiàn)圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得t＝4，eq^\o(,\s\do4(i＝1))(ti－t)2＝28，＝，＝－4×＝，∴r≈eq\f,×2×≈.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為，說(shuō)明y與t的線(xiàn)性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線(xiàn)性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f,7)≈及(1)得eq\o(b,\s\up7(^))＝＝eq\f,28)≈.eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(t,\s\up6(－))≈－×4≈.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝＋.將2023年對(duì)應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up7(^))＝＋×9＝.所以預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量約為億噸.5.某地區(qū)2023年至2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2023202320232023202320232023年份代號(hào)t1234567人均純收入y(1)求y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2023年至2023年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do14(i＝1))（ti－t）（yi－\o(y,\s\up7(－))）,\o(∑,\s\up7(n),\s\do14(i＝1))（ti－\o(t,\s\up7(－))）2)，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(t,\s\up6(－)).【解】(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(1