高中數(shù)學(xué)蘇教版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章學(xué)業(yè)分層測評(píng)19

學(xué)業(yè)分層測評(píng)(十九)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．用隨機(jī)模擬的方法來估計(jì)圓周率π的近似值．在正方形中隨機(jī)撒一把芝麻，如果撒了1000顆芝麻，落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)的芝麻點(diǎn)數(shù)為778顆，那么這次模擬中π的近似值是________．【解析】根據(jù)幾何概型及用頻率估計(jì)概率的思想，eq\f(πR2,4R2)＝eq\f(π,4)＝eq\f(778,1000)，其中R為正方形內(nèi)切圓的半徑，解得π＝.【答案】2．已知函數(shù)f(x)＝log2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上任取一點(diǎn)x0，則使f(x0)≥0的概率為________．【解析】欲使f(x)＝log2x≥0，則x≥1，而x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴x∈[1,2]，從而由幾何概型概率公式知所求概率P＝eq\f(2－1,2－\f(1,2))＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)3．如圖3-3-5，在平面直角坐標(biāo)系中，∠xOT＝60°，以O(shè)為端點(diǎn)任作一射線，則射線落在銳角∠xOT內(nèi)的概率是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：11032068】圖3-3-5【解析】以O(shè)為起點(diǎn)作射線，設(shè)為OA，則射線OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT內(nèi)的概率只與∠xOT的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件．記“射線OA落在銳角∠xOT內(nèi)”為事件A，其幾何度量是60°，全體基本事件的度量是360°，由幾何概型概率計(jì)算公式，可得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)4．若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖3-3-6所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________．圖3-3-6【解析】由題意AB＝2，BC＝1，可知長方形ABCD的面積S＝2×1＝2，以AB為直徑的半圓的面積S1＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2).故質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率P＝eq\f(\f(π,2),2)＝eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)5．一只螞蟻在三邊邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為________．【解析】邊長為3,4,5構(gòu)成直角三角形，P＝eq\f(3－1－1＋4－1－1＋5－1－1,3＋4＋5)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)6．一只螞蟻在邊長分別為6,8,10的△ABC區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其恰在到頂點(diǎn)A或頂點(diǎn)B或頂點(diǎn)C的距離小于1的地方的概率為________．【解析】由題意知，三角形ABC為直角三角形，則S△ABC＝eq\f(1,2)×6×8＝24，記“恰在到頂點(diǎn)A或B或C的距離小于1”為事件A.則事件A發(fā)生的圖形為圖中陰影部分面積，因?yàn)镾陰＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)所以P(A)＝eq\f(S陰,S△ABC)＝eq\f(\f(π,2),24)＝eq\f(π,48).【答案】eq\f(π,48)7．已知集合A＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，現(xiàn)在集合內(nèi)任取一點(diǎn)，使得x2＋y2≤1的概率是________．【解析】集合A表示的平面圖形是如圖所示的邊長為1的正方形，其內(nèi)切圓為x2＋y2＝1.設(shè)“在集合內(nèi)取一點(diǎn)，使得x2＋y2≤1”為事件A，即所取的點(diǎn)在單位圓x2＋y2＝1上或內(nèi)部．由幾何概型知P(A)＝eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)8．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是________．【解析】如圖，由VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC知，P點(diǎn)在三棱錐S-ABC的中截面A0B0C0的下方，P＝1－eq\f(VS-A0B0C0,VS-ABC)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).【答案】eq\f(7,8)二、解答題9．兩人約定在20∶00到21∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20∶00至21∶00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間相見的概率．【解】設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)－eq\f(2,3)≤x－y≤eq\f(2,3).兩人到達(dá)約見地點(diǎn)所有時(shí)刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)來表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示，因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為：P＝eq\f(S陰影,S單位正方形)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),12)＝eq\f(8,9).10．已知|x|≤2，|y|≤2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．(1)求當(dāng)x，y∈R時(shí)，點(diǎn)P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求當(dāng)x，y∈Z時(shí)，點(diǎn)P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．【解】(1)如圖，點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD的內(nèi)部(含邊界)，滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐?2,2)為圓心，2為半徑的圓面(含邊界)．又S正方形ABCD＝4×4＝16，S扇形＝π，∴P1＝eq\f(S扇形,S正方形ABCD)＝eq\f(π,16).(2)若x，y∈Z，則點(diǎn)P的坐標(biāo)有(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1,1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)共25個(gè)，滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的有(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)共5個(gè)，∴點(diǎn)P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率P1＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).[能力提升]1.如圖3-3-7，半徑為10cm的圓形紙板內(nèi)有一個(gè)相同圓心的半徑為1cm的小圓．現(xiàn)將半徑為1cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使硬幣整體隨機(jī)落在紙板內(nèi)，則硬幣落下后與小圓無公共點(diǎn)的概率為________．圖3-3-7【解析】由題意，硬幣的中心應(yīng)落在距圓心2～9cm的圓環(huán)上，圓環(huán)的面積為π×92－π×22＝77πcm2，故所求概率為eq\f(77π,81π)＝eq\f(77,81).【答案】eq\f(77,81)2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠?的概率為1，則a的取值范圍是________．【解析】由A∩B≠?的概率為1知直線x＋y＋a＝0與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，故圓心到直線的距離不大于半徑1，即eq\f(|a|,\r(2))≤1.解得－eq\r(2)≤a≤eq\r(2).【答案】[－eq\r(2)，eq\r(2)]3．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)【解析】與點(diǎn)O距離等于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半球面(如圖)，半球體積為V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).“點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1”事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為23－eq\f(2π,3)，則點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率是eq\f(23－\f(2π,3),23)＝1－eq\f(π,12).【答案】1－eq\f(π,12)4．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：11032069】【解】設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根等價(jià)于Δ＝4a2－4b2≥0,即a≥b.(1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個(gè)數(shù)表示a