高中數(shù)學(xué)人教A版5柯西不等式與排序不等式3

第三講三一、選擇題1．若A＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為()A．A＞B B．A＜BC．A≥B D．A≤B解析：依序列{xn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，不妨設(shè)0＜x1≤x2≤…≤xn，則x2，x3，…，xn，x1為序列{xn}的一個(gè)排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.答案：C2．(1＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,61)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n－2)))的取值范圍是()A．(21，＋∞) B．(61，＋∞)C．(4，＋∞) D．(3n－2，＋∞)答案：C3．已知a1，a2，a3為正整數(shù)，則a1＋eq\f(a2,4)＋eq\f(a3,9)的最大值為()A．3 \f(1,3)\f(5,6) \f(49,36)答案：D4．設(shè)a，b，c∈R＋，則式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3abA．M≥0B．M≤0C．M的符號(hào)與a，b，c的大小有關(guān)D．不能確定解析：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，則a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥a·c4＋b·a4＋c·b4.又a3≥b3≥c3，且ab≥ac≥bc.∴a4b＋b4c＋c＝a3·ab＋b3·bc＋c3·ca≥a3bc＋b3·ac＋c3ab∴a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab∴M≥0.答案：A二、填空題5．有4人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿每個(gè)人的水桶分別需要5s,4s,3s,7s，每個(gè)人接完水后就離開，則他們等候的總時(shí)間最短為________s.解析：由題意知，等候的時(shí)間最短為3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：416．設(shè)A，B，C表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角，a，b，c表示其對(duì)邊，則eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)的最小值為________(A，B，C用弧度制表示)．解析：不妨設(shè)a≥b≥c，則A≥B≥C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC.aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，將以上三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，∴eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)≥eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)三、解答題7．設(shè)c1，c2，…，cn為正數(shù)a1，a2，…，an的某一排列，求證：eq\f(a1,c1)＋eq\f(a2,c2)＋…＋eq\f(an,cn)≥n.證明：不妨設(shè)0<a1≤a2≤…≤an，則eq\f(1,a1)≥eq\f(1,a2)≥…≥eq\f(1,an).∵eq\f(1,c1)，eq\f(1,c2)，…，eq\f(1,cn)是eq\f(1,a1)，eq\f(1,a2)，…，eq\f(1,an)的一個(gè)排列，故由排序原理：反序和≤亂序和得a1·eq\f(1,a1)＋a2·eq\f(1,a2)＋…＋an·eq\f(1,an)≤a1·eq\f(1,c1)＋a2·eq\f(1,c2)＋…＋an·eq\f(1,cn)，即eq\f(a1,c1)＋eq\f(a2,c2)＋…eq\f(an,cn)≥n.8．設(shè)a，b，c∈R＋，求證：eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq\f(1,b3＋c3＋abc)＋eq\f(1,c3＋a3＋abc)≤eq\f(1,abc).證明：不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a＝ab(a＋b)．同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，所以eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq\f(1,b3＋c3＋abc)＋eq\f(1,c3＋a3＋abc)≤eq\f(1,aba＋b＋abc)＋eq\f(1,bcb＋c＋abc)＋eq\f(1,cac＋a＋abc)＝eq\f(1,a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ab)＋\f(1,bc)＋\f(1,ca)))＝eq\f(1,abc).9．設(shè)a1，a2，…，an為1,2，…，n的一個(gè)排列，求證：eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n－1,n)≤eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an－1,an).證明：設(shè)b1，b2，…，bn－1為a1，a2，…，an－1的一個(gè)排列，且b1<b2<…<bn－1，c1，c2，…，cn－1為a2，a3，…，an的一個(gè)排列，且c1<c2<…<cn－1，于是eq\f(1,c1)>eq\f(1,c2)>…>eq\f(1,cn－1)，由排序不等式：亂序和≥反序和，得eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an－1,an)≥eq\f(b1,c1)＋eq\f(b2,c2)＋…＋eq\f(bn－1,cn－1) ①由于b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，于是eq\f(b1,c1)＋eq\f(b2,c2)＋…＋eq\f(bn－1,cn－1)≥eq\