高中數學人教B版4第一章坐標系 第1章章末分層突破

章末分層突破平面直角坐標系下圖形的變換平面圖形的伸縮變換可由坐標伸縮變換來實現，在使用坐標變換公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X＝axa>0,Y＝byb>0))時，一定要分清變換前后的新舊坐標.在平面直角坐標系中，已知伸縮變換：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X＝3x，,2Y＝y(tǒng).))求直線l：y＝6x經過變換后所得直線l′的方程.【精彩點撥】由伸縮變換公式，用X，Y表示x，y，并代入變換前方程，求得X，Y間的關系.【規(guī)范解答】設P′(X，Y)是直線l′上任意一點.由伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X＝3x,2Y＝y(tǒng)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(X,3)，,y＝2Y，))代入y＝6x，得2Y＝6·eq\f(X,3)＝2X，∴Y＝X為所求直線l′的方程.因此變換后直線l′的方程為x－y＝0.求曲線的極坐標方程求曲線的極坐標的方法和步驟，和求直角坐標方程類似，就是把曲線看作適合某種條件的點的集合或軌跡，將已知條件用曲線上的極坐標ρ，θ的關系式f(ρ，θ)表示出來，就得到曲線的極坐標方程.圓心為C(3，eq\f(π,6))，半徑為3的圓的極坐標方程是什么？【精彩點撥】在圓C上任取一點M(ρ，θ)，建立ρ與θ的等量關系.【規(guī)范解答】如圖，設圓上任一點為P(ρ，θ)，則|OP|＝ρ，∠POA＝|θ－eq\f(π,6)|，|OA|＝2×3＝6.在Rt△POA中，|OP|＝|OA|cos∠POA，則ρ＝6cos(θ－eq\f(π,6))，即圓的極坐標方程為ρ＝6cos(θ－eq\f(π,6)).已知定點A(a,0)，動點P對極點O和點A的張角∠OPA＝eq\f(π,3).在OP的延長線上取點Q，使|PQ|＝|PA|.當P在極軸上方運動時，求點Q的軌跡的極坐標方程.【精彩點撥】求極坐標方程，往往是構造三角形，利用三角形的邊角關系，或余弦定理列出關系式.【規(guī)范解答】設Q，P的坐標分別是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，則θ＝θ1.在△POA中，ρ1＝eq\f(a,sin\f(π,3))·sin(eq\f(2π,3)－θ)，|PA|＝eq\f(asinθ,sin\f(π,3)).又|OQ|＝|OP|＋|PA|，∴ρ＝2acos(eq\f(π,3)－θ).極坐標與直角坐標的互化極坐標系和直角坐標系是兩種不同的坐標系.同一個點可以有極坐標，也可以有直角坐標；同一條曲線可以有極坐標方程，也可以有直角坐標方程.為了研究問題的方便，有時需要把在一種坐標系中的方程化為在另一種坐標系中的方程.它們之間的互化關系為：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0).⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程.【規(guī)范解答】以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位.(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標方程，同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標方程.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，,x2＋y2＋4y＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝－2.))即⊙O1，⊙O2交于點(0,0)和(2，－2)，故過交點的直線的直角坐標方程為y＝－x.轉化與化歸思想轉化與化歸思想，是運用數學知識的遷移解決問題.具體表現為化未知為已知，化抽象為具體，化一般為特殊.如本章中直角坐標與極坐標，直角坐標方程與極坐標方程，都是這種思想的體現.當ρ≥0,0≤θ<2π時，極坐標方程與直角坐標方程的相互轉化就是等價轉化.已知極坐標方程C1：ρ＝10，C2：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝6，(1)化C1、C2的極坐標方程為直角坐標方程，并分別判斷曲線形狀；(2)求C1、C2交點間的距離.【規(guī)范解答】(1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，∴x2＋y2＝100，所以C1為圓心在(0,0)，半徑等于10的圓.由C2：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝6，得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinθ－\f(\r(3),2)cosθ))＝6.∴y－eq\r(3)x＝12，即eq\r(3)x－y＋12＝0.所以C2表示直線.(2)由于圓心(0