高中數(shù)學(xué)人教B版4第一章坐標(biāo)系 第1章章末分層突破

章末分層突破平面直角坐標(biāo)系下圖形的變換平面圖形的伸縮變換可由坐標(biāo)伸縮變換來實(shí)現(xiàn)，在使用坐標(biāo)變換公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X＝axa>0,Y＝byb>0))時(shí)，一定要分清變換前后的新舊坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X＝3x，,2Y＝y(tǒng).))求直線l：y＝6x經(jīng)過變換后所得直線l′的方程.【精彩點(diǎn)撥】由伸縮變換公式，用X，Y表示x，y，并代入變換前方程，求得X，Y間的關(guān)系.【規(guī)范解答】設(shè)P′(X，Y)是直線l′上任意一點(diǎn).由伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X＝3x,2Y＝y(tǒng)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(X,3)，,y＝2Y，))代入y＝6x，得2Y＝6·eq\f(X,3)＝2X，∴Y＝X為所求直線l′的方程.因此變換后直線l′的方程為x－y＝0.求曲線的極坐標(biāo)方程求曲線的極坐標(biāo)的方法和步驟，和求直角坐標(biāo)方程類似，就是把曲線看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，將已知條件用曲線上的極坐標(biāo)ρ，θ的關(guān)系式f(ρ，θ)表示出來，就得到曲線的極坐標(biāo)方程.圓心為C(3，eq\f(π,6))，半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程是什么？【精彩點(diǎn)撥】在圓C上任取一點(diǎn)M(ρ，θ)，建立ρ與θ的等量關(guān)系.【規(guī)范解答】如圖，設(shè)圓上任一點(diǎn)為P(ρ，θ)，則|OP|＝ρ，∠POA＝|θ－eq\f(π,6)|，|OA|＝2×3＝6.在Rt△POA中，|OP|＝|OA|cos∠POA，則ρ＝6cos(θ－eq\f(π,6))，即圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos(θ－eq\f(π,6)).已知定點(diǎn)A(a,0)，動(dòng)點(diǎn)P對(duì)極點(diǎn)O和點(diǎn)A的張角∠OPA＝eq\f(π,3).在OP的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使|PQ|＝|PA|.當(dāng)P在極軸上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程.【精彩點(diǎn)撥】求極坐標(biāo)方程，往往是構(gòu)造三角形，利用三角形的邊角關(guān)系，或余弦定理列出關(guān)系式.【規(guī)范解答】設(shè)Q，P的坐標(biāo)分別是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，則θ＝θ1.在△POA中，ρ1＝eq\f(a,sin\f(π,3))·sin(eq\f(2π,3)－θ)，|PA|＝eq\f(asinθ,sin\f(π,3)).又|OQ|＝|OP|＋|PA|，∴ρ＝2acos(eq\f(π,3)－θ).極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系是兩種不同的坐標(biāo)系.同一個(gè)點(diǎn)可以有極坐標(biāo)，也可以有直角坐標(biāo)；同一條曲線可以有極坐標(biāo)方程，也可以有直角坐標(biāo)方程.為了研究問題的方便，有時(shí)需要把在一種坐標(biāo)系中的方程化為在另一種坐標(biāo)系中的方程.它們之間的互化關(guān)系為：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0).⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.【規(guī)范解答】以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標(biāo)方程，同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標(biāo)方程.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，,x2＋y2＋4y＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝－2.))即⊙O1，⊙O2交于點(diǎn)(0,0)和(2，－2)，故過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y＝－x.轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移解決問題.具體表現(xiàn)為化未知為已知，化抽象為具體，化一般為特殊.如本章中直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程，都是這種思想的體現(xiàn).當(dāng)ρ≥0,0≤θ<2π時(shí)，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化就是等價(jià)轉(zhuǎn)化.已知極坐標(biāo)方程C1：ρ＝10，C2：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝6，(1)化C1、C2的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，并分別判斷曲線形狀；(2)求C1、C2交點(diǎn)間的距離.【規(guī)范解答】(1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，∴x2＋y2＝100，所以C1為圓心在(0,0)，半徑等于10的圓.由C2：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝6，得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinθ－\f(\r(3),2)cosθ))＝6.∴y－eq\r(3)x＝12，即eq\r(3)x－y＋12＝0.所以C2表示直線.(2)由于圓心(0