高中數(shù)學人教B版3第三章統(tǒng)計獨立性檢驗 第3章

獨立性檢驗1.了解分類變量、2×2列聯(lián)表、隨機變量χ2的意義.2.通過對典型案例的分析，了解獨立性檢驗的基本思想方法.(重點)3.通過對典型案例的分析，了解兩個分類變量的獨立性檢驗的應用.(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理獨立性檢驗閱讀教材P77～P78例2以上部分，完成下列問題.1.卡方統(tǒng)計量χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，用χ2的大小可以決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)H0.如果算出的χ2值較大，就拒絕H0，也就是拒絕“事件A與B無關(guān)”，從而就認為它們是有關(guān)的了.2.兩個臨界值(1)當根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的χ2>時，有95%的把握說事件A與B有關(guān)；(2)當χ2>時，有99%的把握說事件A與B有關(guān)，當χ2≤時，認為事件A與B是無關(guān)的.1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念.(×)(2)獨立性檢驗的方法就是反證法.(×)(3)獨立性檢驗中可通過統(tǒng)計表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大小.(√)2.考察棉花種子經(jīng)過處理與生病之間的關(guān)系，得到下表中的數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理合計得病32101133不得病61213274合計93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得出()A.種子是否經(jīng)過處理與是否生病有關(guān)B.種子是否經(jīng)過處理與是否生病無關(guān)C.種子是否經(jīng)過處理決定是否生病D.有90%的把握認為種子經(jīng)過處理與生病有關(guān)【解析】χ2＝eq\f(407×32×213－61×1012,93×314×133×274)≈<，即沒有充足的理由認為種子是否經(jīng)過處理跟生病有關(guān).【答案】B3.若由一個2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得χ2＝，那么有__________的把握認為兩個變量之間有關(guān)系.【導學號：62980064】【解析】查閱χ2表知有95%的把握認為兩個變量之間有關(guān)系.【答案】95%[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系在對人們飲食習慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人.六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人的飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(n11,n1＋)與eq\f(n21,n2＋)判斷二者是否有關(guān)系.【精彩點撥】eq\x(對變量進行分類)→eq\x(求出分類變量的不同取值)→eq\x(作出2×2列聯(lián)表)→eq\x(計算\f(n11,n1＋)與\f(n21,n2＋)的值作出判斷)【自主解答】飲食習慣與年齡2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下合計飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360合計7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(n11,n1＋)＝eq\f(43,64)≈，eq\f(n21,n2＋)＝eq\f(27,60)＝.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認為飲食習慣與年齡有關(guān)系.1.作2×2列聯(lián)表時，注意應該是4行4列，計算時要準確無誤.2.作2×2列聯(lián)表時，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別.[再練一題]1.上例中條件不變，嘗試用|n11n22－n12n21|的大小判斷飲食習慣與年齡是否有關(guān).【解】將本例2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入可得|n11n22－n12n21|＝|43×33－21×27|＝852.相差較大，可在某種程度上認為飲食習慣與年齡有關(guān)系.由χ2進行獨立性檢驗某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則我們能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學優(yōu)秀有關(guān)系？物理優(yōu)秀化學優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學優(yōu)秀228225267數(shù)學非優(yōu)秀14315699注：該年級此次考試中數(shù)學成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人.【精彩點撥】首先分別列出數(shù)學成績與物理、化學、總分的2×2列聯(lián)表，再正確計算χ2的觀測值，然后由χ2的值作出判斷.【自主解答】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出數(shù)學與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀228b360數(shù)學非優(yōu)秀143d880合計371b＋d1240∴b＝360－228＝132，d＝880－143＝737，b＋d＝132＋737＝869.代入公式可得χ2≈.(2)按照上述方法列出數(shù)學與化學優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：化學優(yōu)秀化學非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀225135360數(shù)學非優(yōu)秀156724880合計3818591240代入公式可得χ2≈.綜上，由于χ2的觀測值都大于，因此說明都能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學優(yōu)秀有關(guān)系.1.獨立性檢驗的關(guān)注點在2×2列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關(guān)系，則應滿足n11n22－n12n21≈0，因此|n11n22－n12n21|越小，關(guān)系越弱；|n11n22－n12n21|越大，關(guān)系越強.2.獨立性檢驗的具體做法(1)根據(jù)實際問題的需要確定允許推斷“事件A與B有關(guān)系”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.(2)利用公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n\o\al(2,21),n1＋n2＋n＋1n＋2)計算隨機變量χ2.(3)如果χ2≥k0，推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.[再練一題]2.為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對540名40歲以上的人的調(diào)查結(jié)果如下：患胃病未患胃病合計生活不規(guī)律60260320生活有規(guī)律20200220合計80460540根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關(guān)嗎？【解】由公式得χ2＝eq\f(54060×200－260×202,320×220×80×460)≈.∵>，∴有99%的把握說40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關(guān)，即生活不規(guī)律的人易患胃病.[探究共研型]獨立性檢驗的綜合應用探究1利用χ2進行獨立性檢驗，估計值的準確度與樣本容量有關(guān)嗎？【提示】利用χ2進行獨立性檢驗，可以對推斷的正確性的概率作出估計，樣本容量n越大，這個估計值越準確，如果抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進行獨立性檢驗的結(jié)果就不具有可靠性.探究2在χ2運算后，得到χ2的值為，在判斷變量相關(guān)時，P(χ2≥≈和P(χ2≥≈，哪種說法是正確的？【提示】兩種說法均正確.P(χ2≥≈的含義是在犯錯誤的概率不超過的前提下認為兩個變量相關(guān)；而P(χ2≥≈的含義是在犯錯誤的概率不超過的前提下認為兩個變量相關(guān).為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：男女需要4030不需要160270(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由.【精彩點撥】題中給出了2×2列聯(lián)表，從而可通過求χ2的值進行判定.對于(1)(3)可依據(jù)古典概率及抽樣方法分析求解.【自主解答】(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500)＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈.由于>，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法進行抽樣，這比采用簡單隨機抽樣方法更好.1.檢驗兩個變量是否相互獨立，主要依據(jù)是利用χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)公式計算χ2的值，再利用該值與，兩個值進行比較作出判斷.2.χ2計算公式較復雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時不能張冠李戴；三是計算時要細心.3.統(tǒng)計的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過部分數(shù)據(jù)的性質(zhì)來推測全部數(shù)據(jù)的性質(zhì).因此，統(tǒng)計推斷是可能犯錯誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計關(guān)系，而不是因果關(guān)系.[再練一題]3.若兩個分類變量x和y的列聯(lián)表為：yxy1y2x1515x24010則x與y之間有關(guān)系的概率約為________.【解析】χ2＝eq\f(5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10)≈.∵>，∴x與y之間有關(guān)系的概率約為1－＝.【答案】[構(gòu)建·體系]1.下列選項中，哪一個χ2的值可以有95%以上的把握認為“A與B有關(guān)系”()A.χ2＝ B.χ2＝C.χ2＝ D.χ2＝【解析】∵>，故D正確.【答案】D2.通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女合計愛好402060不愛好203050合計6050110經(jīng)計算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈.則正確結(jié)論是()A.在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B.在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”【解析】根據(jù)獨立性檢驗的思想方法，正確選項為C.【答案】C3.在一個2×2列聯(lián)表中，由其數(shù)據(jù)計算得χ2＝，認為兩個變量有關(guān)系犯錯誤的概率不超過________.【解析】如果χ2>時，認為“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率不超過.【答案】4.某大學在研究性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系，你認為應該收集的數(shù)據(jù)是________.【解析】由研究的問題可知，需收集的數(shù)據(jù)應為男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù).【答案】男正教授，女正教授，男副教授，女副教授5.調(diào)查某醫(yī)院某段時間內(nèi)嬰兒出生的時間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)：出生時間在晚上的男嬰為24人，女嬰為8人；出生時間在白天的男嬰為31人，女嬰為26人.(1)將下面的2×2列聯(lián)表補充完整；晚上白天合計男嬰女嬰合計(2)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為嬰兒性別與出生時間有關(guān)系？【解】(1)晚上白天合計男嬰243155女嬰82634合計325789(2)由所給數(shù)據(jù)計算χ2χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈>.根據(jù)臨界值表知P(χ2≥≈.因此在犯錯誤的概率不超過的前提下認為嬰兒的性別與出生的時間有關(guān)系.我還有這些不足：(1)