高中數(shù)學人教A版第一章三角函數(shù) 正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)學案2

2023學年高一年級數(shù)學2023學年高一年級數(shù)學導學案（40）班級姓名學號編寫：趙海通審閱：侯國會§1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（2）2．掌握y＝sinx，y＝cosx的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大?。?．會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間．學習重點：y＝sinx，y＝cosx的單調(diào)性與最值。學習難點：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間【學法指導】1．在研究正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)時，要充分借助正弦、余弦曲線，注意數(shù)形結(jié)合思想方法的運用．2．正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在定義域上都不是單調(diào)函數(shù)．研究正弦函數(shù)的變化趨勢時首先選取eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3,2)π))這一周期區(qū)間，然后推而廣之；研究余弦函數(shù)的變化趨勢時首先選取[－π，π]這一周期區(qū)間，然后根據(jù)周期推廣到整個定義域．3．研究形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)性時，注意A、ω的符號對函數(shù)單調(diào)性的影響以及整體換元思想方法的應用.一．知識導學正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)y＝sinxy＝cosx圖象定義域值域?qū)ΨQ性對稱軸：；對稱中心:對軸稱：；對稱中心:奇偶性周期性最小正周期：最小正周期：單調(diào)性在______________________上單調(diào)遞增；在_______________________上單調(diào)遞減在___________________上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減最值在_________________時，ymax＝1；在________________時，ymin＝－1在_______________時，ymax＝1；在__________________時，ymin＝－1二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點一】正、余弦函數(shù)的定義域、值域正弦曲線：余弦曲線：由正、余弦曲線很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R，值域都是．對于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R有：當且僅當x＝時，取得最大值1；當且僅當x＝時，取得最小值－1.對于余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R有：當且僅當x＝時，取得最大值1；當且僅當x＝時，取得最小值－1.【探究點二】正、余弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，且周期都是2π，首先研究它們在一個周期區(qū)間上函數(shù)值的變化情況，再推廣到整個定義域．(1)函數(shù)y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的圖象如圖所示：觀察圖象可知：當x∈__________時，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，sinx的值由－1增大到1；當x∈__________時，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，sinx的值由1減小到－1.推廣到整個定義域可得：當x∈___________________________時，正弦函數(shù)y＝sinx是增函數(shù)，函數(shù)值由－1增大到1；當x∈___________________________時，正弦函數(shù)y＝sinx是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到－1.(2)函數(shù)y＝cosx，x∈[－π，π]的圖象如圖所示：觀察圖象可知：當x∈__________時，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，cosx的值由－1增大到1；當x∈__________時，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，cosx的值由1減小到－1.推廣到整個定義域可得：當x∈___________________________時，正弦函數(shù)y＝cosx是增函數(shù)，函數(shù)值由－1增大到1；當x∈___________________________時，正弦函數(shù)y＝cosx是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到－1.【探究點三】函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A>0)的單調(diào)性確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)單調(diào)區(qū)間的方法是：當ω>0時，把ωx＋φ看成一個整體，視為X。若把ωx＋φ代入到y(tǒng)＝sinX的單調(diào)增區(qū)間，則得到2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，從中解出x的取值區(qū)間就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的增區(qū)間．若把ωx＋φ代入到y(tǒng)＝sinX的單調(diào)減區(qū)間，則得到2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，從中解出x的取值區(qū)間就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的減區(qū)間．當ω<0時，先利用誘導公式把x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后，再根據(jù)復合函數(shù)確定單調(diào)區(qū)間的原則(即同則增，異則減)求解．余弦函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間類似可求．請同學們根據(jù)上面介紹的方法，寫出求函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,3)))單調(diào)遞增區(qū)間的求法．例1．利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))與sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))；(2)sin196°與cos156°；(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))與coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)).小結(jié)用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小時，應先將異名化同名，把不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角用誘導公式轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性來比較大?。櫽柧?。比較下列各組數(shù)的大?。?1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π))與sineq\f(49,3)π；(2)cos870°與sin980°.例2．求函數(shù)y＝1＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))，x∈[－4π，4π]的單調(diào)減區(qū)間．小結(jié)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)單調(diào)區(qū)間的基本思想是整體換元思想，即將ωx＋φ視為一個整體．若x的系數(shù)為負，通常利用誘導公式化為正數(shù)再求解．有時還應兼顧函數(shù)的定義域．跟蹤訓練2。求函數(shù)y＝(cos2x)的單調(diào)遞增區(qū)間．例3．求函數(shù)y＝sin2x－sinx＋1，x∈R的值域．小結(jié)形如f(x)＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的函數(shù)值域問題，可以通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)g(t)＝at2＋bt＋c在閉區(qū)間[－1,1]上的最值問題．要注意，正、余弦函數(shù)值域的有界性，即當x∈R時，－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1對值域的影響．跟蹤訓練3。求函數(shù)y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值時的x的集合．三．鞏固訓練1．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的一個遞減區(qū)間是 ()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B.[－π，0]\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)π，\f(2,3)π)) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2,3)π))2．下列不等式中成立的是 ()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))B．sin3>sin2C．sineq\f(7,5)π>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)π))D．sin2>cos1四．小結(jié)1．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)單調(diào)區(qū)間的方法是：把ωx＋φ看成一個整體，由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間，由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)