高中數(shù)學(xué)人教A版第一章空間幾何體 單元質(zhì)量評估(一)

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評估(一)(第一章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)1.有一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體是一個()A.棱臺 B.棱錐 C.棱柱 D.都不對【解析】選A.從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，大小不一樣，可以判斷是棱臺.2.(2023·天水高一檢測)表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為()A.2155 B.155 【解析】選C.由題意得，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則πl(wèi)=2πr?l=2r，又該圓錐的側(cè)面積為S1=πrl=2πr2，底面積為S2=πr2，所以表面積為S=S1+S2=3πr2=3π?r=1，所以該圓錐的底面直徑為2.3.正方體內(nèi)切球與外接球體積之比為()∶3 ∶3 ∶33 ∶9【解析】選C.設(shè)正方體棱長為a，內(nèi)切球半徑為R1，外接球半徑為=a2，R2=32a，V內(nèi)∶V外=a23∶4.(2023·?？诟叨z測)已知正六棱柱的底面邊長和側(cè)棱長相等，體積為12cm3.其三視圖中的俯視圖(如圖所示)，則其側(cè)視圖的面積是()A.4cm2 3 D.4cm2【解析】選A.設(shè)正六棱柱的底面邊長是a，那么底面面積是S=323a2(cm2)，那么體積V=323a3=123(cm3)，所以a3=8，解得a=2，那么側(cè)視圖是矩形，矩形的高就是俯視圖的寬等于23cm，所以側(cè)視圖的面積是S=25.過棱柱不相鄰兩條側(cè)棱的截面是()A.矩形 B.正方形C.梯形 D.平行四邊形【解析】選D.因為棱柱的側(cè)棱平行且相等，故過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形.6.(2023·廣州高一檢測)三棱錐的高為3，側(cè)棱長均相等且為23，底面是等邊三角形，則這個三棱錐的體積為()A.274 B.94 C.2734【解析】選D.如圖所示三棱錐S-ABC，則高SH為3，側(cè)棱SA長為23，在Rt△SAH中，AH=SA2-SH2延長AH交BC于D，由題意知D為BC中點，H為△ABC重心，則AD=32因此底面三角形的邊長為3，所以該三棱錐的體積為V=13×34×32×3=7.若一個水平放置的圓柱的正視圖與其側(cè)面展開圖相似，則這個圓柱的側(cè)面積與全面積之比為()A.ππ+1 C.22π+1 【解析】選B.設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，所以2rh=h2πr，所以h=2rπ，所以S側(cè)=2πr×h=4πr2π，S全=4πr2π+2πr28.半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為()A.324πR3 B.38C.525πR3 D.58【解析】選A.依題意，得圓錐的底面周長為πR，母線長為R，則底面半徑為R2，高為32R，所以圓錐的體積為13×π×R22×39.一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，該四棱錐的側(cè)面積和體積分別是()5，8 5，8(5+1)，83 ，【解析】選B.因為四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，所以該四棱錐為正四棱錐，其正視圖為圖中的△PEF，如圖.由該四棱錐的正視圖可知四棱錐的底面邊長AB=2，高PO=2，則四棱錐的斜高PE=22+12=5.所以該四棱錐側(cè)面積S=4×12×2×5=4510.(2023·濟寧高一檢測)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB=AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1AA.2 B.22 【解析】選A.球心在平面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，所以∠BAC=90°，底面ABC外接圓的圓心N位于BC的中點，△A1B1C1的外心M在C1B1中點上.設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x，則在Rt△OMC1中，OM=x2，MC1=x2，OC1=R=1，所以x22+x22=1，即x=2，所以AB=AC=1，所以側(cè)面ABB1A11.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，點M為AB1的中點，點P為對角線AC1上的動點，則Q為底面ABCD上的動點(點P，Q可以重合)，A.22 B.32 C.3【解題指南】畫出圖形，利用折疊與展開法則形成同一個平面，轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小，轉(zhuǎn)化求解MP+PQ的最小值.【解析】選C.由題意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距離的最小值與MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距離最小，展開三角形ACC1與三角形AB1C1在同一個平面上，如圖，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=32可知MQ⊥AC時，MP+PQ的最小值，最小值為312.(2023·湖南高考)某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為材料利用率()A.89π B.C.42-13π【解析】選A.分析題意可知，問題等價于圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值，設(shè)長方體的長，寬，高分別為a，b，h，長方體上底面截圓錐的截面半徑為x，對角面截面圖如圖所示，則有x1=2-h所以長方體的體積為abh≤a2+b22h=(當(dāng)且僅當(dāng)x=2-2x即x=23所以利用率為162713二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2023·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是cm2,體積是cm3.【解析】幾何體為兩個相同長方體組合而成,長方體的長寬高分別為4,2,2,所以體積為2×(2×2×4)=32(cm3),由于兩個長方體重疊部分為一個邊長為2的正方形,所以表面積為2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=72(cm2).答案:723214.(2023·四川高考)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是.【解析】由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐,且底面積為S=12×23×1=3,高為1,所以該幾何體的體積V=13Sh=13×3答案:3【補償訓(xùn)練】如圖是一個正三棱柱的三視圖，若三棱柱的體積是83，則a=________.【解析】由題意知三棱柱的底面是一個正三角形，一條邊上的高是a，得到三棱柱的底面邊長是23所以底面面積是12×233a×a=3三棱柱的高為2，所以三棱柱的體積是33a2×2=83解得a=23.答案：23，B，C，D四點在半徑為522的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=41，AB=CD，則三棱錐D-ABC的體積是【解析】根據(jù)題意構(gòu)造長方體，其面上的對角線構(gòu)成三棱錐D-ABC，如圖所示，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則有a2+b2=25,答案：2016.一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，則這個幾何體的表面積是________.【解析】此幾何體是半個圓錐，直觀圖如圖所示，先求出圓錐的側(cè)面積S圓錐側(cè)=πrl=π×2×23=43π，S底=π×22=4π，S△SAB=12×4×22=42所以S表=43π2+L=2(1+3)π+42.答案：2(1+3)π+42三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)一個正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個正三棱柱的體積和表面積.【解析】由三視圖易知，該正三棱柱的形狀如圖所示：且AA′=BB′=CC′=2mm，正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高為23所以正三角形ABC的邊長為4mm.所以該三棱柱的表面積為S=3×4×2+2×12×4×2=24+83(mm2)，V=S底×AA′=12×4×23=83(mm3).【補償訓(xùn)練】如圖，已知幾何體的三視圖(單位：cm).(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法).(2)求這個幾何體的表面積及體積.【解析】(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示.(2)這個幾何體可看成是由正方體AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1由PA1=PD1=2，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S=5×22+2×2×2+2×12×(2)2=22+42(cm2所求幾何體的體積V=23+12×(2)2×2=10(cm318.(12分)(2023·刑臺高二檢測)已知A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，將四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.【解析】過C作y軸的垂線交y軸于E，則三角形DCE是直角三角形，四邊形ABCE是直角梯形，四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個圓錐和一個圓臺的組合體，易求得AB=1，BC=2，CE=2，AE=1，ED=2，DC=22，所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是S=π×12+π(1+2)×2+π×2×22=(72+1)π，體積為V=13×π×4×2+π19.(12分)(2023·保定高一檢測)已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.(1)求該幾何體的體積V.(2)求該幾何體的側(cè)面積S.【解析】(1)此幾何體是四棱錐，底面就是俯視圖的底面，高是正視圖的高，所以此四棱錐的體積是V=13(2)根據(jù)圖形，錐體的高，側(cè)面的高，還有射影構(gòu)成直角三角形，所以側(cè)面的高是h1=42+32=5，h2=42+42=42，所以側(cè)面積是S=20.(12分)如圖，BD是正方形ABCD的對角線，弧BD的圓心是A，半徑為AB，正方形ABCD以AB為軸旋轉(zhuǎn)，求圖中Ⅰ，Ⅱ，【解析】把圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分分別繞直線AB旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積記為VⅠ，VⅡ，VⅢ，并設(shè)正方形的邊長為a，因此，VⅠ=13πa2·a=13πaVⅡ=12·43πa3-V1=π3VⅢ=πa2·a-VⅠ-VⅡ=π3a3所以VⅠ∶VⅡ∶VⅢ=1∶1∶1.21.(12分)(2023·成都高一檢測)如圖所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，側(cè)面B′BCC′的面積是S，點A′到側(cè)面B′BCC′的距離是a，求證：三棱柱ABC-A′B′C′的體積V=12【證明】如圖所示，連接A′B，A′C，這樣就把三棱柱分割成了兩個棱錐.設(shè)所求體積為V，顯然三棱錐A′-ABC的體積是13V，而四棱錐A′-BCC′B′的體積為1故有13V+13Sa=V，所以V=22.(12分)(2023·上海高二檢測)如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘(圖1)穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等.鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結(jié)構(gòu)的配件，其截面圖如圖2.(單位：mm，加工中不計損失).(1)若釘身高度是釘帽高度的2倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e.(2)若每塊鋼板的厚度為12mm，求釘身的長度(結(jié)果精確到1mm).【解析】(1)設(shè)釘身的高為h，釘身的底面半徑為r，釘帽的底面半徑為R，由題意可知：圓柱的高h=2R=38mm，圓柱的側(cè)面積S1=