高中數(shù)學(xué)北師大版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第2章4二次函數(shù)的性質(zhì)

4．2二次函數(shù)的性質(zhì)1．理解二次函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性．(重點(diǎn))2．能利用配方法或圖像法掌握二次函數(shù)的重要性質(zhì)．(重點(diǎn))3．會(huì)求二次函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最大值與最小值．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質(zhì)閱讀教材P45～P47本節(jié)有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題.a的符號(hào)性質(zhì)a>0a<0圖像開口方向開口向上開口向下頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)x＝－eq\f(b,2a)單調(diào)區(qū)間在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減少的，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增加的在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增加的，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減少的最大值、最小值當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，函數(shù)取得最小值eq\f(4ac－b2,4a)；無最大值當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，函數(shù)取得最大值eq\f(4ac－b2,4a)；無最小值判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有最小值．()(2)二次函數(shù)y＝x2－2x＋2的對(duì)稱軸為x＝－1.()(3)二次函數(shù)y＝－x2＋4x－3在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)．()【答案】(1)×(2)×(3)×[小組合作型]二次函數(shù)的性質(zhì)已知函數(shù)y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.(1)求這個(gè)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝1，不計(jì)算函數(shù)值，求f(0)；(3)不直接計(jì)算函數(shù)值，試比較feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))的大小.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04100030】【精彩點(diǎn)撥】eq\x(fx＝3x2＋2x＋1)→eq\x(配方得頂點(diǎn)式)【嘗試解答】y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(2,3).(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))，對(duì)稱軸是直線x＝－eq\f(1,3).(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝1，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝eq\f(1,3)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝eq\f(1,3)，所以結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性可知f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝1.(3)由f(x)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(2,3)知二次函數(shù)圖像開口向上，且對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,3)，所以離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越?。謊q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＜eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4))).1．已知二次函數(shù)的解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，一般先用配方法把二次函數(shù)解析式寫成頂點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k，進(jìn)而確定頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－h(huán)，k)，對(duì)稱軸為x＝－h(huán).2．比較兩點(diǎn)函數(shù)值的大小，可以先比較兩點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離大小，然后結(jié)合二次函數(shù)的開口方向，從而得到它們的大小關(guān)系，也可以將要比較的兩個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大?。甗再練一題]1．已知二次函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax，分別在下列條件下求實(shí)數(shù)a的取值(范圍)．(1)f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)；(2)f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，2)．【解】∵函數(shù)f(x)＝－(x－a)2＋a2的圖像開口向下，對(duì)稱軸為x＝a，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a]．(1)由題意知(－∞，2)?(－∞，a]，∴a≥2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞)．(2)由題意知，對(duì)稱軸x＝a＝2，即實(shí)數(shù)a的取值為2.二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用某企業(yè)生產(chǎn)一種電器的固定成本(即固定投資)為萬元，每生產(chǎn)一臺(tái)這種電器還需可變成本(即另增加投資)25元，市場(chǎng)對(duì)這種電器的年需求量為5百臺(tái)．已知這種電器的銷售收入(R)與銷售量(t)的關(guān)系用拋物線段表示，如圖2-4-2.圖2-4-2(年產(chǎn)量與銷售量的單位：百臺(tái)；純收益的單位：萬元，生產(chǎn)成本＝固定成本＋可變成本，精確到1臺(tái)和萬元)(1)寫出如圖的銷售收入(R)與銷售量(t)之間的函數(shù)關(guān)系R＝f(t)；(2)認(rèn)定銷售收入減去生產(chǎn)成本為純收益，寫出純收益與去年生產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式，并求去年生產(chǎn)量是多少時(shí)純收益最大．【精彩點(diǎn)撥】解答本題可先由圖求出銷售收入與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系式，即R＝f(t)，然后建立純收益與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出純收益的最大值．【嘗試解答】(1)由圖可知：R＝a(t－5)2＋eq\f(25,2)，由t＝0時(shí)，R＝0得a＝－eq\f(1,2).∴R＝－eq\f(1,2)(t－5)2＋eq\f(25,2)(0≤t≤5)．(2)年純收益y＝－eq\f(1,2)t2＋5t－－eq\f(1,4)t＝－eq\f(1,2)t2＋eq\f(19,4)t－，故t＝eq\f(19,4)＝時(shí)，y取得最大值為萬元．故年產(chǎn)量為475臺(tái)，純收益取得最大值為萬元．求解實(shí)際問題“四部曲”：讀題：分為讀懂和深刻理解兩個(gè)層次，把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系目標(biāo)與條件的關(guān)系.2建模：把問題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，建立函數(shù)解析式，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成函數(shù)問題.3求解：選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解函數(shù).4評(píng)價(jià)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以改正，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，做出解釋或預(yù)測(cè).也可認(rèn)為分成“設(shè)元——列式——求解——作答”四個(gè)步驟.[再練一題]2．某工廠以x千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元，若生產(chǎn)該產(chǎn)品900千克，求該工廠獲得的最大利潤(rùn)，以及此時(shí)的生產(chǎn)速度是多少？【解】設(shè)利潤(rùn)為y元，則y＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))·eq\f(900,x)＝9×104eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))＝9×104eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋\f(61,12)))，∴當(dāng)x＝6時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為×105元．∴該工廠獲得的最大利潤(rùn)為×105元，此時(shí)的生產(chǎn)速度為6千克/小時(shí)．[探究共研型]二次函數(shù)的值域(最值)探究1求二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在[－2,0]上的最值．【提示】由f(x)＝(x－1)2＋2知拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x＝1，∴f(x)在[－2,0]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有最大值f(－2)＝11；當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝3.探究2求探究1中函數(shù)f(x)在[－2,3]上的最值．【提示】當(dāng)x∈[－2,3]時(shí)，f(x)在[－2,3]上是先減后增的，故當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有最小值f(1)＝2，又|－2－1|＞|3－1|，∴f(x)的最大值為f(－2)＝11.求探究1中函數(shù)f(x)在[t，t＋1]的最小值g(t)．【精彩點(diǎn)撥】可分析x＝1與區(qū)間[t，t＋1]的關(guān)系，就x＝1是否落在區(qū)間[t，t＋1]內(nèi)展開討論．【嘗試解答】①當(dāng)t＞1時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝t時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上先減后增，故當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(1)＝2.③當(dāng)t＋1＜1，即t＜0時(shí)，f(t)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝t＋1時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2.綜上得g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t＋3，t＞1，,2，0≤t≤1，,t2＋2，t＜0.))求二次函數(shù)fx＝ax2＋bx＋ca＞0在[m，n]上的最值的步驟：1配方，找對(duì)稱軸.2判斷對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系.3求最值.若對(duì)稱軸在區(qū)間外，則fx在[m，n]上單調(diào)，利用單調(diào)性求最值；若對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，則在對(duì)稱軸取得最小值，最大值在[m，n]端點(diǎn)處取得.[再練一題]3．求探究1中函數(shù)f(x)在[t，t＋1]上的最大值h(t)．【解】①當(dāng)t＞1時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝t＋1時(shí)，f(x)取得最大值f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2.②當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≤1≤t＋1，,1－t≤t＋1－1，))即eq\f(1,2)≤t≤1時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上先減后增，且對(duì)稱軸更靠近于端點(diǎn)t，此時(shí)當(dāng)x＝t＋1時(shí)，f(x)取得最大值f(t＋1)＝t2＋2.③當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≤1≤t＋1，,1－t＞t＋1－1，))即0≤t＜eq\f(1,2)時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上先減后增，且對(duì)稱軸更靠近于端點(diǎn)t＋1，此時(shí)當(dāng)x＝t時(shí)，f(x)取得最大值f(t)＝t2－2t＋3.④當(dāng)t＋1＜1，即t＜0時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝t時(shí)，f(x)取得最大值f(t)＝t2－2t＋3.綜上，h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋2，t≥\f(1,2)，,t2－2t＋3，t＜\f(1,2).))1.函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1【解析】函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(m,2)，且只有一條對(duì)稱軸，所以－eq\f(m,2)＝1，即m＝－2.【答案】A2.下列區(qū)間中，使函數(shù)y＝－2x2＋x為增函數(shù)的是()A．R B．[2，＋∞)\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))【解析】函數(shù)y＝－2x2＋x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋eq\f(1,8)的對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(1,4)，圖像開口向下，所以函數(shù)值在對(duì)稱軸x＝eq\f(1,4)的左邊是增加的．【答案】D3．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，滿足a＋b＋c＝0，則其圖像一定過點(diǎn)________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04100031】【解析】∵a＋b＋c＝0，∴f(1)＝0，∴二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)(1,0)．【答案】(1,0)4．拋物線y＝2x2－x－1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________．【解析】∵y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2－eq\f(9,8)，∴拋物線的頂點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－\f(9,8))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)