高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章空間向量與立體幾何第3章4

3．空間的角的計(jì)算[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題.2.體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用．[知識(shí)鏈接]1．怎樣求兩條異面直線(xiàn)所成的角？答：(1)平移法：即通過(guò)平移其中一條(也可兩條同時(shí)平移)，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)，然后通過(guò)解三角形獲解．(2)向量法：設(shè)a、b分別為異面直線(xiàn)l1、l2上的方向向量，θ為異面直線(xiàn)所成的角，則異面直線(xiàn)所成角公式cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).2．如何用平面的法向量表示二面角？答：設(shè)n1、n2是二面角αlβ的兩個(gè)面α，β的法向量，則向量n1與向量n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角的大?。甗預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．兩條異面直線(xiàn)所成的角(1)定義：設(shè)a、b是兩條異面直線(xiàn)，過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角．(2)范圍：兩條異面直線(xiàn)所成角θ的取值范圍是0<θ≤eq\f(π,2).(3)向量求法：設(shè)直線(xiàn)a，b的方向向量為a，b，其夾角為φ，則a，b所成角的余弦值為cosθ＝|cosφ|＝eq\f(|a·b|,|a|·|b|).2．直線(xiàn)與平面所成的角(1)定義：直線(xiàn)和平面所成的角，是指直線(xiàn)與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角．(2)范圍：直線(xiàn)和平面所成角θ的取值范圍是0≤θ≤eq\f(π,2).(3)向量求法：設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線(xiàn)與平面所成的角為θ，a與u的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|＝eq\f(|a·u|,|a|·|u|)或cosθ＝sinφ.3．二面角(1)二面角的取值范圍：[0，π]．(2)二面角的向量求法：①若AB，CD分別是二面角αlβ的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線(xiàn)(垂足分別為A，C)，如圖，則二面角的大小就是向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角．②設(shè)n1、n2是二面角αlβ的兩個(gè)面α，β的法向量，則向量n1與向量n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角的大小.要點(diǎn)一求兩條異面直線(xiàn)所成的角例1如圖所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝eq\r(3)，求異面直線(xiàn)A1B與AO1所成角的余弦值的大小．解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，O1(0,1，eq\r(3))，A(eq\r(3)，0,0)，A1(eq\r(3)，1，eq\r(3))，B(0,2,0)，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1，－eq\r(3))，eq\o(O1A,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1，－eq\r(3))．∴|cos〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(O1A,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(A1B,\s\up6(→))·\o(O1A,\s\up6(→))|,|\o(A1B,\s\up6(→))|·|\o(O1A,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－\r(3)，1，－\r(3)·\r(3)，－1，－\r(3)|,\r(7)·\r(7))＝eq\f(1,7).∴異面直線(xiàn)A1B與AO1所成角的余弦值為eq\f(1,7).規(guī)律方法建立空間直角坐標(biāo)系要充分利用題目中的垂直關(guān)系；利用向量法求兩異面直線(xiàn)所成角計(jì)算思路簡(jiǎn)便，要注意角的范圍．跟蹤演練1正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)AE與CF所成角的余弦值．解不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，分別取DA、DC、DD1所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1，0,2)、F(1,1,2)，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1，－1,2)∴|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝eq\r(6).eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1＋0＋4＝3.又eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝|eq\o(AE,\s\up6(→))||eq\o(CF,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))〉＝eq\r(30)cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))〉，∴cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(30),10)，∴異面直線(xiàn)AE與CF所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).要點(diǎn)二求直線(xiàn)和平面所成的角例2已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)a，M為A1B1的中點(diǎn)，求BC1與平面AMC1所成角的正弦值．解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，M(0，eq\f(a,2)，eq\r(2)a)，C1(－eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，eq\r(2)a)，B(0，a,0)，故eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，eq\r(2)a)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(0，eq\f(a,2)，eq\r(2)a)．設(shè)平面AMC1的法向量為n＝(x，y，z)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AC1,\s\up6(→))·n＝0，,\o(AM,\s\up6(→))·n＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)ax＋\f(a,2)y＋\r(2)az＝0，,\f(a,2)y＋\r(2)az＝0，))令y＝2，則z＝－eq\f(\r(2),2)，x＝0.∴n＝(0,2，－eq\f(\r(2),2))．又eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)a，－eq\f(a,2)，eq\r(2)a)，∴cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·n,|\o(BC1,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(－a－a,\r(3)a×\r(\f(9,2)))＝－eq\f(2\r(6),9).設(shè)BC1與平面AMC1所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(2\r(6),9).規(guī)律方法借助于向量求線(xiàn)面角關(guān)鍵在于確定直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夾角與線(xiàn)面角的區(qū)別和聯(lián)系．

跟蹤演練2如圖所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直線(xiàn)SC與底面ABCD的夾角θ的余弦值．解由題設(shè)條件知，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD、AB、AS所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)．設(shè)AB＝1，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，S(0,0,1)．∴eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(CS,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)．顯然eq\o(AS,\s\up6(→))是底面的法向量，它與已知向量eq\o(CS,\s\up6(→))的夾角β＝eq\f(π,2)－θ，故有sinθ＝cosβ＝eq\f(\o(AS,\s\up6(→))·\o(CS,\s\up6(→)),|\o(AS,\s\up6(→))||\o(CS,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,1×\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∵θ∈[0，eq\f(π,2)]．∴cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(\r(6),3).要點(diǎn)三求二面角例3在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A1－BD－C1的余弦值．解不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，取BD的中點(diǎn)E，連結(jié)A1E，C1E.因?yàn)椤鱀BA1和△BDC1都是正三角形，所以A1E⊥BD，C1E⊥BD，故∠A1EC1是二面角A1－BD－C1的平面角，也就是eq\o(EA1,\s\up6(→))與eq\o(EC1,\s\up6(→))的夾角．又E(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，可得eq\o(EA1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，1)，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)．EA1＝eq\r(\f(1,4)＋\f(1,4)＋1)＝eq\f(\r(6),2)，EC1＝eq\r(\f(1,4)＋\f(1,4)＋1)＝eq\f(\r(6),2)，eq\o(EA1,\s\up6(→))·eq\o(EC1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)－eq\f(1,4)＋1＝eq\f(1,2).cos〈eq\o(EA1,\s\up6(→))，eq\o(EC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(6),2)·\f(\r(6),2))＝eq\f(1,3).即二面角A1－BD－C1的余弦值為eq\f(1,3).規(guī)律方法(1)當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時(shí)，用向量法求解二面角無(wú)需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可求出，有時(shí)不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小(相等或互補(bǔ))，但我們可以根據(jù)圖形觀(guān)察得到結(jié)論，因?yàn)槎娼鞘氢g二面角還是銳二面角一般是明顯的．(2)注意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角．跟蹤演練3如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)，求二面角AA1DB的余弦值．解如圖所示，取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO.因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AO⊥BC，因?yàn)樵谡庵鵄BCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中點(diǎn)為O1，以O(shè)為原點(diǎn)，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OO1,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，eq\r(3))，A(0,0，eq\r(3))，B1(1,2,0)．設(shè)平面A1AD的法向量為n＝(x，y，z)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,1，－eq\r(3))，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,2,0)．因?yàn)閚⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AA1,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AA1,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－\r(3)z＝0，,2y＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＝－\r(3)z.))令z＝1，得n＝(－eq\r(3)，0,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量．又因?yàn)閑q\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,2，－eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,1,0)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－1,2，eq\r(3))，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－2＋2＋0＝0，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BA1,\s\up6(→))＝－1＋4－3＝0，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(BA1,\s\up6(→))，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，又BD∩BA1＝B，所以AB1⊥平面A1BD，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))是平面A1BD的一個(gè)法向量，所以cos〈n，eq\o(AB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(AB1,\s\up6(→)),|n||\o(AB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\r(3)－\r(3),2·2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，所以二面角AA1DB的余弦值為eq\f(\r(6),4).1．已知向量m，n分別是直線(xiàn)l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，則l與α所成的角為_(kāi)_______．答案30°解析設(shè)l與α所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(1,2).∴θ＝30°.2．正方體ABCDA1B1C1D1中，直線(xiàn)BC1與平面A1BD所成角的正弦值為_(kāi)_______．答案eq\f(\r(6),3)解析建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)．∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1B,\s\up6(→))＝1－1＝0，eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝1－1＝0.∴AC1⊥平面A1BD.∴eq\o(AC1,\s\up6(→))是平面A1BD的一個(gè)法向量．∴cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AC1,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(AC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1＋1,\r(2)×\r(3))＝eq\f(\r(6),3).∴直線(xiàn)BC1與平面A1BD所成角的正弦值為eq\f(\r(6),3).3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與C1B所成角的大小為_(kāi)_______．答案90°解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB1＝1，則A(0,0,1)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)，0))，C1(0，eq\r(2)，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)，1)).∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)，－1))，eq\o(C1B,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，－\f(\r(2),2)，1))，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(C1B,\s\up6(→))＝eq\f(6,4)－eq\f(2,4)－1＝0，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(C1B,\s\up6(→)).即AB1與C1B所成角的大小為90°.4.如圖，在三棱錐VABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)A、B、V分別在x、y、z軸上，D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，求異面直線(xiàn)AC與VD所成角的余弦值．解由于A(yíng)C＝BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，在Rt△VCD中，CD＝eq\r(2)，故V(0,0，eq\r(6))．所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，eq\o(VD,\s\up6(→))＝(1,1，－eq\r(6))．所以cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(VD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(VD,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(VD,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,2·2\r(2))＝－eq\f(\r(2),4).所以異面直線(xiàn)AC與VD所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的關(guān)系．首先要找出并利用空間直角坐標(biāo)系或基向量(有明顯的線(xiàn)面垂直關(guān)系時(shí)盡量建系)表示出向量；其次理清要求角和兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．若直線(xiàn)l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150°，則直線(xiàn)l與平面α所成的角等于________．答案60°解析直線(xiàn)l與平面α所成的角范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0°，90°)).2．直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別是v1，v2，若v1與v2所成的角為θ，直線(xiàn)l1，l2所成的角為α，則下列說(shuō)法正確的是________．①α＝θ②α＝π－θ③cosθ＝|cosα|④cosα＝|cosθ|答案④解析α＝θ或α＝π－θ，且α∈[0，eq\f(π,2)],因而cosα＝|cosθ|.3．已知向量m，n分別是直線(xiàn)l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，則l與α所成的角為_(kāi)_______．答案30°解析∵cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，∴sinα＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(1,2).又∵直線(xiàn)與平面所成角α滿(mǎn)足0°≤α≤90°，∴α＝30°.4．已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為_(kāi)_______．答案eq\f(2,7)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,3)．設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)．由n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＝0，,－x＋3z＝0.))令x＝2，則y＝1，z＝eq\f(2,3).∴平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(2,1，eq\f(2,3))．平面xOy的一個(gè)法向量為eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,3)．由此易求出所求二面角的余弦值為cosθ＝eq\f(n·\o(OC,\s\up6(→)),|n|·|\o(OC,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3×\f(7,3))＝eq\f(2,7).5．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成角是________．答案30°解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1)，C(1，eq\r(2)，0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(2)，－1)，平面ABCD的一個(gè)法向量為n＝(0,0,1)，所以cos〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(PC,\s\up6(→))·n,|\o(PC,\s\up6(→))|·|n|)＝－eq\f(1,2)，因?yàn)椤磂q\o(PC,\s\up6(→))，n〉∈[0°，180°]．所以〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉＝120°，所以斜線(xiàn)PC與平面ABCD的法向量所在直線(xiàn)所成角為60°，所以斜線(xiàn)PC與平面ABCD所成角為30°.6．二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于A(yíng)B.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，則該二面角的大小為_(kāi)_______．答案60°解析由條件，知eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)).∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝(2eq\r(17))2.∴cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝－eq\f(1,2)，∵〈eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))〉∈[0°，180°]，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°，∴二面角的大小為60°.7．如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線(xiàn)AC＝2，BD＝eq\r(2).CF與平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角BAFD的大?。膺^(guò)點(diǎn)A作AE⊥平面ABCD.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)．于是Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1，0))，F(xiàn)(0,2,2)．設(shè)平面ABF的法向量n1＝(x，y，z)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AF,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)x＋y＝0，,2y＋2z＝0.))令z＝1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(2)，,y＝－1.))所以n1＝(－eq\r(2)，－1,1)．同理，可求得平面ADF的法向量n2＝(eq\r(2)，－1,1)．由n1·n2＝0知，平面ABF與平面ADF垂直，所以二面角BAFD的大小等于eq\f(π,2).二、能力提升8．已知正四棱錐S－ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE、SD所成角的余弦值為_(kāi)_______．答案eq\f(\r(3),3)解析令正四棱錐的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，eq\r(2))，E(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，eq\f(\r(2),2))，eq\o(SD,\s\up6(→))＝(－1，－1，－eq\r(2))，∴cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(SD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(SD,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))||\o(SD,\s\up6(→))|)＝－eq\f(\r(3),3).∴AE、SD所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3).9．若兩個(gè)平面α，β的法向量分別是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．則這兩個(gè)平面所成的銳二面角是________．答案60°解析∵cos〈n，ν〉＝eq\f(－1,\r(2)·\r(2))＝－eq\f(1,2).〈n，v〉∈[0°，180°]，∴〈n，ν〉＝120°.故兩平面所成的銳二面角為60°.10．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值為_(kāi)_______．答案0解析eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OC,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)－|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))|(|eq\o(OC,\s\up6(→))|－|eq\o(OB,\s\up6(→))|)＝0.∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝0.11．如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF＝AB＝BC＝FE＝eq\f(1,2)AD.(1)求異面直線(xiàn)BF與DE所成角的大??；(2)證明平面AMD⊥平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值．(1)解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)AB＝1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M(eq\f(1,2)，1，eq\f(1,2))．eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，于是cos〈eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BF,\s\up6(→))·\o(DE,\s\up6(→)),|\o(BF,\s\up6(→))||\o(DE,\s\up6(→))|)＝eq\f(0＋0＋1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).因?yàn)椤磂q\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))〉∈[0°，90°]，所以異面直線(xiàn)BF與DE所成角的大小為60°.(2)證明由eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，1，eq\f(1,2))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2,0)，可得eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.而CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.(3)解設(shè)平面CDE的法向量為u＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(u·\o(CE,\s\up6(→))＝0，,u·\o(DE,\s\up6(→))＝0.))于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,－y＋z＝0.))令x＝1，可得u＝(1,1,1)．又由題設(shè)，平面ACD的一個(gè)法向量為v＝(0,0,1)．所以，cos〈u，v〉＝eq\f(u·v,|u||v|)＝eq\f(0＋0＋1,\r(3)×1)＝eq\f(\r(3),3).因?yàn)槎娼茿CDE為銳角，所以其余弦值為eq\f(\r(3),3).12.如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDA′B′C′D′的對(duì)角線(xiàn)BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP與CC′所成角的大?。?2)求DP與平面AA′D′D所成角的大?。馊鐖D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.則eq\o(DA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝(0,0,1)．連結(jié)BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延長(zhǎng)DP交B′D′于H.設(shè)eq\o(DH,\s\up6(→))＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈eq\o(DH,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))〉＝60°，由eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DH,\s\up6(→))＝|eq\o(DA,\s\up6(→))||eq\o(DH,\s\up6(→))|cos〈eq\o(DH,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))〉，可得2m＝eq\r(2m2＋1).解得m＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\o(DH,\s\up6(→))＝eq\