高中數(shù)學高考二輪復習 3

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本問題一、選擇題1.(2023·焦作模擬)在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，則a5的值為() 解析設數(shù)列{an}的公差為d，∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10，∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10，∴5a5＝10，∴a5＝2.答案A2.(2023·廣州模擬)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2S4＝S5＋S6，則數(shù)列{an}的公比q的值為()A.－2或1 B.－1或2 C.－2 解析法一若q＝1，則S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，顯然不滿足2S4＝S5＋S6，故A、D錯.若q＝－1，則S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，不滿足條件，故B錯，因此選C.法二經(jīng)檢驗q＝1不適合，則由2S4＝S5＋S6，得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化簡得q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.答案C3.已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為()A.－110 B.－90 解析∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3與a9的等比中項，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋eq\f(1,2)×10×9×(－2)＝110.答案D4.(2023·新課標全國Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn等于()(n＋1) (n－1)\f(n（n＋1）,2) \f(n（n－1）,2)解析由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得aeq\o\al(2,4)＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).答案A5.(2023·福建卷)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于() 解析由題意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2這三個數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有：a，－2，b；b，－2，a.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝4，,2b＝a－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝4，,2a＝b－2))解之得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4.))∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故選D.答案D二、填空題6.(2023·陽泉模擬)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大.解析根據(jù)題意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴當n＝8時，{an}的前n項和最大.答案87.在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，則a9＋a11＋a13＋a15＝________.解析設等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝8，,a1q4＋a1q6＝4，))解得q4＝eq\f(1,2).又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝2，a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.答案38.(2023·安徽卷)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和等于________.解析由等比數(shù)列性質知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1a4＝8，,a1＋a4＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a4＝8))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,a4＝1，))又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1＝1，a4＝8，從而a1q3＝8，∴q＝2.∴數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.答案2n－1三、解答題9.已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.解(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(12－3,3)＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…).設等比數(shù)列{bn－an}的公比為q，由題意得q3＝eq\f(b4－a4,b1－a1)＝eq\f(20－12,4－3)＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.從而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…).(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…).數(shù)列{3n}的前n項和為eq\f(3,2)n(n＋1)，數(shù)列{2n－1}的前n項和為eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.所以數(shù)列{bn}的前n項和為eq\f(3,2)n(n＋1)＋2n－1.10.(2023·洛陽模擬)成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(5,4)))是等比數(shù)列.(1)解設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a－d，a，a＋d.依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15.解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次為7－d，10，18＋d.依題意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去).故{bn}的第3項為5，公比為2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝eq\f(5,4).所以bn＝b1·qn－1＝eq\f(5,4)·2n－1＝5·2n－3，即數(shù)列{bn}的通項公式bn＝5·2n－3.(2)證明由(1)得數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝eq\f(\f(5,4)（1－2n）,1－2)＝5·2n－2－eq\f(5,4)，即Sn＋eq\f(5,4)＝5·2n－2.所以S1＋eq\f(5,4)＝eq\f(5,2)，eq\f(Sn＋1＋\f(5,4),Sn＋\f(5,4))＝eq\f(5·2n－1,5·2n－2)＝2.因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(5,4)))是以eq\f(5,2)為首項，2為公比的等比數(shù)列.11.已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn；(2)求數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項，記{bn}的前n項和為Tn，若存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有Sn＜Tm＋λ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.解(1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，∴an＝5－n，從而Sn＝eq\f(n（9－n）,2).(2)由題意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，設等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(1,2)，∴Tm＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(m))),1－\f(1,2))＝8eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(m)))，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)隨m增加而遞減，∴{Tm}為遞增數(shù)列，得4≤Tm＜8.又Sn＝eq\f(n（9－n）,2