高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語(yǔ)命題及其關(guān)系 模塊綜合評(píng)價(jià)(一)

模塊綜合評(píng)價(jià)(一)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的)1．如圖所示，從A地到B地要經(jīng)過(guò)C地和D地，從A地到C地有3條路，從C地到D地有2條路，從D地到B地有4條路，則從A地到B地不同走法的種數(shù)是()A．9B．24C．3D．解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同走法的種數(shù)是3×2×4＝24.答案：B2．某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是()\o(y,\s\up12(^))＝－10x＋200 \o(y,\s\up12(^))＝10x＋200\o(y,\s\up12(^))＝－10x－200 \o(y,\s\up12(^))＝10x－200解析：由于銷售量y與銷售價(jià)格x負(fù)相關(guān)，故排除B，D.又當(dāng)x＝10時(shí)，A中的y＝100，而C中y＝－300，故C不符合題意．答案：A3．從3名男生和3名女生中，選出3名分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的課代表，要求至少有1名女生，則選派方案共有()A．19種 B．54種C．114種 D．120種解析：選出的3名中全是男生的選法有Aeq\o\al(3,3)種，從6人中選出3人有Aeq\o\al(3,6)選法，所以至少有1名女生的選派方案有Aeq\o\al(3,6)－Aeq\o\al(3,3)＝120－6＝114(種)．答案：C4．下面是調(diào)查某地區(qū)男、女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，從圖可以看出()A．性別與喜歡理科無(wú)關(guān)B．女生中喜歡理科的比例約為80%C．男生比女生喜歡理科的可能性大些D．男生中不喜歡理科的比例約為60%解析：由圖可知，女生中喜歡理科的比例約為20%，男生中喜歡理科的比例約為60%，因此男生比女生喜歡理科的可能性大些．答案：C5．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開式中含eq\r(x)項(xiàng)的系數(shù)為()A．－240 B．－270C．240 D．270解析：由題意知，不妨令x＝1，則(3－1)n＝32，解得n＝5.展開通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(3eq\r(x))5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)＝(－1)r·Ceq\o\al(r,5)35－r·xeq\f(5,2)－r，當(dāng)r＝2時(shí)，T3＝(－1)2·Ceq\o\al(2,5)33·xeq\s\up12(\f(1,2))＝270eq\r(x)，所以展開式中含eq\r(x)項(xiàng)的系數(shù)為270.答案：D6．ξ，η為隨機(jī)變量，且η＝aξ＋b，若E(ξ)＝，E(η)＝，則a，b可能的值為()A．2， B．1，4C．， D．，解析：由E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1.6a＋b＝，把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有A答案：A7．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ＝－1，0，1，對(duì)應(yīng)P＝eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，且設(shè)η＝2ξ＋1，則η的期望為()A．－eq\f(1,6)\f(2,3)\f(29,36)D．1解析：E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，所以E(μ)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝eq\f(2,3).答案：B8．某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示，則成績(jī)X位于區(qū)間(52，68]的人數(shù)大約是()A．997B．954C．682D．341解析：由題圖知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，所以P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(52＜X≤68)＝6.所以人數(shù)為6×1000≈682.答案：C9．隨機(jī)變量ξ的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，其中a為常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)＜X＜\f(13,4)))＝()\f(2,3)\f(3,4)\f(4,5)\f(5,16)解析：因?yàn)镻(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，所以eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，所以a＝eq\f(5,4).所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)＜X＜\f(13,4)))＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,12)＝eq\f(5,16).答案：D10．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)72名不同性別的大學(xué)生在購(gòu)買食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明，得到如下列聯(lián)表：分類女男總計(jì)讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明162844不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明20828總計(jì)363672請(qǐng)問(wèn)性別和讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)系的程度為()A．99%的可能性B．%的可能性C．%的可能性D．%的可能性解析：由題意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72.代入公式K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得K2＝eq\f(72×（16×8－28×20）2,44×28×36×36)≈.由于K2≈＞，我們就有%的把握認(rèn)為性別和讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)系，即性別和讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有%的可能是有關(guān)系的．答案：C11．某日A，B兩個(gè)沿海城市受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率相同，已知A市或B市至少有一個(gè)受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率為，若用X表示這一天受臺(tái)風(fēng)襲擊的城市個(gè)數(shù)，則E(X)＝()A．B．0.2C．D．解析：設(shè)A，B兩市受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率均為p，則A市或B市都不受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率為(1－p)2＝1－，解得p＝或p＝(舍去)．法一P(X＝0)＝1－＝，P(X＝2)＝×＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二X～B(2，，E(X)＝np＝2×＝.答案：D12．假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；2個(gè)引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可成功飛行．要使4個(gè)引擎飛機(jī)更安全，則p的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析：4個(gè)引擎飛機(jī)成功飛行的概率為Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4，2個(gè)引擎飛機(jī)成功飛行的概率為p2，要使Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4＞p2，必有eq\f(1,3)＜p＜1.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．抽樣調(diào)查表明，某校高三學(xué)生成績(jī)(總分750分)X近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?00分．已知P(400＜X＜450)＝，則P(550＜X＜600)＝________．解析：由下圖可以看出P(550＜X＜600)＝P(400＜X＜450)＝.答案：14．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Pxy已知ξ的期望E(ξ)＝，則y的值為________．解析：由表格可知：x＋＋＋y＝1，7x＋8×＋9×＋10×y＝，聯(lián)合解得y＝.答案：15．(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a＝________．解析：由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，故(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系數(shù)之和為4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得答案：316．某射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到第一次命中為止，每次射擊的命中率為，現(xiàn)共有子彈4顆，命中后剩余子彈數(shù)目的數(shù)學(xué)期望是________．解析：設(shè)ξ為命中后剩余子彈數(shù)目，則P(ξ＝3)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝1)＝××＝，E(ξ)＝3×＋2×＋＝.答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知(1＋3x)n的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121.求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．解：由題意知：Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n－2,n)＝121，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝121.所以1＋n＋eq\f(n（n－1）,2)＝121，即n2＋n－240＝0.解得n＝－16(舍去)或n＝15.所以在(1＋3x)15展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第八、第九兩項(xiàng)，即T8＝Ceq\o\al(7,15)(3x)7＝Ceq\o\al(7,15)·37x7，T9＝Ceq\o\al(8,15)(3x)8＝Ceq\o\al(8,15)·38x8.18．(本大題滿分12分)五位師傅和五名徒弟站一排．(1)五名徒弟必須排在一起共有多少種排法？(2)五名徒弟不能相鄰共有多少種排法？(3)師傅和徒弟相間共有多少種排法？解：(1)先將五名徒弟看作一人與五位師傅排列有Aeq\o\al(6,6)種排法，五名徒弟在內(nèi)部全排列有Aeq\o\al(5,5)種，據(jù)乘法原理排法共有Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(5,5)＝86400(種)．(2)先將五位師傅全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法，再將五名徒弟排在五位師傅產(chǎn)生的六個(gè)空位上有Aeq\o\al(5,6)種排法，據(jù)乘法原則，排法共計(jì)Aeq\o\al(5,6)Aeq\o\al(5,5)＝86400(種)．(3)先將五位師傅排列有Aeq\o\al(5,5)種排法，再將五名徒弟排在五位師傅產(chǎn)生的六個(gè)空位中前五位或后五位上有2Aeq\o\al(5,5)種排法，據(jù)乘法原理排法共有2Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(5,5)＝28800(種)．19．(本小題滿分12分)(2023·福建卷)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試．若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定．(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則P(A)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).(2)依題意得，X所有可能的取值是1，2，3，又P(X＝1)＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,6)，P(X＝3)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×1＝eq\f(2,3).所以X的分布列為：X123Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(2,3)所以E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(5,2).20．(本小題滿分12分)一臺(tái)機(jī)器使用時(shí)間較長(zhǎng)，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺陷，每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果：轉(zhuǎn)速x/(轉(zhuǎn)·秒－1)1614128每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)y/件11985(1)已知y與x有線性相關(guān)關(guān)系，寫出線性回歸方程；(2)若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個(gè)，那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度需控制在什么范圍內(nèi)？解：(1)eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝，所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝6x－5.(2)由eq\o(y,\s\up12(^))＝6x－5≤10，得x≤9.所以機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在9轉(zhuǎn)/秒以下．21．(本小題滿分12分)為了研究“教學(xué)方式”對(duì)教學(xué)質(zhì)量的影響，某高中老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對(duì)入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)高一新班進(jìn)行教學(xué)(勤奮程度和自覺性都一樣)．以下莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)．(1)現(xiàn)從甲班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求成績(jī)?yōu)?7分的同學(xué)至少有一名被抽中的概率；(2)學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于75分的為優(yōu)秀．請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”．分類甲班乙班合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)下面臨界值表供參考：P(K2≥k)Keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考公式：K2＝\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)))解：(1)甲班成績(jī)?yōu)?7分的同學(xué)有2個(gè)，其他不低于80分的同學(xué)有3個(gè)“從甲班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)”的一切可能結(jié)果組成的基本事件有Ceq\o\al(2,5)＝10(個(gè))，“抽到至少有一個(gè)87分的同學(xué)”所組成的基本事件有Ceq\o\a