高中數(shù)學(xué)北師大版2第三章推理與證明綜合法與分析法 第3章3綜合法

§3綜合法與分析法3．1綜合法1．了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)．(重點(diǎn))2．會(huì)用綜合法證明數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理綜合法閱讀教材P60～P61“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．1．綜合法的定義從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明，這種思維方法稱為綜合法．2．綜合法證明的思維過程用P表示已知條件、已知的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法的思維過程可用框圖3-3-1表示為：eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)圖3-3-1判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法．()(2)綜合法證明的依據(jù)是三段論．()(3)綜合法的推理過程實(shí)際上是尋找它的必要條件．()【解析】(1)正確．由綜合法的定義可知該說(shuō)法正確．(2)正確．綜合法的邏輯依據(jù)是三段論．(3)正確．綜合法從“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理實(shí)際上是尋找它的必要條件．【答案】(1)√(2)√(3)√[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小組合作型]用綜合法證明三角問題在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC(1)求證：A的大小為60°；(2)若sinB＋sinC＝eq\r(3).證明：△ABC為等邊三角形．【精彩點(diǎn)撥】(1)利用正弦定理將角與邊互化，然后利用余弦定理求A.(2)結(jié)合(1)中A的大小利用三角恒等變形證明A＝B＝C＝60°.【自主解答】(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)·sinC得2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)即bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，所以A＝60°.(2)由A＋B＋C＝180°，得B＋C＝120°，由sinB＋sinC＝eq\r(3)，得sinB＋sin(120°－B)＝eq\r(3)，sinB＋(sin120°cosB－cos120°sinB)＝eq\r(3)，eq\f(3,2)sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB＝eq\r(3)，即sin(B＋30°)＝1.因?yàn)?°<B<120°，所以30°<B＋30°<150°，所以B＋30°＝90°，即B＝60°，所以A＝B＝C＝60°，即△ABC為等邊三角形．證明三角等式的主要依據(jù)：(1)三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系式．(2)和、差、倍角的三角函數(shù)公式．(3)三角形中的三角函數(shù)及三角形內(nèi)角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式．[再練一題]1．求證：3－2cos2α＝eq\f(3tan2α＋1,tan2α＋1).【證明】原式右邊＝eq\f(3tan2α＋1,tan2α＋1)＝1＋eq\f(\f(2sin2α,cos2α),\f(sin2α,cos2α)＋1)＝1＋2sin2α＝1＋2(1－cos2α)＝3－2cos2α＝左邊．所以原式成立．用綜合法證明幾何問題如圖3-3-2，在四面體B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720237】(1)直線EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.圖3-3-2【精彩點(diǎn)撥】(1)依據(jù)線面平行的判定定理，欲證明直線EF∥平面ACD，只需在平面ACD內(nèi)找出一條直線和直線EF平行即可；(2)根據(jù)面面垂直的判定定理，欲證明平面EFC⊥平面BCD，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找出一條另一個(gè)面的垂線即可．【自主解答】(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，所以EF是△ABD的中位線，所以EF∥AD，又EF?平面ACD，AD平面ACD，所以直線EF∥平面ACD.(2)因?yàn)锳D⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因?yàn)镃B＝CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC.因?yàn)锽D平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.本題是綜合運(yùn)用已知條件和相關(guān)的空間位置關(guān)系的判定定理來(lái)證明的，故證明空間位置關(guān)系問題，也是綜合法的一個(gè)典型應(yīng)用．在證明過程中，語(yǔ)言轉(zhuǎn)化是主旋律，轉(zhuǎn)化途徑為把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言或文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言．這也是證明空間位置關(guān)系問題的一般模式．[再練一題]2．如圖3-3-3，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E，F(xiàn)分別為C1D1，A1D圖3-3-3(1)求證：DE⊥平面BCE；(2)求證：AF∥平面BDE.【證明】(1)∵BC⊥側(cè)面CDD1C1，DE側(cè)面CDD1C1，∴DE⊥在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝eq\r(2)a，則有CD2＝DE2＋CE2，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，又∵BC∩EC＝C，∴DE⊥平面BCE.(2)連接EF，A1C1，設(shè)AC交BD于O，連接EO∵EFeq\f(1,2)A1C1，AOeq\f(1,2)A1C1，∴EFAO，∴四邊形AOEF是平行四邊形，∴AF∥OE.又∵OE平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE.[探究共研型]用綜合法證明不等式問題探究綜合法證明不等式的主要依據(jù)有哪些？【提示】(1)a2≥0(a∈R)．(2)a2＋b2≥2ab，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2).(3)a，b∈(0，＋∞)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，特別地，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.(4)a－b≥0?a≥b；a－b≤0?a≤b.(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.已知x>0，y>0，x＋y＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥9.【精彩點(diǎn)撥】解答本題可由已知條件出發(fā)，結(jié)合基本不等式利用綜合法證明．【自主解答】法一：因?yàn)閤>0，y>0,1＝x＋y≥2eq\r(xy)，所以xy≤eq\f(1,4).所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))＝1＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(x＋y,xy)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(2,xy)≥1＋8＝9.法二：因?yàn)?＝x＋y，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x＋y,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x＋y,y)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(y,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x,y)))＝5＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x))).又因?yàn)閤>0，y>0，所以eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”．所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥5＋2×2＝9.綜合法的證明步驟：(1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等．(2)轉(zhuǎn)化條件，組織過程：將條件合理轉(zhuǎn)化，寫出嚴(yán)密的證明過程．特別地，根據(jù)題目特點(diǎn)選取合適的證法可以簡(jiǎn)化解題過程．[再練一題]3．將上例條件不變，求證：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥4.【證明】法一：因?yàn)閤，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝1，所以x＋y≥2eq\r(xy)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”，所以eq\r(xy)≤eq\f(1,2)，即xy≤eq\f(1,4)，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(x＋y,xy)＝eq\f(1,xy)≥4.法二：因?yàn)閤，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≥2eq\r(xy)>0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f(1,xy))>0，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)時(shí)，取“＝”，所以(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))≥4.又x＋y＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥4.法三：因?yàn)閤，y∈(0，＋∞)，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(x＋y,x)＋eq\f(x＋y,y)＝1＋eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＋1≥2＋2eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”．[構(gòu)建·體系]1．已知等差數(shù)列{an}中，a5＋a11＝16，a4＝1，則a12的值是()A．15 B．30C．31 D．64【解析】∵{an}為等差數(shù)列，∴a5＋a11＝a4＋a12.又∵a5＋a11＝16，a4＝1，∴a12＝15.【答案】A2．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，給出下列四個(gè)命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l⊥m；④若l∥m，則α⊥β.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4【解析】若l⊥α，α∥β，則l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正確；若l⊥α，mβ，l⊥m，α與β可能相交，②不正確；若l⊥α，mβ，α⊥β，l與m可能平行，③不正確；若l⊥α，l∥m，則m⊥α，又mβ，所以α⊥β，④正確．【答案】B3．若a，b，c是常數(shù)，則“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0對(duì)任意x∈R恒成立A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)閍>0且b2－4ac<0?ax2＋bx＋c>0對(duì)任意x∈R恒成立．反之，ax2＋bx＋c>0對(duì)任意x∈R恒成立不能推出a>0且b2－4ac<0，反例為：當(dāng)a＝b＝0且c>0時(shí)也有ax2＋bx＋c>0對(duì)任意x∈所以“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立【答案】A4．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，則p與q的大小關(guān)系是________．【解析】p＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(a－2·\f(1,a－2))＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p【答案】p>q5．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n＝1,2,3，…)．求證：(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.【證明】(1)∵an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，而an＋1＝Sn＋1－Sn，∴eq\f(n＋2,n)Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝eq\f(2n＋1,n)Sn，∴eq\f(\f(Sn＋1,n＋1),\f(Sn,n))＝2，又∵a1＝1，∴S1＝1，∴eq\f(S1,1)＝1，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公比為2，而an＝eq\f(n＋1,n－1)Sn－1(n≥2)，∴eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4eq\f(Sn－1,n－1)＝eq\f(4,n－1)·eq\f(ann－1,n