高中數(shù)學人教A版第一章解三角形 單元質量評估(一)

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。單元質量評估(一)(第一章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.如圖,在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°,在它的南偏東60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°,若A,B的距離是20m,則塔高為()A.24m B.20mC.12m D【解析】選B.設塔高CD=xm,則AD=xm,DB=3xm.在△ABD中,∠ADB=150°,根據(jù)余弦定理得,(207)2=x2+(3x)2-23x2cos150°,解得x=±20(負值舍去),故塔高為20m.2.(2023·鞍山高二檢測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=2,b=3,A=45°,則角B大小為()° ° °或120° °或75°【解析】選C.由正弦定理可得:2sin45°=3由此可得sinB=323.在△ABC中,若a=5,c=13,sinA=513A.652 B.30 【解析】選B.由正弦定理可求得sinC=1,所以三角形為直角三角形,其中c為斜邊,所以b=c2-a4.(2023·杭州高二檢測)在△ABC中,若lga-lgc=lgsinB=-lg2且B∈0,A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】選D.因為lga-lgc=lgsinB=lg(2)-1,所以ac=又因為b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+2a2-2a·2a·22=a2所以△ABC為等腰直角三角形.5.已知△ABC中,AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是()<C≤π6 <C<C.π6<C<π2 D.π【解析】選A.因為ABsinC=BCsinA,所以所以sinC=12所以0<sinC≤12因為AB<BC,所以C<A,所以C為銳角,所以0<C≤π6【一題多解】選A.如圖所示,以B為圓心,以1為半徑畫圓,則圓上除了直線BC上的點外,都可作為A點.從點C向圓B作切線,設切點為A1和A2,當A與A1或A2重合時,角C最大,易知此時:BC=2,AB=1,AC⊥AB,所以C=π6,所以0<C≤π6.在△ABC中,AB=2,AC=3,AB→·A.3 B.7 2 D.23【解析】選A.因為AB→·AC→=|AB→||=|AB→||所以cosA=56BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=9+4-2×2×3×56=3,所以BC=37.(2023·黃岡高二檢測)設a,b,c為△ABC的三邊長,若c2=a2+b2,且3sinA+cosA=2,則角B的大小為()A.π12 B.π6 C.π4 【解析】選=a2+b2?C=π23sinA+cosA=2?sinA+π6=22?A+所以角B=π-π2-π4-8.(2023·濟寧高二檢測)在△ABC中,若sinA·sinB<cosAcosB,則△ABC一定為()A.等邊三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【解析】選D.由sinA·sinB<cosAcosB得cosAcosB-sinA·sinB>0,即cos(A+B)>0,由于A,B,C為三角形內角,所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC>0,cosC<0,故C為鈍角,△ABC一定為鈍角三角形.9.(2023·重慶高二檢測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知b=2,c=22,則C=π43+2 B.3+1 3 3【解析】選B.由正弦定理bsinB=csinC?sinB=bsinCc=12,又a>b,且B∈(0,π),所以B=π6,所以A=7π12,所以三角形的面積為S=12bcsinA=12×2×22sin10.△ABC的三內角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,若sinB-sinAsinC=A.π4 B.3π4 C.π3【解析】選B.由正弦定理得:sinB-sinAsinC=2a+ca+b?b-ac=2a+ca+b?c2+a2-b2=-11.(2023·益陽高二檢測)在△ABC中,根據(jù)下列條件解三角形,則其中有二個解的是()=10,A=45°,C=70° =20,c=48,B=60°=7,b=5,A=98° =14,b=16,A=45°【解析】選.由A=45°,C=70°,得到B=65°,又b=10,根據(jù)正弦定理asinA==csinC得:a,c只有一解;B.由a=20,c=48,B=60°,根據(jù)余弦定理得:b2=a2+c2-2ac·cosB=400+2304-960=1744,所以b2則cosC<0,得到C為鈍角,故c為最大邊,本選項只有一解;C.由a=7,b=5,A=98°,根據(jù)正弦定理asinA=bsinB得,sinB=5sin98°7,由A=98°為鈍角,即最大角,得到B只能為銳角,故本選項只有一解;D.由a=14,b=16,A=45°,根據(jù)正弦定理asinA=b12.在△ABC中,A=π6,AB=33,ACA.19 B.21 7【解析】選A.在△ABC中,利用余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=27+9-27=9,即BC=3,又D在邊BC上,且CD=2DB,故BD=1,CD=2,在△ABD中,利用余弦定理得cos∠ADB=AD2+B在△ADC中,利用余弦定理得cos∠ADC=AD2+D又cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以AD2+1-272AD+二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2023·濟南高二檢測)在相距2千米的A,B兩點處測量目標點C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點之間的距離為________千米.【解析】由題意知∠C=45°,由正弦定理得ACsin60°=所以AC=222·32答案:614.(2023·杭州高二檢測)已知a,b,c分別為△ABC的三個內角A,B,C的對邊,若a2=b2+c2-bc,cb=12+3,則tanB=【解析】因為a2=b2+c2-bc,所以cosA=b2+cB+C=2π3,C=cb=sinCsinB==12+32·1tanB=12+答案:115.(2023·鄭州高二檢測)如圖,正方形ABCD的邊長為1,延長BA至E,使AE=1,連接EC,ED,則sin∠CED=________.【解析】記∠CEB=α,則∠CED=π4由勾股定理有CE=BC2+B所以sinα=15=55,cosα=25由兩角差的正弦公式有sin∠CED=sinπ=22(cosα-sinα)=22×55答案:1016.(2023·全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍為________.【解析】如圖所示,延長BA,CD交于點E,可知在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°.設AD=12則AE=22x,DE=6設CD=m,由BC=2,得6+得6+24x+m=6而AB=6+24x+m-2=6+2-22所以AB的取值范圍是(6-2,6+2).答案:(6-2,6+2)三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2023·山東高考)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知cosB=33,sin(A+B)=69,ac=2【解題指南】先判斷A+B,再將其看作一個整體,利用兩角和與差的三角公式,結合正弦定理求解.【解析】在△ABC中,cosB=33,則sinB=6因為sin(A+B)=69<6cos(A+B)=-53所以sinA=sin(A+B-B)=sin(A+B)cosB-cos(A+B)sinB=69×33--539×63=因為sinC=sin(A+B)=69,sinA=223由正弦定理asinA=c得ac=sinAsinCc2=22369c18.(12分)某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處,觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40°.開始時,汽車到A的距離為31千米,汽車前進20千米后,到A的距離縮短了10千米.問汽車還需行駛多遠,才能到達M汽車站?【解析】如圖,設汽車前進20千米后到達B處.在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理的推論得,cosC=AC2+B則sin2C=1-cos2C=4323所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=353MC=ACsin∠MACsin∠AMC=313從而有MB=MC-BC=15.所以汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站.19.(12分)(2023·重慶高二檢測)在△ABC中,內角A,B,C滿足23sinAsinB=5sinC且cosB=1114(1)求角A的大小.(2)若內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=14,求邊BC上的中線AD的長.【解析】(1)在△ABC中,因為cosB=1114所以sinB=53代入23sinAsinB=5sinC,化簡可得3sinA=7sinC.因為A+B+C=π,所以sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB,化簡得tanA=-3.因為0<A<π,所以A=2π(2)因為A=2π3,所以sinA=32在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=得c=6,b=10,在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB×BD×cosB=36+49-2×6×7×1114所以AD=19.20.(12分)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3(1)求角C的大小.(2)若sinA=45,求△ABC的面積【解析】(1)因為△ABC中,a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3所以1+cos2A2-1+cos2B2=32即cos2A-cos2B=3sin2A-3sin2B,即-2sin(A+B)sin(A-B)=23·cos(A+B)sin(A-B).因為a≠b,所以A≠B,sin(A-B)≠0,所以tan(A+B)=-3,所以A+B=2π3,所以C=(2)因為sinA=45<32,C=所以A<π3,或A>2π3所以cosA=1-sin2由正弦定理可得,asinA=c即a45=332,所以sinB=sin[(A+B)-A]=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=32×35--12×所以△ABC的面積為12·ac·sinB=12×85×3×421.(12分)(2023·濰坊高二檢測)如圖,在△ABC中,BC邊上的中線AD長為3,且cosB=108,cos∠ADC=-1(1)求sin∠BAD的值.(2)求AC邊的長.【解析】(1)因為cosB=108所以sinB=36又cos∠ADC=-14所以sin∠ADC=154所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=154×108--14×(2)在△ABD中,由ADsinB得:3368故DC=2,從而在△ADC中,由AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=32+22-2×3×2×-1得AC=4.22.(12分)(2023·成都高二檢測)在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C所對邊的邊長,且C=π3(1)若λ=3時,證明:△ABC為直角三角形.(2)若AC→·BC→=【解題指南】(1)當λ=3時,根據(jù)正弦定理及兩角和與差的正弦公式確定相應角的值,從而確定△ABC的形狀.(2)由AC→·BC→=