高中數(shù)學人教A版第二章數(shù)列等比數(shù)列的前n項和（省一等獎）

教學設計表學科數(shù)學授課年級高二學校登封市實驗高級中學授課教師楊建筑章節(jié)名稱等差數(shù)列的前n項和計劃學時一學時學習內(nèi)容分析本節(jié)課教學內(nèi)容是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（5）》（人教A版）中“等差數(shù)列的前n項和”。本節(jié)課主要研究如何用“倒序相加法”求等差數(shù)列的前n項和以及該求和公式的應用。等差數(shù)列的前n項和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的基本問題。在現(xiàn)實生活中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題，等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前n項和提供了一種重要方法。課文以高斯故事引課，目的是增強學生的好奇心，激發(fā)學生的學習欲望和激情。以問題為紐帶，通過三個問題組織學生討論，由特殊（自然數(shù)的前100項和）到一般（自然數(shù)的前n項和），再到一類（等差數(shù)列的前n項和），循序漸進。通過類比高斯配對求和方法，啟發(fā)學生獨立思考，討論交流，對問題進行層層遞進的探究，使學生從不同的思維角度掌握等差數(shù)列的前n項和公式，從中深刻領會推導過程所蘊涵的邏輯推理方法和數(shù)學思維方法，培養(yǎng)學生思維的深刻性、尖銳性和批判性。等差數(shù)列的前n項和公式，不論是它本身的獲取過程，還是它的證明方法的獲取過程，以及它的證明過程，都是發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論和數(shù)學方法的思維過程，同時在這些過程中還蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如“特殊與一般”“歸納與類比”“抽象與概括”等。由此可見，等差數(shù)列的前n項和公式是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的一個極好素材。課文最后通過精選例題，分層次練習，使學生既鞏固了知識，又形成了技能。學習者分析知識基礎：高二年級學生已掌握了函數(shù)、數(shù)列等有關基礎知識，特別是對等差數(shù)列的概念、通項公式及基本性質(zhì)有相當?shù)恼J識。在小學對高斯的算法也有所了解，這都為倒序相加法的教學提供了必要的基礎，同時學生已有了函數(shù)知識，因此在教學中可適當滲透函數(shù)思想。認知水平與能力：高二學生已具備了解決簡單數(shù)學問題的能力，特別是具有一定的自主探究能力和從特殊到一般的能力，能在教師的引導下獨立地解決問題。但對于倒序相加求和的思想還是初步接觸，需要著重啟發(fā)引導。任教班級學生特點：我班學生基礎知識較扎實、思維較活躍，能夠較好的掌握教材上的內(nèi)容，大多能夠利用合作探究的方法解決問題。但處理抽象問題的能力還有待進一步提高，特別是對解決問題的新方法，應多用啟發(fā)式教學方法。教學目標課程標準：本節(jié)課學習的主要內(nèi)容是探索并掌握等差數(shù)列的前n項和以及該求和公式的應用。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型。等差數(shù)列作為特殊數(shù)列，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用。等差數(shù)列的前n項和是數(shù)列的重要內(nèi)容。授課時，使用函數(shù)的背景和研究方法去認識、研究數(shù)列及其等差數(shù)列前n項和，讓學生經(jīng)歷從日常生活中的實際問題抽象出等差數(shù)列和等差數(shù)列前n項和模型的過程，探索并掌握其中的一些基本數(shù)量關系，感受到等差數(shù)列及其求和公式的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。知識與技能：（1）理解等差數(shù)列前n項和的定義以及等差數(shù)列前n項和公式推導的過程。（2）用方程的思想認識等差數(shù)列前n項和的公式；公式中五個量已知其中三個量求另外兩個量。會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題。過程與方法：（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力；（2）利用以退求進的思維策略，遵循從特殊到一般的認識規(guī)律，讓學生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學生的類比思維能力；（3）通過公式從不同角度、不同側面的剖析，培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力。情感、態(tài)度與價值觀：（1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學生受到辯證唯物主義的熏陶；（2）通過公式的運用，使學生養(yǎng)成實事求是，扎實嚴謹?shù)目茖W態(tài)度；（3）通過生動具體的現(xiàn)實問題，令人著迷的數(shù)學家略史，激發(fā)學生探索的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感。教學重點及解決措施教學重點：探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，學會用公式解決一些實際問題，體會等差數(shù)列前n項和與二次函數(shù)之間的關系。解決措施：根據(jù)教材的內(nèi)容和編制特點，為了更有效地突出重點，本節(jié)課應采用以教師為主導，學生為主體，師生互動的“互助探究”的教學方法和層層設問“問題驅(qū)動”的教學模式。即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“等差數(shù)列前n項和”為基本探究內(nèi)容，讓學生的思維由問題開始，到類比高斯配對發(fā)現(xiàn)“倒序相加法”，得到等差數(shù)列的前n項和公式。突破重點的手段是抓住學生情感的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學生大膽猜想，積極探索，以及及時地鼓勵使他們知難而進。另外抓知識選擇的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生主體下給以適當?shù)奶崾竞椭笇?。教學難點及解決措施教學難點：等差數(shù)列前n項和公式推導思路的獲得。解決措施：首先展示高斯算法，使學生明白高斯算法解決了什么問題，如何解決問題，以及解決問題的方法妙處在何處，還有那些不足等等。高斯算法解決的問題是以首項為1公差為1的等差數(shù)列{n}的前100項的和；高斯算法的核心思想是利用了等差數(shù)列的性質(zhì)，即與首尾等距的兩項和都相等且等于首尾和，再配對解決。但高斯算法與等差數(shù)列求和還有一定的距離。主要體現(xiàn)在高斯算法計算的個數(shù)是有限的（100個）且個數(shù)為偶數(shù)，等差數(shù)列計算的個數(shù)是抽象的數(shù)（n個）且個數(shù)不一定為偶數(shù)，如何解決矛盾，如何巧妙配對，又如何在求和時避免對項數(shù)奇偶性的分類討論呢？這就基本上抽象出“倒序配對相加”的思想方法，從而把所有矛盾化解。教學設計思路建構主義學習理論認為，學習是學生積極主動地建構知識的過程，因此，應該讓學生在具體的問題情境中經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，讓學生利用自己的原有認知結構中相關的知識與經(jīng)驗，自主地在教師的引導下促進對新知識的建構。在教學過程中，根據(jù)教學內(nèi)容，從高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項和的求法，通過設計一些從簡單到復雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學生獲得公式的推導思路，并且充分引導學生展開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓學生在問題解決中學會思考，學會學習。依據(jù)的理論建構主義學習理論（以皮亞杰為代表）認為教學應在教師指導下以學習者為中心，強調(diào)學習者的主體作用，和教師的主導作用。教師的作用從傳統(tǒng)的傳遞知識的權威轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生學習的輔導者，成為學生學習的高級伙伴或合作者。學生學習和掌握知識途徑不是被動的教師的傳授和機械的記憶，教師應該是學生學習的幫助者和促進者，教師創(chuàng)設情境，引導學生積極主動地參與教學過程。學生以積累的知識經(jīng)驗為基礎，利用必要的學習資源，借助教師和同學的幫助，不斷學習新知識，通過意義建構將知識內(nèi)化為新的認知結構。信息技術應用分析知識點學習水平媒體內(nèi)容與形式使用方式使用效果介紹高斯簡單課件多媒體播放多媒體優(yōu)例題展示一般幻燈片課件多媒體優(yōu)小結，練習展示一般幻燈片多媒體優(yōu)教學過程（可續(xù)頁）教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容所用時間教師活動學生活動設計意圖一、簡介數(shù)學家高斯數(shù)學史上有一顆光芒四射的巨星，他與阿基米德、牛頓、歐拉齊名，被稱為人類有史以來"最偉大的四位數(shù)學家之一"，他就是18世紀德國著名的數(shù)學家----高斯。高斯11歲時發(fā)現(xiàn)了二項式定理，17歲時發(fā)明了二次互反律，18歲時發(fā)明了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，解決了兩千多年來懸而未決的難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，22歲時以一篇“一元n次方程至少有一根”的論文獲得博士學位，他一生曾用四種不同的方法證明他的這一偉大發(fā)現(xiàn)。2分鐘教師：200多年前，10歲的高斯迅速計算出自然數(shù)1到100的和，你想知道他是怎樣計算呢？讓學生簡單了解數(shù)學家高斯的地位和貢獻，激發(fā)學生的求知欲望和探究熱情。二、探究高斯妙算展示高斯算法1+2+3+…+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝10150＝50505分鐘問題1：高斯算法解決了數(shù)列一個什么樣的問題？問題2：很棒！高斯的算法非常巧妙！為什么要把1和100,2和99等這樣的數(shù)配對相加呢？問題3：非常棒！高斯算法共配了多少對？學生：和式是首項為1，公差為1的等差數(shù)列{n}的前100項的和。學生：因為他們的和相等，且等于首尾兩項的和。學生：共50對。師生共同探討高斯算法，為新課的講解作鋪墊。三、探究等差數(shù)列前n項和公式設是等差數(shù)列，求它的前n項和，即求解析：+得：（一）。倒序相加法15分鐘教師：受高斯算法的啟發(fā)，對于一般的等差數(shù)列如何求其前n項和？教師：很好！但n為奇數(shù)時這種方法還行嗎？教師：非常好！思考能不能在此基礎上進一步完善，避免對項數(shù)的討論教師：好！根據(jù)剛才的討論，自己試求一下。學生：仿高斯算法可得：…。學生：為避免奇偶的討論可再給出一個等差數(shù)列的和式，并且倒寫，兩個相加即可求得和又可避免分類討論。通過一次一次的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，讓學生自己思考，自己解決，自我完善，這樣有利于他們和智力的發(fā)展。讓學生基本抽象出“倒序相加法”的思想。末項首項末項首項項數(shù)項數(shù)教師：上面的推導方法叫倒序相加法，如何從形式上記住這個公式？學生：學生：第一種形式的記法有三個好處，即便于深刻理解，便于牢固記憶，最重要是便于靈活應用；第二種記法更形象化。四、引導學生得到等差數(shù)列前n項和另一種形式（二）5分鐘教師：等差數(shù)列的通項公式能給出的另一種形式嗎？教師：的兩個表達式有什么不同點又如何使用，并加以比較。學生：學生：公式一是已知首項，末項及項數(shù)求和；公式二是已知首項，公差及項數(shù)求和。共同點是都必須知道首項及項數(shù)。不同點是前者已知的是末項，后者知道的是公差。公式（一）反映了等差數(shù)列的任意第k項與倒數(shù)第k+1項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)。公式（二）反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，而且是關于n的“二次函數(shù)”。體會知識間的聯(lián)系，得到等差數(shù)列前n項和的另一種形式，比較公式間的聯(lián)系。從實際問題中提煉數(shù)學模型在解決問題的過程中運用公式教科書例1。5分鐘教師：請同學們認真閱讀例1，從中提取關鍵信息。引導學生構造等差數(shù)列模型讓學生獨立作出解答，然后讓學生將答案寫在黑板上學生：這是一個數(shù)列問題。學生：這是一個等差數(shù)列的求和問題，且求，選用的是公式（二）。簡解：（萬元）答：從2023--2023年該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元。體驗從實際情景中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列模型，并運用有關知識解決問題的過程。六、靈活應用公式建立方程或方程組解題教材中例2已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？5分鐘教師：例2中有幾個已知條件，目標是什么？又如何解決呢？教師：如何求呢？教師：請同學們小組討論并派代表在黑板上解答。學生：有3個已知條件，是等差數(shù)列，且，，求要求需要求出。學生：列方程組求。學生：設首項，公差，則：。建立等差數(shù)列前n項和與方程之間的聯(lián)系，根據(jù)已知量，通過解方程或方程組，得出其余未知量，讓學生體會方程的思想在解決數(shù)列問題中的應用，讓學生認識等差數(shù)列前n項和公式是一個關于的方程。七、回顧反思從特殊到一般的研究方法。用倒序相加求等差數(shù)列的前n項和公式。等差數(shù)列前n項和公式及意義。運用方程的思想分析和解決問題。5分鐘教師：回顧和總結本節(jié)學習內(nèi)容以及掌握的思想方法。學生自己總結小組歸納。學習的思想方法有：從特殊到一般倒序相加函數(shù)與方程的思想組織學生共同反思本節(jié)課的教學內(nèi)容及思想方法，使學生對等差數(shù)列前n項和有一個完整、清晰、深刻的認識。八、作業(yè)設計作業(yè)：教材46頁習題2.3A組1---4題。備選練習如下：根據(jù)下列條件，求出相應的等差數(shù)列的前n項和（2）（3）。2.在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)能被3除余2?這些數(shù)的和是多少？3.等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求通項公式；若，求n。課后思考題：等差數(shù)列的前n項和為，求證是等差數(shù)列，并求其公差。試用求：的值。3分鐘學生：3.（1）由解得由得。分層練習使學生在完成必修教材基本任務的同時，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實現(xiàn)“以人為本”的教育理念。思考題為了提高學生思維的能力！同時也是對本節(jié)課的升華！課堂教學流程圖公式（二）推導公式（二）推導課題導入公式探究課題導入公式探究例題解析公式運用作業(yè)設計回顧反思例題解析公式運用作業(yè)設計回顧反思教學反思（1）本節(jié)課教學過程的難點在于如何獲得推導公式的“倒序相加法”這一思路。為了突破這一難點，在教學中采用了一問題驅(qū)動的教法，設計的三個問題體現(xiàn)了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再將此法運用到一般問題的解決。再教學過程中通過教師層層引導、學生的合作學習與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，使學生“倒序相加”思路的獲得水到渠成。（2）新課程要求教師由主導者變成引導者，看重“以學定教”的教育