高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量 學(xué)案3

2023學(xué)年高一年級2023學(xué)年高一年級數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（46）班級姓名學(xué)號編寫：侯國會審閱：陳業(yè)慧石叢委2.2.1向量加法運算及其幾何意義1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義．2．掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算．3．了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依幾何意義作圖解釋加法運算律的合理性．學(xué)習(xí)重點：向量的加法、減法及幾何意義學(xué)習(xí)難點：向量運算的幾何意義一．知識導(dǎo)學(xué)1．向量的加法法則(1)三角形法則如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，則向量____叫做a與b的和(或和向量)，記作_____，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝_____.上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則．對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝__＋__＝__.(2)平行四邊形法則：如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，則O、A、B三點不共線，以，為鄰邊作，則對角線上的向量2．向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝.二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點一】向量加法的三角形法則如圖所示，是上海到臺北的航線示意圖：一是經(jīng)香港轉(zhuǎn)停到臺北；二是由上海直接飛往臺北．通過上面地圖中客機的位移，我們得到向量加法的三角形法則：eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).使用向量加法的三角形法則具體做法是：先把兩個向量首尾順次相接，然后連接第一個向量的始點和后一個向量的終點，并指向后一個向量的終點，就得到兩個向量的和向量．問題1當向量a，b是共線向量時，a＋b又如何作出？問題2想一想，|a＋b|與|a|和|b|之間的大小關(guān)系如何？當a與b同向共線時，a＋b與____同向，且|a＋b|＝_______.當a與b反向共線時，若|a|>|b|，則a＋b與__的方向相同，且|a＋b|＝_______；若|a|<|b|，則a＋b與__的方向相同，且|a＋b|＝_______.【探究點二】向量加法的平行四邊形法則向量加法還可以用平行四邊形法則：先把兩個已知向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對角線就是這兩個已知向量的和．以點A為起點作向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，以AB、AD為鄰邊作?ABCD，則以A為起點的對角線eq\o(AC,\s\up16(→))就是a與b的和，記作a＋b＝eq\o(AC,\s\up16(→))，如圖．對于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.①根據(jù)上圖中的平行四邊形ABCD驗證向量加法的交換律：a＋b＝b＋a.(注：eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b)．②根據(jù)下圖中的四邊形，驗證向量加法的結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【探究點三】向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則，即把每個向量平移，使這些向量首尾相連，則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量就是這些向量的和向量．即：eq\o(A1A2,\s\up16(→))＋eq\o(A2A3,\s\up16(→))＋eq\o(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up16(→)).或eq\o(A1A2,\s\up16(→))＋eq\o(A2A3,\s\up16(→))＋…＋An－1An＋eq\o(AnA1,\s\up16(→))＝__.這是一個極其簡單卻非常有用的結(jié)論(如圖)．【典型例題】例1已知向量a，b如圖所示，試用三角形法則和平行四邊形法則作出向量a＋b.跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知向量a，b，c，利用三角形法則作出向量a＋b＋c.例2化簡：(1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))；(2)eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→)).跟蹤訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點．(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝________.例3在水流速度為4eq\r(3)km/h的河中，如果要船以12km/h的實際航速與河岸垂直行駛，求船航行速度的大小和方向．跟蹤訓(xùn)練3某人在靜止的水中的游泳速度為2eq\r(3)km/h，如果他以這個速度徑直游向河對岸，已知水流的速度為2km/h，那么他實際沿什么方向前進？速度大小為多少？三．鞏固訓(xùn)練1.如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中錯誤的是 ()\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＝0\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝0\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→)) \o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＋eq\o(FD,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))2．設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點，如圖所示，化簡下列各式：(1)eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝______；(3)eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＝________；(4)eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＋eq\o(AE,\s\up16(→))＝________.3．如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且BP＝QC.求證：eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))＋eq\o(AQ,\s\up16(→)).4．如圖所示，在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\