第三課時(shí)、函數(shù)的單調(diào)性和最大小值

------函數(shù)的單調(diào)性書寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，注意區(qū)間端點(diǎn)的寫法。對于某一個(gè)點(diǎn)而言，由于它的函數(shù)值是一個(gè)確定的常數(shù)，無單調(diào)性可言，因此在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)。但對于某些不在定義域內(nèi)的區(qū)間端點(diǎn)，書寫時(shí)就必須去掉端點(diǎn)。單調(diào)區(qū)間之間必須用“，”隔開，或者用“和”連接，但千萬不能用“∪”連接，也不能用“或”，“且”連接。例2.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

解：無單調(diào)減區(qū)間

無單調(diào)增區(qū)間歸納：函數(shù)的單調(diào)性k>0k<0yox22o4yx歸納：函數(shù)的單調(diào)性_______;_______.例2.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：xyy=-x2+21-1122-1-2-2O思考2：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢？

思考1：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢？解：的對稱軸為練習(xí)：判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。xy21o單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：成果運(yùn)用若二次函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

oxy1xy1o解：二次函數(shù)的對稱軸為,由圖象可知只要，即即可.

若二次函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,則a的取值情況是（）

變式1變式2請你說出一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是的二次函數(shù)變式3請你說出一個(gè)在上單調(diào)遞減的函數(shù)A.B.C.D.

討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.變式4解：f(x)的開頭方向向上，對稱軸是x=a，（1）當(dāng)a≤-2時(shí)，f(x)在(-2,2)單調(diào)遞增；（2）當(dāng)-2<a<2時(shí)，f(x)在(-2,2)沒有單調(diào)性，但是f(x)在（-2,a）單調(diào)遞減，在(a,2)單調(diào)遞增；（3）當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在(-2,2)單調(diào)遞減。變式5討論函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間(a,a+3)上的單調(diào)性。例3.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：xyO思考1：思考2：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是什么？

的單調(diào)增區(qū)間是

歸納：在和上的單調(diào)性？_____________,解：沒有單調(diào)增區(qū)間的單調(diào)區(qū)間，，證明：函數(shù)f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數(shù)。證明：設(shè)x1,x2是(0，+∞)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數(shù)。取值定號變形作差下結(jié)論3．證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

例4、物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)得V1V2>0,由V1<V2，得V2-V1>0又k>0,于是

所以，函數(shù)是減函數(shù).也就是說，當(dāng)體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.取值定號變形作差結(jié)論?判斷函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性.解:設(shè)則f(x1)－f(x2)∵0＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴

f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù).例：已知函數(shù)f(x)是定義在（-∞，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，解不等式f(2x)<f(1+x)

例：已知函數(shù)f(x)是定義在（-1，1）上的單調(diào)增函數(shù)，解不等式f(2x)<f(1+x)

1.已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,2)上的增函數(shù)，若f(a-1)>f(1-3a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求適合的的取值范圍三、歸納小結(jié)1.函數(shù)的單調(diào)性的判定、證明和單調(diào)區(qū)間的確定：函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)必須要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步：取值→作差→變形→定號→下結(jié)論2.直接利用初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。------函數(shù)的最大（?。┲迪铝袃蓚€(gè)函數(shù)的圖象：圖1ox0xMyyxox0圖2M觀察觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，圖中有個(gè)最高點(diǎn)，那么這個(gè)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫什么呢？思考設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為M，則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，f(x)與M的大小關(guān)系如何？思考f(x)≤M?(0)=1O122、存在0，使得?(0)=1.1、對任意的都有?(x)≤1.1是此函數(shù)的最大值知識要點(diǎn)M是函數(shù)y=f(x)的最大值（maximumvalue）：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值（minimunvalue）.能否仿照函數(shù)的最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義呢？思考2.函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1.函數(shù)最大（?。┲凳紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；3.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。探究:函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)的最值的關(guān)系（1）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m，n](m<n)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)的最值是什么？Oxy當(dāng)x=m時(shí)，f(x)有最小值f(m)，當(dāng)x=n時(shí),f(x)有最大值f(n).(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)的最值是什么？Oxy當(dāng)x=m時(shí)，f(x)有最大值f(m)，當(dāng)x=n時(shí)，f(x)有最小值f(n).(3)若函數(shù)則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中較小者.例3

“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果在距地面高度hm與時(shí)間ts之間的關(guān)系為:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它的爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）解：作出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象(如圖).顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度.

由于二次函數(shù)的知識，對于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有:

于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時(shí)刻,這時(shí)距地面的高度為29m.例3

求函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

解：設(shè)x1,x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2,則由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函數(shù)是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù).

因此,函數(shù)在區(qū)間[2,6]上的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值，即在點(diǎn)x=2時(shí)取最大值，最大值是2，在x=6時(shí)取最小值，最小值為0.4.（二）判斷函數(shù)的最大(小)值的方法

1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大(小)值

2.利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b)

；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

例3寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出最值。例4已知二次函數(shù)（1）當(dāng)