廣東省惠州市黃埠中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

廣東省惠州市黃埠中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE,SD所成的角的余弦值為（）A.

B.C.

D.參考答案：C設(shè)如圖所示，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，由于，且，故四邊形是平行四邊形，，由三角形中位線的性質(zhì)可得，據(jù)此可得或其補(bǔ)角即為所求，且，，，由余弦定理可得：.據(jù)此可得AE,SD所成的角的余弦值為.本題選擇C選項(xiàng).

2.F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若|PF1|=9，則|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．9參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】首先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得a的值然后根據(jù)定義|PF1|﹣|PF2|=±2a求解．【解答】解：F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，2a=8，點(diǎn)P在雙曲線上（1）當(dāng)P點(diǎn)在左支上時(shí)，|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=17（2）當(dāng)P點(diǎn)在右支上時(shí)，|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=1故選：C3.在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)7名學(xué)生的成績(jī)分布莖葉圖如圖所示，若這7名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?7分，則x的值為（

）A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：C4..設(shè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處切線的斜率為，則函數(shù)的部分圖像為

參考答案：B略5.我國(guó)古代稱(chēng)直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦。若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則，稱(chēng)這個(gè)定理為勾股定理．現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O-ABC中，，S為頂點(diǎn)O所對(duì)面的面積，分別為側(cè)面的面積，則下列選項(xiàng)中對(duì)于滿(mǎn)足的關(guān)系描述正確的為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】作四面體，，于點(diǎn)，連接，結(jié)合勾股定理可得答案?！驹斀狻孔魉拿骟w，，于點(diǎn)，連接，如圖.即故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查類(lèi)比推理，解題的關(guān)鍵是將勾股定理遷移到立體幾何中，屬于簡(jiǎn)單題。6.如果雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為6，那么該雙曲線的離心率是

（

）

A．

B．

C．

D．2參考答案：B略7.圓心為，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C8.用秦九韶算法求n次多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，求需要算乘方、乘法、加法的次數(shù)分別為（

）A．

B．n,2n,n

C．0,2n,n

D．0,n,n參考答案：D9.定積分的值為A.e+2

B.e+1

C.e

D.e－1參考答案：C10.若以雙曲線﹣=1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)（2，1）為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，則此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．6參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意，以雙曲線﹣=1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)（2，1）為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，可得（2﹣c，1）?（2+c，1）=0，求出c，即可求出a．【解答】解：由題意，以雙曲線﹣=1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)（2，1）為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，∴（2﹣c，1）?（2+c，1）=0，∴4﹣c2+1=0，∴c=，∴2a=2=2．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為_(kāi)________人．參考答案：1512.函數(shù)的值域是

參考答案：略13.設(shè)F1和F2是雙曲線﹣y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿(mǎn)足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是

．參考答案：1【考點(diǎn)】雙曲線的應(yīng)用；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，根據(jù)根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x﹣y的值，再根據(jù)∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，進(jìn)而根據(jù)2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，進(jìn)而可求得△F1PF2的面積．【解答】解：設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面積為xy=1故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．要靈活運(yùn)用雙曲線的定義及焦距、實(shí)軸、虛軸等之間的關(guān)系．14.已知函數(shù)f（x）=ax2+（a﹣3）x+1在區(qū)間[﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[﹣3，0]【考點(diǎn)】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】通過(guò)當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣3x+1，滿(mǎn)足題意；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，∴﹣≤﹣1，得﹣3≤a＜0．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣3，0]．15.過(guò)雙曲線:的左頂點(diǎn)作斜率為的直線，若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)、,且,則該雙曲線的離心率為

參考答案：16.命題“”的否定是

▲

.參考答案：17.函數(shù)f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函數(shù)，則f（2）=．參考答案：3【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意可得，f（﹣x）=f（x）對(duì)于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0對(duì)于任意的x都成立，從而可求a，即可求出f（2）．【解答】解：∵f（x）=（x+1）（x﹣a）為偶函數(shù)∴f（﹣x）=f（x）對(duì)于任意的x都成立即（﹣x+1）（﹣x﹣a）=（x+1）（x﹣a）∴x2+（a﹣1）x﹣a=x2+（1﹣a）x﹣a∴（a﹣1）x=0∴a=1，∴f（2）=（2+1）（2﹣1）=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥面ABCD，點(diǎn)Q在棱PA上，且PA=4PQ=4，AB=2，CD=1，AD=，∠CDA=∠BAD=，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．（1）求證：MQ∥面PCB；（2）求截面MCN與底面ABCD所成的銳二面角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】向量法：對(duì)于（1）求證：MQ∥平面PCB，可求出線的方向向量與面的法向量，如果兩者的內(nèi)積為0則說(shuō)明線面平行對(duì)于（2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小，求出兩個(gè)平面的法向量，然后根據(jù)根據(jù)二面角的正弦與法向量的數(shù)量積的關(guān)系，求解；【解答】解：法一：向量法：以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP分別為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，由，PA=4PQ=4，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)，可得：，∴，設(shè)平面的PBC的法向量為，則有：令z=1，則，∴，又MQ?平面PCB，∴MQ∥平面PCB；（2）設(shè)平面的MCN的法向量為，又則有：令z=1，則，又為平面ABCD的法向量，∴，又截面MCN與底面ABCD所成二面角為銳二面角，∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小為，法二：幾何法：（1）取AP的中點(diǎn)E，連接ED，則ED∥CN，依題有Q為EP的中點(diǎn)，所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，又MQ?平面PCB，CN?平面PCB，∴MQ∥平面PCB（2）易證：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN與平面MEN所成的二面角即為平面MCN與底面ABCD所成的二面角，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，過(guò)E做EF⊥MN，垂足為F，連接QF，則由三垂線定理可知QF⊥MN，由（1）可知M，C，N，Q四點(diǎn)共面所以∠QFE為截面MCN與平面MEN所成的二面角的平面角，，所以：，所以：；19.（本小題8分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（--2,4）．(I)求拋物線的方程；(II)求拋物線被直線2x+y+8=0所截得的弦長(zhǎng)參考答案：

20.已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足a2a3＝45，a1＋a4＝14.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）設(shè)（c為非零常數(shù)），若數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，請(qǐng)確定常數(shù)c的值，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：略21.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，,,,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，利用空間向量解答以下問(wèn)題：（Ⅰ）證明：直線；（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn)B到平面OCD的距離.參考答案：作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,（3分）(1)

（5分）設(shè)平面OCD的法向量為,則即取,解得

（7分）

（9分）(2)設(shè)與所成的角為,

,與所成角的大小為

（13分）(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,

由,得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為（15分）22.（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，⑴