廣東省揭陽市普寧馬鞍山中學2022年高三數學文上學期期末試卷含解析

廣東省揭陽市普寧馬鞍山中學2022年高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合；則(

)

參考答案：選

2.設，則等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C3.若復數是純虛數（i是虛數單位），則a的值為

A．-2

B．2

C．1

D．-1參考答案：B略4.已知雙曲線的左、右焦點分別為.P為雙曲線右支上任意一點，的最小值為8，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D5.設集合，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：答案：B6.設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為（）(A)0

(B)1

(C)

(D)3參考答案：B，又均為正實數，，當且僅當時等號成立，因此當取得最大值時，，此時，因此，，當且僅當時等號成立，因此的最大值為，故選B.7.已知函數，則方程恰有兩個不同的實根時，實數的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.已知函數，若則的取值范圍是（

）

A.

參考答案：【知識點】函數的奇偶性，解不等式.

B4

E3【答案解析】C

解析：因為，所以是偶函數，所以為，解得，所以選C.【思路點撥】先確定是偶函數，所以為，解得.9.已知正方體的棱長為，動點在正方體表面上且滿足,則動點的軌跡長度為

A．

B．

C．

D．

參考答案：B10.已知函數，則f（f（4））=（）A．﹣3 B． C．3 D．8參考答案：D【考點】函數的值．【分析】根據函數的解析式依次求出f（4）和f（f（4））的值．【解答】解：由題意得，，所以f（4）==﹣2，f（﹣2）==8，即f（f（4））=8，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點A（1，2），則b﹣a=．參考答案：5【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】先根據曲線y=x3+ax+b過點（1，2）得出a、b的關系式，再根據切線過點（1，2）求出k，然后求出x=1處的導數并求出a，從而得到b，即可得到b﹣a的值．【解答】解：∵y=x3+ax+b過點（1，2），∴a+b=1，∵直線y=kx+1過點（1，2），∴k+1=2，即k=1，又∵y′=3x2+a，∴k=y′|x=1=3+a=1，即a=﹣2，∴b=1﹣a=3，∴b﹣a=3+2=5．故答案為：5．12.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=8，作△ABC外接圓O的切線CD，作BD⊥CD于D，交圓O于點E，給出下列四個結論：①∠BCD=60°；②DE=2；③BC2=BD?BA；④CE∥AB；則其中正確的序號是

．參考答案：①②③④【考點】與圓有關的比例線段．【專題】選作題；轉化思想；推理和證明．【分析】利用直角△ABC的邊角關系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的邊角關系即可得出CD，BD．再利用切割線定理可得CD2=DE?DB，即可得出DE．利用△ACB∽△CDB，可得BC2=BD?BA；證明∠BCE=∠ABC，可得CE∥AB【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，∴BC=AB?sin60°=4．[來源:學&科&網]∵CD是此圓的切線，∴∠BCD=∠A=60°，即①正確．在Rt△BCD中，CD=BC?cos60°=2，BD=BC?sin60°=6．由切割線定理可得CD2=DE?DB，∴12=6DE，解得DE=2，即②正確．∵∠BCD=∠A，∠D=∠ACB，∴△ACB∽△CDB，∴CB：DB=AB：CB，∴BC2=BD?BA，即③正確；④∵∠ECD=∠ABC=30°，∠BCD=60°，∴∠BCE=30°=∠ABC，∴CE∥AB，即④正確；故答案為：①②③④．【點評】熟練掌握直角三角形的邊角關系、弦切角定理、切割線定理是解題的關鍵．13.已知函數f（x）=，若函數g（x）=f（x）﹣m有三個零點，則實數m的取值范圍是．參考答案：【考點】函數零點的判定定理．【分析】根據函數與零點的關系將函數轉化為兩個函數圖象的交點個數問題，利用數形結合進行求解即可．【解答】解：由g（x）=f（x）﹣m=0得f（x）=m，若函數g（x）=f（x）﹣m有三個零點，等價為函數f（x）與y=m有三個不同的交點，作出函數f（x）的圖象如圖：當x≤0時，f（x）=x2+x=（x+）2﹣≥﹣，若函數f（x）與y=m有三個不同的交點，則﹣＜m≤0，即實數m的取值范圍是（﹣，0]，故答案為：（﹣，0]．14.已知點在圓上，點關于直線的對稱點也在圓上，則。參考答案：15.艾薩克?牛頓（1643年1月4日﹣1727年3月31日）英國皇家學會會長，英國著名物理學家，同時在數學上也有許多杰出貢獻，牛頓用“作切線”的方法求函數f（x）零點時給出一個數列{xn}：滿足，我們把該數列稱為牛頓數列．如果函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有兩個零點1，2，數列{xn}為牛頓數列，設，已知a1=2，xn＞2，則{an}的通項公式an=．參考答案：2n【考點】數列遞推式．【分析】由已知得到a，b，c的關系，可得f（x）=ax2﹣3ax+2a，求導后代入，整理可得，兩邊取對數，可得是以2為公比的等比數列，再由等比數列的通項公式求導答案．【解答】解：∵函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有兩個零點1，2，∴，解得：．∴f（x）=ax2﹣3ax+2a．則f′（x）=2ax﹣3a．則==，∴，則是以2為公比的等比數列，∵，且a1=2，∴數列{an}是以2為首項，以2為公比的等比數列，則，故答案為：2n．【點評】本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，屬中檔題．16.已知滿足對任意都有成立，則的取值范圍是___

____．參考答案：17.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出S的值為____________．參考答案：當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，，輸出S的值為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數.（I）當時，解不等式；（II）若不等式恒成立，求實數的取值范圍．參考答案：（1）由得，，或，或解得：原不等式的解集為……………4分（2）由不等式的性質得：，要使不等式恒成立，則…………6分解得：或…………8分所以實數的取值范圍為.………………10分19.（13分）（2015?河南二模）設a為實數，函數f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的單調區(qū)間及極值；（2）求證：當a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞x2﹣2ax+1．參考答案：考點：利用導數研究函數的極值；導數在最大值、最小值問題中的應用．專題：計算題；壓軸題．分析：（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表討論能求出f（x）的單調區(qū)間區(qū)間及極值．（2）設g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內單調遞增．由此能夠證明ex＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）f′（x）﹣0+f（x）單調遞減2（1﹣ln2+a）單調遞增故f（x）的單調遞減區(qū)間是（﹣∞，ln2），單調遞增區(qū)間是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2處取得極小值，極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），無極大值．（2）證明：設g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內單調遞增．于是當a＞ln2﹣1時，對任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故ex＞x2﹣2ax+1．點評：本題考查函數的單調區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導數的性質、函數增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質的應用．解題時要認真審題，仔細解答．20.已知等比數列的公比，是和的一個等比中項，和的等差中項為，若數列滿足（）．(Ⅰ）求數列的通項公式；

(Ⅱ）求數列的前項和．參考答案：（Ⅰ）因為是和的一個等比中項，所以．由題意可得因為，所以．解得所以．故數列的通項公式．(Ⅱ）由于（），所以．

．

①．

②①-②得．所以21.已知直角的三邊長,滿足(1)已知均為正整數,且成等差數列,將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列,且,求滿足不等式的所有的值;(2)已知成等比數列,若數列滿足,證明數列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構成直角三角形,且是正整數.參考答案：解(1)設的公差為,則設三角形的三邊長為,面積,由得,當時,,經檢驗當時,,當時,綜上所述,滿足不等式的所有的值為2、3、4

(2)證明因為成等比數列,.由于為直角三角形的三邊長,知,,又,得,于是,則有.故數列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構成直角三角形

因為,,由數學歸納法得：由,同理可得,故對于任意的都有是正整數略22.已知F1，F2分別為橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的上下焦點，其F1是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF1|=．（1）試求橢圓C1的方程；（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足，求實數λ的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）利用拋物線的方程和定義即可求出點M的坐標，再利用橢圓的定義即可求出；（2）根據直線與圓相切則圓心到直線距離等于半徑，可得k=，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合橢圓上一點P滿足，可得到λ2的表達式，進而求出實數λ的取值范圍【解答】解：（1）令M為（x0，y0），因為M在拋物線C2上，故x02=4y0，①又|MF1|=，則y0+1=，②由①②解得x0=﹣，y0=橢圓C1的兩個焦點為F1（0，1），F2（0，﹣1），點M在橢圓上，由橢圓定義，得2a=|MF1|+|MF2|==4∴a=2，又c=1，∴