廣東省梅州市三河中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省梅州市三河中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，則是

（

）A．最小正周期為p的奇函數(shù)

B．最小正周期為p的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：B2.等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于(

)

A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C3.已知△ABC三角滿足，則sinC的最大值為A.

B.

C.

D.參考答案：B4.要完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，宜采用的抽樣方法依次為()A.①隨機(jī)抽樣法，②系統(tǒng)抽樣法B.①分層抽樣法，②隨機(jī)抽樣法C.①系統(tǒng)抽樣法，②分層抽樣法D.①②都用分層抽樣法參考答案：B①由于社會(huì)購買力與收入有關(guān)系，所以應(yīng)采用分層抽樣法；②由于人數(shù)少，可以采用簡單隨機(jī)抽樣法要完成下列二項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，95戶低收入家庭中，選出100戶調(diào)查社會(huì)解：∵社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，受到家庭收入的影響而社區(qū)中各個(gè)家庭收入差別明顯①用分層抽樣法，而從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況的調(diào)查中個(gè)體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，∴②用隨機(jī)抽樣法故選B5.某中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級(jí)108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要用抽樣方法抽取10人形成樣本，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1，2，…，270，如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254；其中可能是由分層抽樣得到，而不可能是由系統(tǒng)抽樣得到的一組號(hào)碼為（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④參考答案：D【考點(diǎn)】B4：系統(tǒng)抽樣方法．【分析】先考慮那種情況為分層抽樣，根據(jù)分層抽樣的概念，需把總體按個(gè)體差異分成幾層，再按每層的比抽取樣本．然后，再幾種分層抽樣中，再考慮哪幾種是系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣中，要抽取的樣本容量是幾，需把總體分成幾部分，再按事先約定好的方法再每部分中抽取1個(gè)個(gè)體，就得到了樣本．【解答】解：先考慮那種情況為分層抽樣，分層抽樣需按年級(jí)分成三層，一年級(jí)抽4個(gè)人，二三年級(jí)個(gè)抽3個(gè)人，也即1到108號(hào)抽4個(gè)，109到189號(hào)抽3個(gè)，190到270號(hào)抽3個(gè)，可判斷①②④是分層抽樣，在判斷①②④中那幾個(gè)是系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣需把1到270號(hào)分成均與的10部分，每部分按事先約定好的方法抽取1個(gè)，則②為系統(tǒng)抽樣．故選D6.如圖是某市舉辦青少年運(yùn)動(dòng)會(huì)上，7位裁判為某武術(shù)隊(duì)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，左邊數(shù)字表示十位數(shù)字，右邊數(shù)字表示個(gè)位數(shù)字，這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（），去掉一個(gè)最低分和最高分所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.8參考答案：C【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖．【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用中位數(shù)和平均數(shù)的定義求出結(jié)果即可．【解答】解：由莖葉圖知，這組數(shù)據(jù)共有7個(gè)，按從小到大的順序排在中間的是88，所以中位數(shù)是88；去掉一個(gè)最高分94和一個(gè)最低分79后，所剩數(shù)據(jù)為84，85，88，88，89，它們的平均數(shù)為（84+85+88+89）=86.8．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，求中位數(shù)和平均數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7.不等式＜0的解集為（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3}參考答案：A【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【分析】本題的方法是：要使不等式小于0即要分子與分母異號(hào)，得到一個(gè)一元二次不等式，討論x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以無解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集為﹣2＜x＜3故選A8.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+），則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱B．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱C．f（x）的最小正周期為π，且在[0，]上為增函數(shù)D．把f（x）的圖象向右平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】通過x=函數(shù)是否取得最值判斷A的正誤；通過x=，函數(shù)值是否為0，判斷B的正誤；利用函數(shù)的周期與單調(diào)性判斷C的正誤；利用函數(shù)的圖象的平移判斷D的正誤．【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（2×+）=，不是函數(shù)的最值，判斷A的錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x=，函數(shù)f（x）=sin（2×+）=1≠0，判斷B的錯(cuò)誤；對(duì)于C，f（x）的最小正周期為π，由，可得，k∈Z，在[0，]上為增函數(shù)，∴選項(xiàng)C的正確；對(duì)于D，把f（x）的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)f（x）=sin（2x+），函數(shù)不是偶函數(shù)，∴選項(xiàng)D不正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，基本知識(shí)的考查．9.如圖，該程序運(yùn)行后的輸出結(jié)果為（）A．0B．3C．12D．﹣2參考答案：C10.（5分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是（） A． [，3） B． （0，3） C． （1，3） D． （1，+∞）參考答案：A考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由x＜1時(shí)，f（x）=（3﹣a）x﹣a是增函數(shù)解得a＜3；由x≥1時(shí)，f（x）=logax是增函數(shù)，解得a＞1．再由f（1）=loga1=0，（3﹣a）x﹣a=3﹣2a，知a．由此能求出a的取值范圍．解答： ∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，∴x＜1時(shí)，f（x）=（3﹣a）x﹣a是增函數(shù)∴3﹣a＞0，解得a＜3；x≥1時(shí)，f（x）=logax是增函數(shù)，解得a＞1．∵f（1）=loga1=0∴x＜1時(shí)，f（x）＜0∵x=1，（3﹣a）x﹣a=3﹣2a∵x＜1時(shí)，f（x）=（3﹣a）x﹣a遞增∴3﹣2a≤f（1）=0，解得a．所以≤a＜3．故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，易錯(cuò)點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn)處單調(diào)性的處理．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如右圖，有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層)，第2層每邊有2個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有3個(gè)點(diǎn)，…，依此類推，如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它的層數(shù)為__________．參考答案：

8

12.．已知函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略13.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列{an}前15項(xiàng)和為S15的值為

.參考答案：因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，故答案為.

14.關(guān)于函數(shù)有下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②在區(qū)間(－∞,0)上，函數(shù)是減函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最小值為lg2；④在區(qū)間(1,+∞)上，函數(shù)f(x)是增函數(shù)．其中正確命題序號(hào)為_______________．參考答案：①③④15.（5分）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）的值等于=

．參考答案：考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)所給的三角函數(shù)的圖象，可以看出函數(shù)的振幅和周期，根據(jù)周期公式求出ω的值，寫出三角函數(shù)的形式，根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2，2），代入點(diǎn)的坐標(biāo)，整理出初相，點(diǎn)的函數(shù)的解析式，根據(jù)周期是8和特殊角的三角函數(shù)求出結(jié)果．解答： 由圖可知函數(shù)f（x）的振幅A=2，周期為8，∴8=∴ω=y=2sin（x+φ）∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2，2）∴2=2sin（2×+φ）=2sin（+φ）=2cosφ∴cosφ=1∴φ=2kπ當(dāng)k=0時(shí)，φ=0∴三角函數(shù)的解析式是y=2sinx∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）=2sin+2sin+…+2sin=2+2故答案為：2+2點(diǎn)評(píng)： 本題考查根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象確定函數(shù)的解析式，考查特殊角的三角函數(shù)值，本題解題的關(guān)鍵是看出要求結(jié)果的前八項(xiàng)之和等于0，要理解好函數(shù)的中的周期、振幅、初相等概念，本題是一個(gè)中檔題目．16.若a、b是正常數(shù)，a≠b，x、y∈(0，＋∞)，則＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)上式取等號(hào)．利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f(x)＝＋的最小值為________．參考答案：35由題意知，f(x)＝＋，x∈，∵2≠3且均為正常數(shù)，x∈，∴1－2x∈(0,1)，∴＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，即x＝時(shí)等號(hào)成立，即f(x)≥35.17.已知變量滿足則的最大值為__________。參考答案：12三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）設(shè)x、y、zR，且x＋y＋z＝1，求證x2＋y2＋z2≥；（2）設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c（a＞0），方程f(x)－x＝0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，且滿足：0＜x1＜x2＜，若x(0，x1)。求證：x＜f(x)＜x1

參考答案：（1）∵x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz

≤3(x2＋y2＋z2)

∴x2＋y2＋z2≥

（2）令F(x)＝f(x)－x，x1，x2是f(x)－x＝0的根，∴F(x)＝a(x－x1)(x－x2)∵0＜x＜x1＜x2＜

∴x－x1＜0，x－x2＜0

a＞0∴F(x)＞0

即x＜f(x)另一方面：x1－f(x)＝x1－[x＋F(x)]＝x1－x－a(x－x1)(x－x2)＝(x1－x)[1＋a(x－x2)]∵0＜x＜x1＜x2＜∴x1－x＞0

1＋a(x－x2)＝1＋ax－ax2＞1－ax2＞0∴x1－f(x)＞0

∴f(x)＜x1綜上可得：x＜f(x)＜x119.如圖1所示，在等腰梯形ABCD，，，垂足為E，，．將沿EC折起到的位置，使平面平面，如圖2所示，點(diǎn)G為棱的中點(diǎn)．（1）求證：BG∥平面；（2）求證：AB⊥平面；（3）求三棱錐的體積．參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【詳解】（1）在如圖的等腰梯形內(nèi)，過作的垂線，垂足為，∵，∴，又∵，，，∴四邊形為正方形，且，為中點(diǎn)．在如圖中，連結(jié)，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．又∵，，，平面，，平面，∴平面平面，又∵面，∴平面；（2）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面．又∵平面，∴．又，，，滿足，∴．又，平面；（3）∵，，，∴面．又線段為三棱錐底面的高，∴．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．20.（16分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為g（a）．（1）若，解關(guān)于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．參考答案：考點(diǎn)： 二倍角的正弦；兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的最值．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： （1）當(dāng)，由方程f（x）=1，可得sinxcosx+sinx+cosx=1．令t=sinx+cosx，則t2=1+2sinxcosx，方程可化為t2+2t﹣3=0，解得t=1，即sinx+cosx=1，即，由此求得x的值的集合．（2）由題意可得t的取值范圍是，g（a）即為函數(shù)m（t）=at2+t﹣a，的最大值．直線是拋物線m（t）的對(duì)稱軸，可分a＞0、a=0、a＜0三種情況，分別求得g（a）．解答： （1）由于當(dāng)，方程f（x）=1，即，即，所以，sinxcosx+sinx+cosx=1（1）．…1分令t=sinx+cosx，則t2=1+2sinxcosx，所以．…3分所以方程（1）可化為t2+2t﹣3=0，解得t=1，t=﹣3（舍去）．…5分所以sinx+cosx=1，即，解得所求x的集合為．…7分（2）令，∴t的取值范圍是．由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=at2+t﹣a，的最大值，…9分∵直線是拋物線m（t）=at2+t﹣a的對(duì)稱軸，∴可分