2021版新高考數(shù)學(xué)：節(jié)二項式定理含答案

/23教學(xué)資料范本2021版新高考數(shù)學(xué)：節(jié)二項式定理含答案編輯：時間：第二節(jié)二項式定理［考點要求］會用—項式定理解決與—項展開式有關(guān)的簡單問題.(對應(yīng)學(xué)生用書第187頁)二項式定理二項式定理：(a+b)n=Cgan+C^an—1b+…+Cnan—rbr+…+Cnbn(nWN*)；通項公式：T”+］=Cnan-rbr，它表示第r+1項；二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)C0C1,…，Cn.二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性增減性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即Ck=Cn-k二項式當(dāng)k<~r(n^N*)時，二項式系數(shù)是遞增的系數(shù)Ck(n^N*)時,二項式系數(shù)是遞減的n當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項C2n取得最大值最大值n_ln+1當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項C2n和C2n相等，同時取得最大值3?各二項式系數(shù)和(a+b)n展開式的各二項式系數(shù)和：C0+CA+C3+Cn=2n，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即cn+cn+c4+^cA+cn+c5+一、思考辨析(正確的打“V”，錯誤的打“X”)⑴Cnan-rbr是(a+b)n的展開式中的第r項.()二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.()(a+b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān).()⑷通項Tr+=Cnan-rbr中的a和b不能互換.()［答案］⑴X⑵X(3)V(4)V二、教材改編(1—2x)4展開式中第3項的二項式系數(shù)為()

A.6B.-6C.24D.-24A[(1—2x)4展開式中第3項的二項式系數(shù)為C2=6.故選A.]二項式(*—2yj5的展開式中x3y2的系數(shù)是()A.5B.-20C.20D.-5A[二項式(2x—2yj5的通項為T”+1=C5(2x)5-r(—2y)r.根據(jù)題意，得5—r=3,(1、3=2解得r=2.所以x3y2的系數(shù)是C2|j丿X(—2)2=5.故選A.]CO019+C1019+C2019C2019的值為C2020+C2020+C2020——C2020的值為()A.B.A.C.2019C.2019D.2019X20202201922019,,宀[原式=22020—1=22019=1.故選A.]4.若(x—1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，貝廿a0+a2+a44.[令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=—1,a°—。1+。2—03+04=16,兩式相加得a0+a2+a4=8.]（對應(yīng)學(xué)生用書第188頁）考點1二項式展開式的通項公式的應(yīng)用形如(a+b)n的展開式問題求二項展開式中的項的3種方法求二項展開式的特定項問題，實質(zhì)是考查通項一般需要建立方程求r,再將r的值代回通項求解，注意r的取值范圍(r=0,1,2,…，n).第m項：此時r+l=m,直接代入通項；常數(shù)項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程；有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程.(1)(20xx?全國卷111右2+J的展開式中14的系數(shù)為()TOC\o"1-5"\h\zA.10B.20C.40D.80⑵若]ax2+*F的展開式中x5的系數(shù)是一80，則實數(shù)a=.(3)(20xx?浙江高考)在二項式(J2+x)9的展開式中，常數(shù)項是；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是.C(2)-2(3)16\/25[(1)T”+]=C5(x2)5—(|J=C52fo-3r，由10—3r=得r=2,所以|4的系數(shù)為C5X22=40.|10-?,令10[ax2+霞『的展開式的通項T”+1=C5(ai2)5-r?x—|10-?,令10一2廠=5,得r=2,所以C5a3=—80,解得a=—2.由題意，Cj2+x)9的通項為T”+]=C9(事2)9-rir(r=0,1,2-9),當(dāng)r=0時，可得常數(shù)項為T]=00(1/2)9=16)/2；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則r=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10共5個項?]已知展開式的某項或其系數(shù)求參數(shù)，可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第k+1項，由特定項得出k值，最后求出其參數(shù).[教師備選例題]1—90C10+902C20—903C30——(一1)k90kCl0——901OC10除以88的余數(shù)是()A.—1B.1C.—87D.87B[1—90C10+902C10—903C10+???+(—1)k9OkCkO+???+9O1oC1O=(1—9O)1o=891o=(88+1)1o=881o+C1O889+???+C9O88+1,V前10項均能被88整除，???余數(shù)是1.]1.在(兀2—4)5的展開式中，含X6的項為.160x6［因為(x2—4)5的展開式的第k+1項為Tk+i=C5(x2)5—k(—4)k=(—4)kC5X10—2k,令10—2k=6,得k=2,所以含x6的項為T3=(—4)2?C2x6=160x6.]2?若(x2+aXj"的展開式中常數(shù)項為16，則實數(shù)a的值為()A.±2B.1C.-2D.+112—3k,12—3k,令12(x2+ax的展開式的通項為Tg1=Ck(x2)6—k?(ar繪解得a=±2,故選A.]—3k=(ar繪解得a=±2,故選A.]故C4?形如(a+b)n(c+d)m的展開式問題求解形如(a+b)n(c+d)m的展開式問題的思路若n,m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展開分別求解.觀察(a+b)(c+d)是否可以合并，如(1+x)5(1—x)7=[(1+x)(1—x)]5(1—x)2=(1—X2)5(1—X)2.分別得到(a+b)n，(c+d)m的通項公式，綜合考慮.(1)(20xx?全國卷I)(l+x2j(1+x)6展開式中X2的系數(shù)為()A.15B.20C.30D.35(2)(1—嗔)6(1+皆)4的展開式中X的系數(shù)是()A.—4B.—3C.3D.4C(2)B[(1)因為(1+x)6的通項為C6xr,所以(l+x2j(1+x)6展開式中含X2的項為1?C6x2和￡?C6X4.6x5因為C6+C4—2C6=2X2x1=30，所以(l+X2j(1+x)6展開式中X2的系數(shù)為30.故選C.(1—\''x)6(1+\,''x)4—[(1ijx)(1+\|'x)]4(1—L''x)2=(1—x)4(1—2\；'x+x).于是(1——摂)6(1+討匚)4的展開式中X的系數(shù)為C4?1+C4?(一1)1?1=—3.]求幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題，可先分別化簡或展開為多項式和的形式，再分類考慮特定項產(chǎn)生的每一種情形，求出相應(yīng)的特定項，最后進行合并即可.l.(x2+2)￡—”5的展開式的常數(shù)項是()A.—3B.—2C.2D.3D［能夠使其展開式中出現(xiàn)常數(shù)項，由多項式乘法的定義可知需滿足：第一個因式取X2項，第二個因式取x2項得X2Xx2XC4(_1)4—5；第一個因式取2，第二個因式取(一1)5得2X(―1)5XC5—_2，故展開式的常數(shù)項是5+(—2)=3，故選D」2.若(x2—a)b+Xj"的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A.￡B.￡C.1D.2D［由題意得D［由題意得(x+Xj"的展開式的通項公式是Tg1=CkO?xio-k?(xr=CkoX10-2k,'"的展開式中含x4(當(dāng)k=3時)，x6(當(dāng)k=X10-2k,Clo,Clo,因此由題意得CIO—aC20=120—45a=30,由此解得a=2,故選D.]形如(a+b+c)n的展開式問題求三項展開式中某些特定項的系數(shù)的方法通過變形先把三項式轉(zhuǎn)化為二項式，再用二項式定理求解.兩次利用二項式定理的通項公式求解.由二項式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項式看作幾個因式之積，要得到特定項看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的

量.4\3+~—4）展開后，常數(shù)項4x是.—X+yf的展開式中，量.4\3+~—4）展開后，常數(shù)項4x是.—X+yf的展開式中，x3y3的系數(shù)是..（用數(shù)字作答）(3)設(shè)(x2—3x+2)5=a0+a]X+a2x2a10x10，則a1等于(廠2)6空—為(1)-160(2)-120(3)-240[(1)1x44—4)23x丿展開式的通項是Ck(\：X)6-k?、田令3—k=0，得k=3.=(—2)k?C6x3-k.所以常數(shù)項是C6（—2）3=—160.2x、622x卜y）表示6個因式x2—-+y的乘積，在這6個因式中，有3個因式X二項式定理研究兩項和的展開式，對于三項式問題，一般是通過合并、拆分或進行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式去求解.(20xx?全國卷I)(x2+x+y)5的展開式中，x5y2項的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60C[法一：利用二項展開式的通項公式求解.(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5，含y2的項為T3=C5(x2+x)3?y2.其中(x2+x)3中含X5的項為C1X4?X=C3x5.所以x5y2項的系數(shù)為C5C3=30.故選C.法二：利用組合知識求解.(x2+x+y)5為5個x2+x+y之積，其中有兩個取y,兩個取x2,一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為C5C3C1=30.故選C.]2.(x——y)6的展開式中含xy的項的系數(shù)為2.A.A.30B.60C.90D.120[展開式中含[展開式中含xy的項來自C6(—y)i(x—)5,(x—)5展開式通項為T”+1=(=(-1)65—：r,令5-3廠=1r=3.(x—-)5展開式中x的系數(shù)為(一1)3C5,所以(x1y)6的展開式中含xy的項的系數(shù)為C1(-1)C3(-1)3=60所以(xB.]考點2二項式系數(shù)的和與各項的系數(shù)和問題賦值法在求各項系數(shù)和中的應(yīng)用(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c^R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.⑵若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,則fx)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+2,偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+』?")—fi(3\n(1)在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為32:1,則x2的系數(shù)為()A.50B.70C.90D.120(2)(20xx?汕頭質(zhì)檢)若(x+2+m)9=a0+a](x+1)+。2(兀+1)2+…+ag(x+1)9,且(a0+a2a8)2—(a1+a3+a9)2=39，則實數(shù)m的值為_(=4n,所以x4⑴C(2)—3或1中，各項系數(shù)和為4n，([(1)令x=1,則|xn的展開式4n又二項式系數(shù)和為2?,所以石=2"=32,解得n=5.二項展開式的通項T1=C5x5-rf'3r+1r33=C53rx5_2r,令5_2r=2,得r=2'所以x2的系數(shù)為C532=90,故選C.(2)令x=0,則(2+m)9=ao+a]+a2a?,令x=—2,則m9=a°—。]+。2—a3+a?,又(a。++0&)2—(。1++ag)2=(a。+。1++°9)(。0—d]+—dg—。9)=39,(2+m)9?m9=39,?°?m(2+m)=3,??m=—3或m=1.](1)利用賦值法求解時，注意各項的系數(shù)是指某一項的字母前面的數(shù)值(包括符號).(2)在求各項的系數(shù)的絕對值的和時，首先要判斷各項系數(shù)的符號，然后將絕對值去掉，再進行賦值.在二項式(1—2x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項的系數(shù)為()A.—960B.960C.1120D.1680C[因為偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為2n-1=128，所以n—1=7，n=8，則展開式共有9項，中間項為第5項，因為(1一2x)8的展開式的通項T”+1=C8(—2x)r=C8(—2)rxr，所以T5=C4(—2)4x4，其系數(shù)為C4(—2)4=1120.]在(1—x)(1+x)4的展開式中，含x2項的系數(shù)是b.若(2—bx)7=a0+a]X+a?x7，貝y。1+。2+…+。7=.—128[在(1—x)(l+x)4的展開式中，含X2項的系數(shù)是b,則b=C2—C4=2.在(2—2x)7=ao+a]Xa7x7中，令x=0得a0=27,令x=1,得a0+a1+a2+a7=0.?°?。1+。2a7=0—27=—128.](a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=3[設(shè)(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,得16(a+1)=。0+。1+。2+。3+。4+。5,①令x=一1,得0=a°—。1+。2—。3+。4一.②①一②，得16(a+1)=2(a1+a3+a5),即展開式中x的奇數(shù)次幕項的系數(shù)之和為a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.]考點3二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的最值問題求二項式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(a+b)n中n的奇偶及二次項系數(shù)的性質(zhì)求解.1.二項式1.二項式n的展開式中D［根據(jù)^3xH的展開式的通項為TD［根據(jù)^3xH的展開式的通項為T”+1=C20?(\/3x)20-r?r=^[3)20-只有第11項的二項式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為()A.3B.5C.6D.7n的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，得n=r?C20?x20-!，要使x的指數(shù)是整數(shù)，需r是3的倍數(shù)，一=°，3,6,9,12,15,18,???x的指數(shù)是整數(shù)的項共有7項.](20xx?南昌模擬)設(shè)m為正整數(shù)，(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值2m_+1為a,(x+y丿展開式的二項式系數(shù)的最大值為b若15a=8b，則m=7[(x+y丿加展開式中二項式系數(shù)的最大值為a=C2m,(x+y丿加+'展開式中二項式系數(shù)的最大值為b=C2m++1,因為15a=8b,所以15C2tn=8C21++1,即15_"!一)!=8m,2mm+1)!!,解得m=7.]已知(1+3x)n的展開式中，后三項的二項式系數(shù)的和等于121,則展開式中二項式系數(shù)最大的項為.C75(3x)7和C15(3x)8[由已知得Cn-2+Cn-1+Cn=121,則*n?(n—1)+n+1=121,即n2+n—240=0,解得n=15(舍去負(fù)值)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為T8=C75(3x)7和T9=C85(3x)8.]二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念.二項式系數(shù)是指cn,cn,…，Cn,它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a,b的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a,b的值有關(guān).項的系數(shù)的最值問題二項展開式系數(shù)最大項的求法如求(a+bx)n(a,b^R)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A,A2，…，An+，且第k項系數(shù)最大，應(yīng)用\Ak>Ak—1,^Ak+1從而解出k來，即得°

3［—題兩空］已知(\；x+x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x—1)“的展開式的二項式系數(shù)和大992，貝V在(2x—勺2"的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為，系數(shù)的絕對值最大的項為.—8064—15360x4［由題意知，22n—2“=992,即(2“一32)(2“+31)=0,故2n=32，解得n=5.由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，(2x—的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，故二項式系數(shù)最大的項為T6=C50(2x)5(—Xf=—8064.設(shè)第k+1項的系數(shù)的絕對值最大,則Tk+1=Ck0?(2x)10—k?1k=(則Tk+1=Ck0?(2x)10—k?ck0±2ck—1,2Ck0三C1+1,C10?210-k三C1ck0±2ck—1,2Ck0三C1+1,,得C10?210-k三C1+111(解得2(k+1)>