廣東省梅州市新新中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省梅州市新新中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量，，若，則（

）A．4

B．-4

C．2

D．-2參考答案：A因?yàn)?/，故，解得，故選A.2.函數(shù)f（x）=（m2-m-1）xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，+∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是

A．-1

B．2

C．3

D．-1或2參考答案：B3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足時(shí)，z=（a≥b＞0）的最大值為1，則a+b的最小值為（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：D【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的最大值，確定最優(yōu)解，然后利用基本不等式進(jìn)行判斷．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=（a≥b＞0）得y=，則斜率k=，則由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，4）時(shí)，直線y=的截距最大，此時(shí)，則a+b=（a+b）（）=1+4+，當(dāng)且僅當(dāng)，即b=2a取等號(hào)此時(shí)不成立，故基本不等式不成立．設(shè)t=，∵a≥b＞0，∴0＜≤1，即0＜t≤1，則1+4+=5+t+在（0，1]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)t=1時(shí)，1+4+=5+t+取得最小值為5+1+4=10．即a+b的最小值為10，故選：D．4.將甲、乙、丙、丁、戊共五位同學(xué)分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學(xué)，若每所大學(xué)至少保送1人，且甲不能被保送到北大，則不同的保送方案共有（

）種.A．114

B．150

C．72

D．100參考答案：D5.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A.或

B.

C.

D.或參考答案：C略6.

已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則Ａ、

Ｂ、Ｃ、

Ｄ、參考答案：D7.一等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么頂角的余弦值為A.

B.

C.

D.參考答案：D設(shè)底邊長(zhǎng)為，則兩腰長(zhǎng)為，則頂角的余弦值微微。選D.8.已知f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，（

）A.

B.

C. D.參考答案：B9.若變量x，y滿足，實(shí)數(shù)z是2x和-4y的等差中項(xiàng)，則z的最大值等于

A．1

B．2 C．3

D．4參考答案：C略10.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)-1最小正周期為,則的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則_______．參考答案：略12.在△ABC中，已知角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且.（1）求的值；（2）若=2，且.參考答案：（理）（1）由已知和正弦定理得從而即因?yàn)?/p>

所以

又故（2）由可得

又

故又∴解得略13.已知α為第二象限角，則

。參考答案：-114.=

；參考答案：15.在中，所對(duì)的邊分別為，若，則面積的最大值為

．參考答案：試題分析：，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)考點(diǎn)：基本不等式求最值【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16.設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù)

.參考答案：試題分析：由已知得，；由得所以有即，解得故答案為：.考點(diǎn)：向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.17.已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)3在點(diǎn)x＝2處有極小值，則常數(shù)c的值為_(kāi)_______

．參考答案：8∵f′(x)＝(x－c)3＋3x(x－c)2，

∴f′(2)＝(2－c)3＋6(2－c)2＝0，解得c＝2或c＝8.

①當(dāng)c＝2時(shí)，f(x)＝x(x－2)3，f′(x)＝(x－2)2(4x－2)．而x＞時(shí)，f′(x)≥0總成立，故f(x)在x＝2處沒(méi)有取得極小值．②當(dāng)c＝8時(shí)，f(x)＝x(x－8)3，f′(x)＝(x－8)2(4x－8)．當(dāng)x＜2時(shí)，f′(x)＜0，x＞2時(shí)，f′(x)＞0，

故x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)，故c＝8符合題意．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并研究其單調(diào)性。參考答案：略19.(本小題滿分14分）已知如圖：平行四邊形ABCD中，，BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(diǎn)．（1）求證：GH∥平面CDE；（2）記，表示四棱錐F-ABCD體積，求的表達(dá)式；（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值．參考答案：（1）證法１：∵,

∴且∴四邊形EFBC是平行四邊形∴H為FC的中點(diǎn)-------------2分又∵G是FD的中點(diǎn)

∴--3分∵平面CDE，平面CDE

∴GH∥平面CDE----4分證法２：連結(jié)EA，∵ADEF是正方形∴G是AE的中點(diǎn)-------1分∴在⊿EAB中，--2分又∵AB∥CD，∴GH∥CD，--3分∵平面CDE，平面CDE

∴GH∥平面CDE----4分（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD

且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.----6分∵BD⊥CD,，

∴FA=2,（）∴＝

∴（）--8分（3）要使取得最大值，只須＝（）取得最大值，∵，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最大值---10分解法１：在平面DBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作于M，連結(jié)EM∵∴平面EMD∴∴是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角-------12分∵當(dāng)取得最大值時(shí)，,∴,∴即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值為.--------------------------14分解法２：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原定，DC所在的直線為ｘ軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，則,∴,,-------12分設(shè)平面ECF與平面ABCD所成的二面角為，平面ECF的法向量由得令得

又∵平面ABCD的法向量為∴∴.-------------------------14分略20.直角梯形中，,,,如圖①把沿BD翻析，使得平面平面（Ⅰ）求證：CDAB；（Ⅱ）若,求四面體CAND的體積參考答案：略21.

已知，．（1）求的值；（2）試猜想的表達(dá)式（用一個(gè)組合數(shù)表示），并證明你的猜想．參考答案：（1）由條件，

①，在①中令，得．

………………1分在①中令，得，得．

………………2分在①中令，得，得．

………………3分（2）猜想=（或=）．

………………5分欲證猜想成立，只要證等式成立．方法一：當(dāng)時(shí)，等式顯然成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故．故只需證明．即證．而，故即證

②．由等式可得，左邊的系數(shù)為．而右邊，所以的系數(shù)為．由恒成立可得②成立.綜上，成立.

………………10分方法二：構(gòu)造一個(gè)組合模型，一個(gè)袋中裝有個(gè)小球，其中n個(gè)是編號(hào)為1，2，…，n的白球，其余n－1個(gè)是編號(hào)為1，2，…，n－1的黑球，現(xiàn)從袋中任意摸出n個(gè)小球，一方面，由分步計(jì)數(shù)原理其中含有個(gè)黑球（個(gè)白球）的n個(gè)小球的組合的個(gè)數(shù)為，，由分類計(jì)數(shù)原理有從袋中任意摸出n個(gè)小球的組合的總數(shù)為．另一方面，從袋中個(gè)小球中任意摸出n個(gè)小球的組合的個(gè)數(shù)為．故，即②成立.

余下同方法一.

………………10分方法三：由二項(xiàng)式定理，得

③．兩邊求導(dǎo)，得

④．③×④，得

⑤．左邊的系數(shù)為．右邊的系數(shù)為．由⑤恒成立，可得．故成立.

………………10分22.[選修4-5：不等式選講]（共1小題，滿分0分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（I）若ab≤m恒成立，求m的取值范圍；（II）若≥|2x﹣1|﹣|x+2|恒成立，求x的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）由基本不等式可得；（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|2x﹣1|﹣|x+1|≤4，去絕對(duì)值化為不等式，解不等式可得．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴ab≤（）2=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)“=”成立，由ab≤m恒成立，故m≥；（Ⅱ）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，