《圓錐曲線》答案版

65-《圓錐曲線》三、解答題1.如圖，已知直線L：的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、B在直線上的射影依次為點D、E。（1）若拋物線的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；（2）（理）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。（文）若為x軸上一點,求證:解：（1）易知（2）先探索，當(dāng)m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK中點N,且猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點證明：設(shè)，當(dāng)m變化時首先AE過定點N∴KAN=KEN∴A、N、E三點共線同理可得B、N、D三點共線∴AE與BD相交于定點(文)解：（1）易知（2）(文)設(shè)∴KAN=KEN∴A、N、E三點共線2.如圖所示，已知圓定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，點N的軌跡為曲線E。（1）求曲線E的方程；（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足的取值范圍。解：（1）∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|又∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）為焦點的橢圓且橢圓長軸長為∴曲線E的方程為（2）當(dāng)直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH方程為得由設(shè)又整理得又又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為即所求的取值范圍是APQFOxy3.設(shè)橢圓C：APQFOxy⑴求橢圓C的離心率；⑵若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：相切，求橢圓C的方程.解：⑴設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0）（0，b）知設(shè)，得因為點P在橢圓上，所以整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，,故橢圓的離心率⑵由⑴知，于是F（－a，0），Q△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為4.設(shè)橢圓的離心率為e=（1）橢圓的左、右焦點分別為F1、F2、A是橢圓上的一點，且點A到此兩焦點的距離之和為4,求橢圓的方程.（2）求b為何值時，過圓x2+y2=t2上一點M（2，）處的切線交橢圓于Q1、Q2兩點，而且OQ1⊥OQ2．（1）橢圓的方程為（2）解:過圓上的一點M（2,）處的切線方程為2x+y－6=0. 令，,則 化為5x2－24x+36－2b2=0,由⊿>0得： 由知，,即b=3∈（,+∞），故b=35.已知曲線上任意一點P到兩個定點F1(-，0)和F2(，0)的距離之和為4．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過(0，-2)的直線與曲線交于C、D兩點，且為坐標(biāo)原點），求直線的方程．解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可知動點的軌跡為橢圓，其中，，則．所以動點M的軌跡方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足題意．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，∵，∴．∵，，∴．∴．…①由方程組得．則，，代入①，得．即，解得，或．所以，直線的方程是或．6.已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．（Ⅰ）當(dāng)m＋n>0時，求橢圓離心率的范圍；（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．解：（Ⅰ）設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為（－c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為，．聯(lián)立方程組，解出，即，即（1＋b）（b－c）>0，∴b>c．從而即有，∴．又，∴．（Ⅱ）直線AB與⊙P不能相切．由，＝．如果直線AB與⊙P相切，則·＝－1．解出c＝0或2，與0＜c＜1矛盾，所以直線AB與⊙P不能相切．7.有如下結(jié)論：“圓上一點處的切線方程為”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為A、B.（1）求證：直線AB恒過一定點；（2）當(dāng)點M在的縱坐標(biāo)為1時，求△ABM的面積【解】（1）設(shè)M∵點M在MA上∴①同理可得②由①②知AB的方程為易知右焦點F（）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點F（）（2）把AB的方程∴又M到AB的距離∴△ABM的面積8.已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程； （Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．【解】（Ⅰ）點A代入圓C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．圓C：．設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：，即．∵直線PF1與圓C相切，∴．解得．當(dāng)k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去．當(dāng)k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標(biāo)為－4，∴c＝4．F1（－4，0），F(xiàn)2（4，0）．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．橢圓E的方程為：．（Ⅱ），設(shè)Q（x，y），，．∵，即，而，∴－18≤6xy≤18．則的取值范圍是[0，36]．的取值范圍是[－6，6]．∴的取值范圍是[－12，0]．9.橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，一個頂點為，右焦點與點的距離為。（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率的直線：，使直線與橢圓相交于不同的兩點滿足，若存在，求直線的傾斜角；若不存在，說明理由?！窘狻浚?）依題意，設(shè)橢圓方程為，則其右焦點坐標(biāo)為 ，由，得，即，解得。又∵，∴，即橢圓方程為。（2）由知點在線段的垂直平分線上，由消去得即（*）由，得方程（*）的，即方程（*）有兩個不相等的實數(shù)根。設(shè)、，線段的中點，則，，，即，∴直線的斜率為，由，得，∴，解得：，即，又，故，或，∴存在直線滿足題意，其傾斜角，或。10.橢圓方程為的一個頂點為，離心率。（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓相交于不同的兩點滿足，求。【解】（1）設(shè)，依題意得即 ∴，即橢圓方程為。（2）∴，且點線段的中點，由消去得即（*）由，得方程（*）的，顯然方程（*）有兩個不相等的實數(shù)根。設(shè)、，線段的中點，則，∴，即，∴直線的斜率為，由，得，∴，解得：，11.已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A,C上頂點為B，過F,B,C三點作，其中圓心P的坐標(biāo)為．(1)若橢圓的離心率，求的方程；（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．【解】（1）當(dāng)時，∵，∴，∴，，點,，設(shè)的方程為由過點F,B,C得∴①②③由①②③聯(lián)立解得，，∴所求的的方程為（2）∵過點F,B,C三點，∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，F(xiàn)C的垂直平分線方程為④∵BC的中點為，∴BC的垂直平分線方程為⑤由④⑤得，即∵P在直線上，∴∵∴由得∴橢圓的方程為12.已知直線與曲線交于不同的兩點，為坐標(biāo)原點．（Ⅰ）若，求證：曲線是一個圓；（Ⅱ）若，當(dāng)且時，求曲線的離心率的取值范圍．【解】（Ⅰ）證明：設(shè)直線與曲線的交點為∴即：∴在上∴，∴兩式相減得：∴即：∴曲線是一個圓（Ⅱ）設(shè)直線與曲線的交點為，∴曲線是焦點在軸上的橢圓∴即：將代入整理得：∴，在上∴又∴∴2∴∴∴∴∴∴∴13.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，A是橢圓C上的一點，且，坐標(biāo)原點O到直線的距離為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點，較y軸于點M，若，求直線l的方程．【解】（1）由題設(shè)知由于，則有，所以點A的坐標(biāo)為，故所在直線方程為，所以坐標(biāo)原點O到直線的距離為，又，所以，解得，所求橢圓的方程為．（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，則有，設(shè)，由于，∴，解得又Q在橢圓C上，得，解得，故直線l的方程為或，即或．14.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點的切線方程為為常數(shù)）.（I）求拋物線方程；（II）斜率為的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足，求證線段PM的中點在y軸上；（III）在（II）的條件下，當(dāng)時，若P的坐標(biāo)為（1，－1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)的取值范圍.【解】（I）由題意可設(shè)拋物線的方程為, ∵過點的切線方程為, ∴拋物線的方程為（II）直線PA的方程為, 同理,可得. 又 ∴線段PM的中點在y軸上.（III）由 ∵∠PAB為鈍角，且P,A,B不共線, 即 又∵點A的縱坐標(biāo) ∴當(dāng)時，； 當(dāng) ∴∠PAB為鈍角時點A的坐標(biāo)的取值范圍為15.已知動點A、B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點P在線段AB上，且設(shè)點P的軌跡方程為c。（1）求點P的軌跡方程C；（2）若t=2，點M、N是C上關(guān)于原點對稱的兩個動點（M、N不在坐標(biāo)軸上），點Q坐標(biāo)為求△QMN的面積S的最大值。【解】（1）設(shè)（2）t=2時，16.設(shè)上的兩點，已知，，若且橢圓的離心率短軸長為2，為坐標(biāo)原點.(Ⅰ)求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由解：（Ⅰ）橢圓的方程為（Ⅱ）由題意，設(shè)AB的方程為由已知得：(Ⅲ)（1）當(dāng)直線AB斜率不存在時，即,由得又在橢圓上，所以所以三角形的面積為定值（2）.當(dāng)直線AB斜率存在時：設(shè)AB的方程為y=kx+b所以三角形的面積為定值.17.如圖，F(xiàn)是橢圓(a>b>0)的一個焦點，A,B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l1：相切．（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）過點A的直線l2與圓M交于PQ兩點，且，求直線l2的方程．【解】(1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0)且圓M的方程為(x-c)2+y2=4c2，圓M與直線l1：x+u+3=0相切，∴，解得c=1，∴所求的橢圓方程為(2)點A的坐標(biāo)為(-2，0)，圓M的方程為(x-1)2+y2=4，過點A斜率不存在的直線與圓不相交，設(shè)直線l2的方程為y=k(x+2)，∵，又，∴cos<MP，MQ>=∴∠PMQ=120°，圓心M到直線l2的距離d=，所以，∴k=所求直線的方程為x×2+2=0．18.如圖，橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.【解】（1）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則又∵即∴故橢圓方程為（2）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點，且恰為的垂心，則設(shè)，∵，故，于是設(shè)直線為，由得∵又得即由韋達(dá)定理得解得或（舍）經(jīng)檢驗符合條件ABMOyx19.如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經(jīng)過點.直線交橢圓于兩不同的點.ABMOyx【解】20.設(shè)，點在軸上，點在軸上，且（1）當(dāng)點在軸上運動時，求點的軌跡的方程；（2）設(shè)是曲線上的點，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于點時，求點坐標(biāo).【解】（1）設(shè)，則由得為中點，所以又得，，所以（）（2）由（1）知為曲線的焦點，由拋物線定義知，拋物線上任一點到的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即，所以，根據(jù)成等差數(shù)列，得，直線的斜率為，所以中垂線方程為，又中點在直線上，代入上式得，即，所以點.21.已知點是平面上一動點，且滿足（1）求點的軌跡對應(yīng)的方程；（2）已知點在曲線上，過點作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點？試證明你的結(jié)論.【解】（1）設(shè)（5分）（6分）（9分）（11分）（13分））(15分)22.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點．（1）求橢圓的方程：（2）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；（3）若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．【解】（1）設(shè)橢圓方程為將、、代入橢圓E的方程，得解得.∴橢圓的方程 （2），設(shè)邊上的高為 當(dāng)點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為． 設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因為的周長為定值6．所以， 所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 （3）法一：將直線代入橢圓的方程并整理．得．設(shè)直線與橢圓的交點，由根系數(shù)的關(guān)系，得．直線的方程為：，它與直線的交點坐標(biāo)為同理可求得直線與直線的交點坐標(biāo)為．下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標(biāo)相等：，因此結(jié)論成立．綜上可知．直線與直線的交點住直線上． （16分）法二：直線的方程為：由直線的方程為：，即由直線與直線的方程消去，得 ∴直線與直線的交點在直線上．23.過直角坐標(biāo)平面中的拋物線的焦點作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點。（1）用表示A，B之間的距離；（2）證明：的大小是與無關(guān)的定值，并求出這個值。解：（1）焦點，過拋物線的焦點且傾斜角為的直線方程是由（或)（2）∴的大小是與無關(guān)的定值，24.設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點(1)設(shè)橢圓C上的點到兩點距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點B的軌跡方程(3)設(shè)點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為

試探究的值是否與點P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。[解]：（1）由于點在橢圓上，2=4,橢圓C的方程為焦點坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）（2）設(shè)的中點為B（x,y）則點把K的坐標(biāo)代入橢圓中得線段的中點B的軌跡方程為（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關(guān)于坐標(biāo)原點對稱設(shè)，得==故：的值與點P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)，25.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；（III）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.解：（Ⅰ）∵∵直線相切，∴∴∵橢圓C1的方程是（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF2，∴動點M到定直線的距離等于它到定點F1（1，0）的距離，∴動點M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點的拋物線∴點M的軌跡C2的方程為（Ⅲ）Q（0，0），設(shè)∴∵∴∵，化簡得∴∴當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立∵∴當(dāng)?shù)娜≈捣秶?6.如圖所示，已知橢圓：，、為APQF1MNyOx其左、右焦點，為右頂點，為左準(zhǔn)線，過的直線APQF1MNyOx兩點，且有：（為橢圓的半焦距）（1）求橢圓的離心率的最小值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；（3）若,，求證：、兩點的縱坐標(biāo)之積為定值；解（1）設(shè)直線與橢圓相交于，，因為；故，，由得：①；將代入得：；由題意得：代入①中，并化簡得：因此，，；即橢圓的離心率的最小值為；（2）由得：；APQF1MNAPQF1MNyOx因為，故，所以的取值范圍：（3）的方程為；因為；故，同理：；所以（為定值）27.已知橢圓的左焦點為，左右頂點分別為，上頂點為，過三點作圓，其中圓心的坐標(biāo)為（1）當(dāng)＞時，橢圓的離心率的取值范圍（2）直線能否和圓相切？證明你的結(jié)論解（1）由題意的中垂線方程分別為，于是圓心坐標(biāo)為=＞，即＞即＞所以＞，于是＞即＞，所以＜即＜＜（2）假設(shè)相切，則，，這與＜＜矛盾.故直線不能與圓相切.28.已知點A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖.第22題（I）證明:為定值;第22題（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；(Ⅲ)證明直線PQ恒過一個定點.解：（I）設(shè)點、M、A三點共線， (II)設(shè)∠POM=α，則 由此可得tanα=1. 又(Ⅲ)設(shè)點、B、Q三點共線， 即 即 由（*）式，代入上式，得 由此可知直線PQ過定點E（1，－4）.29.已知橢圓C：上動點到定點,其中的距離的最小值為1.（1）請確定M點的坐標(biāo)（2）試問是否存在經(jīng)過M點的直線,使與橢圓C的兩個交點A、B滿足條件（O為原點）,若存在,求出的方程,若不存在請說是理由。解析：設(shè)，由得故由于且故當(dāng)時，的最小值為此時，當(dāng)時，取得最小值為解得不合題意舍去。綜上所知當(dāng)是滿足題意此時M的坐標(biāo)為（1，0）。（2）由題意知條件等價于，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，與C的交點為，此時，設(shè)的方程為，代入橢圓方程整理得，由于點M在橢圓內(nèi)部故恒成立，由知即，據(jù)韋達(dá)定理得，代入上式得得不合題意。綜上知這樣的直線不存在。30.已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）若線段中點的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；（Ⅱ）在軸上是否存在點，使的值與無關(guān)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入，消去整理得設(shè)則由線段中點的橫坐標(biāo)是，得，解得，適合.注意到是與無關(guān)的常數(shù)，從而有，此時綜上，在軸上存在定點，使為常數(shù).31.直線AB過拋物線的焦點F，并與其相交于A、B兩點。Q是線段AB的中點，M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點．O是坐標(biāo)原點．(I)求的取值范圍；(Ⅱ)過A、B兩點分剮作此撒物線的切線，兩切線相交于N點．求證：∥;(Ⅲ)若P是不為1的正整數(shù)，當(dāng)，△ABN的面積的取值范圍為時，求該拋物線的方程．解:(Ⅰ)由條件得，設(shè)直線AB的方程為則∴由韋達(dá)定理得從而有∴（Ⅱ）拋物線方程可化為∴切線NA的方程為：切線NB的方程為：從而可知N點、Q點的橫坐標(biāo)相同但縱坐標(biāo)不同。∥又由（Ⅰ）知而又（Ⅲ）由由于從而又而而p＞0,∴1≤p≤2又p是不為1的正整數(shù) ∴p=2故拋物線的方程：32.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點為；以、為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.（Ⅰ）當(dāng)時，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由．【解】∵的右焦點∴橢圓的半焦距，又，∴橢圓的長半軸的長，短半軸的長.橢圓方程為.（Ⅰ）當(dāng)時，故橢圓方程為，右準(zhǔn)線方程為：.（Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立得點的坐標(biāo)為.將代入得.設(shè)、，由韋達(dá)定理得，.又，.∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。即點可在圓內(nèi)，圓上或圓外.（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)，由解得：.∴，，又.即的邊長分別是、、.∴時，能使的邊長是連續(xù)的自然數(shù)。33.已知點和動點滿足：,且存在正常數(shù)，使得。（1）求動點P的軌跡C的方程。（2）設(shè)直線與曲線C相交于兩點E，F(xiàn)，且與y軸的交點為D。若求的值。解：（1）在△PAB中，|AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA|·|PB|·cos2θ∴4=（|PA|+|PB|）2－2|PA|·|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）2－4m，∴（|PA|+|PB|=2），即點P的軌跡為橢圓，點P的軌跡C的方程為．（2）由（2m+1）x2+2（m+1）x+1－m2=0設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），D（0，1）則x1+x2=…………①x1·x2=…………②又，∴（x1，y1－1）=（2+）（x2，y2－1）∴x1=（2+）x2…………③將③代入①②得m=或m=－∵m＞0∴m=．34.已知橢圓的右準(zhǔn)線與軸相交于點，右焦點到上頂點的距離為，點是線段上的一個動點.（I）求橢圓的方程;(Ⅱ)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點,使得,并說明理由.解：(1)由題意可知，又，解得，橢圓的方程為；（2）由（1）得，所以.假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)的方程為，代入，得，設(shè)，則①，，而的方向向量為,;當(dāng)時,,即存在這樣的直線;當(dāng)時,不存在,即不存在這樣的直線.35.已知橢圓C：(.（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點的直線與橢圓C交于不同的兩點，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率k的取值范圍;（3）如圖，過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點，設(shè)原點到四邊形一邊的距離為，試求時滿足的條件.解：（1）（2）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l：由得.,（1）又由∴所以（2）由（1）（2）得。（3）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等。當(dāng)P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為，由d=1得，當(dāng)P不在y軸上時，設(shè)直線PS的斜率為k，，則直線RQ的斜率為，由，得(1)，同理(2)在Rt△OPQ中，由，即所以，化簡得，，即。綜上，d=1時a,b滿足條件36.已知若過定點、以()為法向量的直線與過點以為法向量的直線相交于動點．(1)求直線和的方程;(2)求直線和的斜率之積的值，并證明必存在兩個定點使得恒為定值；(3)在（2）的條件下，若是上的兩個動點，且，試問當(dāng)取最小值時，向量與是否平行，并說明理由?！窘狻浚?）直線的法向量，的方程：，即為；…（2分）直線的法向量，的方程：，即為。（4分）（2）。（6分）設(shè)點的坐標(biāo)為，由，得。（8分）由橢圓的定義的知存在兩個定點，使得恒為定值4。此時兩個定點為橢圓的兩個焦點。（10分）（3）設(shè)，，則，，由，得。（12分）；當(dāng)且僅當(dāng)或時，取最小值。（14分），故與平行。（16分）37.已知點,點(其中)，直線、都是圓的切線．（Ⅰ）若面積等于6，求過點的拋物線的方程；（Ⅱ）若點在軸右邊，求面積的最小值．解：(1)設(shè)，由已知，，設(shè)直線PB與圓M切于點A，又，(2)點B（0，t），點， 進(jìn)一步可得兩條切線方程為：，，，，， ，又時，，面積的最小值為38.我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題。（1）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，試求d1·d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。（2）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線（m、n不同時為0）的距離分別為d1、d2，且直線L與橢圓M相切，試求d1·d2的值。（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。（4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）。解：（1）；聯(lián)立方程；與橢圓M相交。（2）聯(lián)立方程組消去（3）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，且F1、F2在直線L的同側(cè)。那么直線L與橢圓相交的充要條件為：；直線L與橢圓M相切的充要條件為：；直線L與橢圓M相離的充要條件為：證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交命題得證。（4）可以類比到雙曲線：設(shè)F1、F2是雙曲線的兩個焦點，點F1、F2到直線距離分別為d1、d2，且F1、F2在直線L的同側(cè)。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：39.已知點為拋物線的焦點，點是準(zhǔn)線上的動點，直線交拋物線于兩點，若點的縱坐標(biāo)為，點為準(zhǔn)線與軸的交點．（Ⅰ）求直線的方程；（Ⅱ）求的面積范圍；（Ⅲ）設(shè)，，求證為定值．解：（Ⅰ）由題知點的坐標(biāo)分別為，，于是直線的斜率為，所以直線的方程為，即為．（Ⅱ）設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，由得，所以，．于是．點到直線的距離，所以.因為且，于是，所以的面積范圍是．（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得，，于是，（）.所以．所以為定值．40.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；（III）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.解：（Ⅰ）∵∵直線相切，∴∴∵橢圓C1的方程是（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF2，∴動點M到定直線的距離等于它到定點F1（1，0）的距離，∴動點M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點的拋物線∴點M的軌跡C2的方程為（Ⅲ）Q（0，0），設(shè)∴∵∴∵，化簡得∴∴當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立∵∴當(dāng)?shù)娜≈捣秶?1.已知以向量為方向向量的直線過點，拋物線：的頂點關(guān)于直線的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)、是拋物線上的兩個動點，過作平行于軸的直線，直線與直線交于點，若（為坐標(biāo)原點，、異于點），試求點的軌跡方程。解：（1）由題意可得直線：①過原點垂直于的直線方程為②由①、②得∵拋物線的頂點（即原點）關(guān)于直線的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上?！啵鄴佄锞€的方程為（2）設(shè)，，，由，得又，，解得③直線：，即④由③、④及，得點的軌跡方程為42.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點為；以、為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.（Ⅰ）當(dāng)時，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由．解∵的右焦點∴橢圓的半焦距，又，∴橢圓的長半軸的長，短半軸的長.橢圓方程為.（Ⅰ）當(dāng)時，故橢圓方程為，右準(zhǔn)線方程為：.（Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立得點的坐標(biāo)為.將代入得.設(shè)、，由韋達(dá)定理得，.又，.∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。即點可在圓內(nèi)，圓上或圓外.…8′（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)，由解得：.∴，，又.即的邊長分別是、、.∴時，能使的邊長是連續(xù)的自然數(shù)43.設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率且過橢圓右焦點的直線與橢圓C交于兩點.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.(Ⅲ)若AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，MNAB，求證：為定值．解：橢圓的頂點為，即，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題可知,直線與橢圓必相交.①當(dāng)直線斜率不存在時，經(jīng)檢驗不合題意。②設(shè)存在直線為，且，.由得，，，=所以，故直線的方程為或7分（3）設(shè),由（2）可得：|MN|==由消去y，并整理得：，|AB|=，∴為定值44.設(shè)是拋物線的焦點，過點M(－1，0)且以為方向向量的直線順次交拋物線于兩點。（Ⅰ）當(dāng)時，若與的夾角為，求拋物線的方程；（Ⅱ）若點滿足，證明為定值，并求此時△的面積解：（1）當(dāng)時，直線AB的方程為，代入拋物線方程得：，由且得設(shè)A，則故，F(xiàn)，，又，故拋物線方程為（2）直線AB的方程為，代入拋物線方程得，A是線段MB的中點，故即，代入得，，（定值）。則45.已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足.（Ⅰ）當(dāng)點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點，且>1,>0,，求實數(shù)，使，且.解：（Ⅰ）設(shè)點，由得.由,得，即.又點在軸的正半軸上，∴.故點的軌跡的方程是.（Ⅱ）由題意可知為拋物線：的焦點，且、為過焦點的直線與拋物線的兩個交點,所以直線的斜率不為.當(dāng)直線斜率不存在時，得，不合題意；當(dāng)直線斜率存在且不為時，設(shè)，代入得，則，解得.代入原方程得，由于，所以，由,得，∴.46.已知橢圓的右焦點為F，上頂點為A，P為C上任一點，MN是圓的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切。（1）已知橢圓的離心率；（2）若的最大值為49，求橢圓C的方程.解：（1）由題意可知直線l的方程為，因為直線與圓相切，所以=1，既從而（2）設(shè)則當(dāng)此時橢圓方程為當(dāng)解得但故舍去。綜上所述，橢圓的方程為圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，它們統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦.類比推廣到有心圓錐曲線：47.已知直線與曲線：交于兩點，的中點為，若直線和(為坐標(biāo)原點)的斜率都存在，則.這個性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.（Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；（Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：過點作直線與橢圓交于兩點，求的中點的軌跡的方程；過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點，是否存在這樣的直線使點為線段的中點？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.解：（Ⅰ）證明設(shè)相減得注意到有即（Ⅱ）①設(shè)由垂徑定理，即化簡得當(dāng)與軸平行時，的坐標(biāo)也滿足方程.故所求的中點的軌跡的方程為；假設(shè)過點P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點，且P為的中點，則由于直線，即，代入曲線的方程得即由得.故當(dāng)時，存在這樣的直線，其直線方程為；當(dāng)時，這樣的直線不存在.48.橢圓的中心為原點，焦點在軸上，離心率，過的直線與橢圓交于、兩點，且，求面積的最大值及取得最大值時橢圓的方程．解：設(shè)橢圓的方程為直線的方程為，，則橢圓方程可化為即，聯(lián)立得（*）有而由已知有，代入得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號由得，將代入（*）式得所以面積的最大值為，取得最大值時橢圓的方程為49.橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在y軸上，離心率e=eq\f(\r(2),2)，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e,直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．（1）求橢圓方程；（2）若，求m的取值范圍．解：（1）設(shè)C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1（a>b>0），設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由條件知a-c＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴a＝1，b＝c＝eq\f(\r(2),2)，故C的方程為：y2＋eq\f(x2,\f(1,2))＝1（2）由eq\x\to(AP)＝λeq\x\to(PB)得eq\x\to(OP)－eq\x\to(OA)＝λ（eq\x\to(OB)－eq\x\to(OP)），（1＋λ）eq\x\to(OP)＝eq\x\to(OA)＋λeq\x\to(OB)，∴λ＋1＝4，λ＝3設(shè)l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,2x2＋y2＝1))得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2x1＋x2＝eq\f(－2km,k2＋2)，x1x2＝eq\f(m2－1,k2＋2)∵eq\x\to(AP)＝3eq\x\to(PB)∴－x1＝3x2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2,x1x2＝－3x\o\al(2,2)))消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（eq\f(－2km,k2＋2)）2＋4eq\f(m2－1,k2＋2)＝0整理得4k2m2＋2m2m2＝eq\f(1,4)時，上式不成立；m2≠eq\f(1,4)時，k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)，因λ＝3∴k≠0∴k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)>0，∴－1<m<－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<m<1容易驗證k2>2m2－2成立，所以即所求m的取值范圍為（－1，－eq\f(1,2)）∪（eq\f(1,2)，1）2009032750.已知點A是拋物線y2＝2px（p>0）上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，準(zhǔn)線l與x軸交于點K，已知｜AK｜＝｜AF｜，三角形AFK的面積等于8．20090327（1）求p的值；（2）過該拋物線的焦點作兩條互相垂直的直線l1，l2，與拋物線相交得兩條弦，兩條弦的中點分別為G，H.求｜GH｜的最小值．解：（Ⅰ）設(shè)，因為拋物線的焦點，則，，而點A在拋物線上，.又故所求拋物線的方程為.6分（2）由，得，顯然直線，的斜率都存在且都不為0.設(shè)的方程為，則的方程為.由得，同理可得.則=.（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）所以的最小值是8.51.已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足.（Ⅰ）當(dāng)點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點，且>1,>0,，求實數(shù)，使，且.解：（Ⅰ）設(shè)點，由得.由,得，即.又點在軸的正半軸上，∴.故點的軌跡的方程是.（Ⅱ）由題意可知為拋物線：的焦點，且、為過焦點的直線與拋物線的兩個交點,所以直線的斜率不為.當(dāng)直線斜率不存在時，得，不合題意；當(dāng)直線斜率存在且不為時，設(shè)，代入得，則，解得.代入原方程得，由于，所以，由,得，∴.52.如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線L在y軸上的截距為m(m≠0)，L交橢圓于A、B兩個不同點。（1）求橢圓的方程；（2）求m的取值范圍；（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。解：（1）設(shè)橢圓方程為,則.∴橢圓方程為（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m,又KOM=,，聯(lián)立方程有，∵直線l與橢圓交于A．B兩個不同點，（3）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè)，則由而故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.53.已知橢圓上的點到右焦點F的最小距離是，到上頂點的距離為，點是線段上的一個動點.（I）求橢圓的方程;(Ⅱ)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點,使得,并說明理由.解析：(1)由題意可知且，解得，橢圓的方程為；（2）由（1）得，所以.假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)的方程為，代入，得，設(shè)，則①，，而的方向向量為,;當(dāng)時,,即存在這樣的直線;當(dāng)時,不存在,即不存在這樣的直線54.已知橢圓的上、下焦點分別為，點為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，滿足（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，求直線的方程：（3）在直線上否存在點，過該點作曲線的兩條切線，切點分別為，使得，若存在，求出該點的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由。解：（1）因為為橢圓的上、下焦點，所以設(shè)。所以因為所以，整理可得所以所求動點的軌跡的方程為（2）（法一）設(shè)過點所作曲線的切線的斜率為，則切線方程為由可得：，所以或過點所作曲線的切線方程為和由和可分別解得：和所以直線的方程的方程為：（法二）設(shè)過點所作曲線的兩切線的切點為，則記則，則兩條切線的方程為即和即：因為兩條切線均經(jīng)過點，所以且所以直線的方程的方程為：（3）若存在，不妨設(shè)其坐標(biāo)為，過點所作曲線的切線斜率為，則切線方程為，即由可得：因為直線和拋物線相切，所以設(shè)兩條切線的斜率分別為，則因為所以所以兩條切線垂直所以所以所以在直線上是存在點滿足題意。55.已知拋物線的焦點為是拋物線上的兩動點，且過兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為（1）證明線段被軸平分（2）計算的值（3）求證解：（1）設(shè)由得直線的方程為：;直線的方程為：解方程組得由已知，三點共線，設(shè)直線的方程為：與拋物線方程聯(lián)立消可得：所以點的縱坐標(biāo)為-2，所以線段中點的縱坐標(biāo)O即線段被軸平分。（2）=0而所以在直角中，由影射定理即得56.已知是橢圓的頂點（如圖）,直線與橢圓交于異于頂點的兩點,且．若橢圓的離心率是,且．（１）求此橢圓的方程；（２）設(shè)直線和直線的傾斜角分別為．試判斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．解：（１）由已知可得，所以橢圓方程為．（２）是定值．理由如下： 由（１），A2（2，0），B（0，1），且//A2B，所以直線的斜率． 設(shè)直線的方程為,， 即，且． ． 又因為， ＝ ． 又是定值．57.已知橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點．ABOMNQF過橢圓的右焦點F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點，與所在的直線交于點Q.ABOMNQF（1）求橢圓的方程：（2）是否存在這樣直線，使得點Q恒在直線上移動？若存在,求出直線方程,若不存在,請說明理由.解析：（1）設(shè)橢圓方程為將、、代入橢圓E的方程，得解得.∴橢圓的方程（也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知類似計分）可知：將直線代入橢圓的方程并整理．得設(shè)直線與橢圓的交點，由根系數(shù)的關(guān)系，得直線的方程為：由直線的方程為：，即由直線與直線的方程消去，得∴直線與直線的交點在直線上．故這樣的直線存在58.已知方向向量為的直線過點和橢圓的右焦點，且橢圓的離心率為．（I）求橢圓的方程；（II）若已知點，點是橢圓上不重合的兩點，且，求實數(shù)的取值范圍．（1）∵直線的方向向量為∴直線的斜率為，又∵直線過點∴直線的方程為∵，∴橢圓的焦點為直線與軸的交點∴橢圓的焦點為∴，又∵∴，∴∴橢圓方程為（2）設(shè)直線MN的方程為由，得設(shè)坐標(biāo)分別為則(1)(2)＞0∴,∵，顯然，且∴∴代入(1)(2)，得∵,得，即解得且.59.已知F1,F2是橢圓C:（a>b>0）的左、右焦點，點P在橢圓上，線段PF2與y軸的交點M滿足。（1）求橢圓C的方程。（2）橢圓C上任一動點M關(guān)于直線y=2x的對稱點為M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范圍。解：（1）由已知，點P在橢圓上∴有①又，M在y軸上，∴M為P、F2的中點，∴.∴由，②解①②,解得（舍去），∴故所求橢圓C的方程為。（2）∵點關(guān)于直線的對稱點為，∴解得∴∵點P在橢圓C:上，∴∴。即的取值范圍為［－10，10］。60.已知均在橢圓上，直線、分別過橢圓的左右焦點、，當(dāng)時，有.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)是橢圓上的任一點，為圓的任一條直徑，求的最大值.解:(Ⅰ)因為，所以有所以為直角三角形；則有所以，又，在中有即，解得所求橢圓方程為(Ⅱ)從而將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值是橢圓上的任一點，設(shè)，則有即又，所以而,所以當(dāng)時，取最大值故的最大值為61.已知離心率為的橢圓的中心在原點，焦點在軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為。（I）求橢圓及雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點，連結(jié)交橢圓于點，連結(jié)并延長交橢圓于點，若。求四邊形的面積。解：（I）設(shè)橢圓方程為則根據(jù)題意，雙曲線的方程為且滿足解方程組得橢圓的方程為，雙曲線的方程（Ⅱ）由（I）得設(shè)則由得為的中點，所以點坐標(biāo)為，將坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程，得消去，得解之得或（舍）所以，由此可得所以當(dāng)為時，直線的方程是即，代入，得所以或-5（舍）所以軸。所以62.已知橢圓C，過點M(0,3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B.（Ⅰ）若l與x軸相交于點N，且A是MN的中點，求直線l的方程；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點,且(O為坐標(biāo)原點).求當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍.（Ⅰ）解：設(shè)A(x1,y1)，因為A為MN的中點，且M的縱坐標(biāo)為3，N的縱坐標(biāo)為0，所以，又因為點A(x1,y1)在橢圓C上所以，即，解得，則點A的坐標(biāo)為或，所以直線l的方程為或.（Ⅱ）解：設(shè)直線AB的方程為或，A(x1,y1)，B(x2,y2)，，當(dāng)AB的方程為時，，與題意不符.當(dāng)AB的方程為時：由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，消去y得，所以即，則因為，所以，解得，所以.因為，即，所以當(dāng)時，由，得，上述方程無解，所以此時符合條件的直線不存在；當(dāng)時，，因為點在橢圓上，所以，化簡得，因為，所以，則.綜上，實數(shù)的取值范圍為.63.已知橢圓C，過點M(0,1)的直線l與橢圓C相交于兩點A、B.（Ⅰ）若l與x軸相交于點P，且P為AM的中點，求直線l的方程；（Ⅱ）設(shè)點，求的最大值.（Ⅰ）解：設(shè)A(x1,y1)，因為P為AM的中點，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，所以，解得，又因為點A(x1,y1)在橢圓C上，所以，即，解得，則點A的坐標(biāo)為或，所以直線l的方程為，或.（Ⅱ）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則所以，則當(dāng)直線AB的斜率不存在時，其方程為，，此時；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為，由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，消去y得所以，則，所以，當(dāng)時，等號成立,即此時取得最大值1.綜上，當(dāng)直線AB的方程為或時，有最大值1.64.已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點M。(Ⅰ)求動點M的軌跡的方程；(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設(shè)eq\o(F1P,\s\up7(→))＝eq\o(F1Q,\s\up7(→))，若∈[2，3]，求eq\o(F2P,\s\up7(→))eq\o(F2Q,\s\up7(→))的取值范圍。解：(Ⅰ)設(shè)M，則，由中垂線的性質(zhì)知||=化簡得的方程為（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以為焦