《圓錐曲線》答案版

65-《圓錐曲線》三、解答題1.如圖，已知直線L：的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線上的射影依次為點(diǎn)D、E。（1）若拋物線的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；（2）（理）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。（文）若為x軸上一點(diǎn),求證:解：（1）易知（2）先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交于FK中點(diǎn)N,且猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)證明：設(shè)，當(dāng)m變化時(shí)首先AE過定點(diǎn)N∴KAN=KEN∴A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線∴AE與BD相交于定點(diǎn)(文)解：（1）易知（2）(文)設(shè)∴KAN=KEN∴A、N、E三點(diǎn)共線2.如圖所示，已知圓定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足，點(diǎn)N的軌跡為曲線E。（1）求曲線E的方程；（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足的取值范圍。解：（1）∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|又∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（－1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為∴曲線E的方程為（2）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為得由設(shè)又整理得又又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為即所求的取值范圍是APQFOxy3.設(shè)橢圓C：APQFOxy⑴求橢圓C的離心率；⑵若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：相切，求橢圓C的方程.解：⑴設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0）（0，b）知設(shè)，得因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，,故橢圓的離心率⑵由⑴知，于是F（－a，0），Q△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為4.設(shè)橢圓的離心率為e=（1）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2、A是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A到此兩焦點(diǎn)的距離之和為4,求橢圓的方程.（2）求b為何值時(shí)，過圓x2+y2=t2上一點(diǎn)M（2，）處的切線交橢圓于Q1、Q2兩點(diǎn)，而且OQ1⊥OQ2．（1）橢圓的方程為（2）解:過圓上的一點(diǎn)M（2,）處的切線方程為2x+y－6=0. 令，,則 化為5x2－24x+36－2b2=0,由⊿>0得： 由知，,即b=3∈（,+∞），故b=35.已知曲線上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-，0)和F2(，0)的距離之和為4．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過(0，-2)的直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為橢圓，其中，，則．所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，∵，∴．∵，，∴．∴．…①由方程組得．則，，代入①，得．即，解得，或．所以，直線的方程是或．6.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．（Ⅰ）當(dāng)m＋n>0時(shí)，求橢圓離心率的范圍；（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．解：（Ⅰ）設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為（－c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為，．聯(lián)立方程組，解出，即，即（1＋b）（b－c）>0，∴b>c．從而即有，∴．又，∴．（Ⅱ）直線AB與⊙P不能相切．由，＝．如果直線AB與⊙P相切，則·＝－1．解出c＝0或2，與0＜c＜1矛盾，所以直線AB與⊙P不能相切．7.有如下結(jié)論：“圓上一點(diǎn)處的切線方程為”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B.（1）求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；（2）當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積【解】（1）設(shè)M∵點(diǎn)M在MA上∴①同理可得②由①②知AB的方程為易知右焦點(diǎn)F（）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點(diǎn)F（）（2）把AB的方程∴又M到AB的距離∴△ABM的面積8.已知點(diǎn)P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切．（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程； （Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．【解】（Ⅰ）點(diǎn)A代入圓C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．圓C：．設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：，即．∵直線PF1與圓C相切，∴．解得．當(dāng)k＝時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去．當(dāng)k＝時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為－4，∴c＝4．F1（－4，0），F(xiàn)2（4，0）．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．橢圓E的方程為：．（Ⅱ），設(shè)Q（x，y），，．∵，即，而，∴－18≤6xy≤18．則的取值范圍是[0，36]．的取值范圍是[－6，6]．∴的取值范圍是[－12，0]．9.橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)與點(diǎn)的距離為。（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率的直線：，使直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)滿足，若存在，求直線的傾斜角；若不存在，說明理由?！窘狻浚?）依題意，設(shè)橢圓方程為，則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，由，得，即，解得。又∵，∴，即橢圓方程為。（2）由知點(diǎn)在線段的垂直平分線上，由消去得即（*）由，得方程（*）的，即方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)、，線段的中點(diǎn)，則，，，即，∴直線的斜率為，由，得，∴，解得：，即，又，故，或，∴存在直線滿足題意，其傾斜角，或。10.橢圓方程為的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率。（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)滿足，求?！窘狻浚?）設(shè)，依題意得即 ∴，即橢圓方程為。（2）∴，且點(diǎn)線段的中點(diǎn)，由消去得即（*）由，得方程（*）的，顯然方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)、，線段的中點(diǎn)，則，∴，即，∴直線的斜率為，由，得，∴，解得：，11.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為A,C上頂點(diǎn)為B，過F,B,C三點(diǎn)作，其中圓心P的坐標(biāo)為．(1)若橢圓的離心率，求的方程；（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．【解】（1）當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，，點(diǎn),，設(shè)的方程為由過點(diǎn)F,B,C得∴①②③由①②③聯(lián)立解得，，∴所求的的方程為（2）∵過點(diǎn)F,B,C三點(diǎn)，∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，F(xiàn)C的垂直平分線方程為④∵BC的中點(diǎn)為，∴BC的垂直平分線方程為⑤由④⑤得，即∵P在直線上，∴∵∴由得∴橢圓的方程為12.已知直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）若，求證：曲線是一個(gè)圓；（Ⅱ）若，當(dāng)且時(shí)，求曲線的離心率的取值范圍．【解】（Ⅰ）證明：設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為∴即：∴在上∴，∴兩式相減得：∴即：∴曲線是一個(gè)圓（Ⅱ）設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為，∴曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓∴即：將代入整理得：∴，在上∴又∴∴2∴∴∴∴∴∴∴13.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線l交x軸于點(diǎn)，較y軸于點(diǎn)M，若，求直線l的方程．【解】（1）由題設(shè)知由于，則有，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，故所在直線方程為，所以坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，又，所以，解得，所求橢圓的方程為．（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，則有，設(shè)，由于，∴，解得又Q在橢圓C上，得，解得，故直線l的方程為或，即或．14.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點(diǎn)的切線方程為為常數(shù)）.（I）求拋物線方程；（II）斜率為的直線PA與拋物線的另一交點(diǎn)為A，斜率為的直線PB與拋物線的另一交點(diǎn)為B（A、B兩點(diǎn)不同），且滿足，求證線段PM的中點(diǎn)在y軸上；（III）在（II）的條件下，當(dāng)時(shí)，若P的坐標(biāo)為（1，－1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.【解】（I）由題意可設(shè)拋物線的方程為, ∵過點(diǎn)的切線方程為, ∴拋物線的方程為（II）直線PA的方程為, 同理,可得. 又 ∴線段PM的中點(diǎn)在y軸上.（III）由 ∵∠PAB為鈍角，且P,A,B不共線, 即 又∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo) ∴當(dāng)時(shí)，； 當(dāng) ∴∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)的取值范圍為15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點(diǎn)P在線段AB上，且設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為c。（1）求點(diǎn)P的軌跡方程C；（2）若t=2，點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)Q坐標(biāo)為求△QMN的面積S的最大值?！窘狻浚?）設(shè)（2）t=2時(shí)，16.設(shè)上的兩點(diǎn)，已知，，若且橢圓的離心率短軸長(zhǎng)為2，為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由解：（Ⅰ）橢圓的方程為（Ⅱ）由題意，設(shè)AB的方程為由已知得：(Ⅲ)（1）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即,由得又在橢圓上，所以所以三角形的面積為定值（2）.當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+b所以三角形的面積為定值.17.如圖，F(xiàn)是橢圓(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，A,B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為．點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線l1：相切．（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）過點(diǎn)A的直線l2與圓M交于PQ兩點(diǎn)，且，求直線l2的方程．【解】(1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0)且圓M的方程為(x-c)2+y2=4c2，圓M與直線l1：x+u+3=0相切，∴，解得c=1，∴所求的橢圓方程為(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，圓M的方程為(x-1)2+y2=4，過點(diǎn)A斜率不存在的直線與圓不相交，設(shè)直線l2的方程為y=k(x+2)，∵，又，∴cos<MP，MQ>=∴∠PMQ=120°，圓心M到直線l2的距離d=，所以，∴k=所求直線的方程為x×2+2=0．18.如圖，橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由.【解】（1）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則又∵即∴故橢圓方程為（2）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則設(shè)，∵，故，于是設(shè)直線為，由得∵又得即由韋達(dá)定理得解得或（舍）經(jīng)檢驗(yàn)符合條件ABMOyx19.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).直線交橢圓于兩不同的點(diǎn).ABMOyx【解】20.設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)是曲線上的點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo).【解】（1）設(shè)，則由得為中點(diǎn)，所以又得，，所以（）（2）由（1）知為曲線的焦點(diǎn)，由拋物線定義知，拋物線上任一點(diǎn)到的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即，所以，根據(jù)成等差數(shù)列，得，直線的斜率為，所以中垂線方程為，又中點(diǎn)在直線上，代入上式得，即，所以點(diǎn).21.已知點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；（2）已知點(diǎn)在曲線上，過點(diǎn)作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.【解】（1）設(shè)（5分）（6分）（9分）（11分）（13分））(15分)22.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點(diǎn)．（1）求橢圓的方程：（2）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；（3）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上．【解】（1）設(shè)橢圓方程為將、、代入橢圓E的方程，得解得.∴橢圓的方程 （2），設(shè)邊上的高為 當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為． 設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為定值6．所以， 所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 （3）法一：將直線代入橢圓的方程并整理．得．設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根系數(shù)的關(guān)系，得．直線的方程為：，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：，因此結(jié)論成立．綜上可知．直線與直線的交點(diǎn)住直線上． （16分）法二：直線的方程為：由直線的方程為：，即由直線與直線的方程消去，得 ∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上．23.過直角坐標(biāo)平面中的拋物線的焦點(diǎn)作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)。（1）用表示A，B之間的距離；（2）證明：的大小是與無關(guān)的定值，并求出這個(gè)值。解：（1）焦點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程是由（或)（2）∴的大小是與無關(guān)的定值，24.設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點(diǎn)(1)設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)B的軌跡方程(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為

試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。[解]：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，2=4,橢圓C的方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）（2）設(shè)的中點(diǎn)為B（x,y）則點(diǎn)把K的坐標(biāo)代入橢圓中得線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)，得==故：的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)，25.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（III）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足求的取值范圍.解：（Ⅰ）∵∵直線相切，∴∴∵橢圓C1的方程是（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF2，∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F1（1，0）的距離，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線∴點(diǎn)M的軌跡C2的方程為（Ⅲ）Q（0，0），設(shè)∴∵∴∵，化簡(jiǎn)得∴∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∵∴當(dāng)?shù)娜≈捣秶?6.如圖所示，已知橢圓：，、為APQF1MNyOx其左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為左準(zhǔn)線，過的直線APQF1MNyOx兩點(diǎn)，且有：（為橢圓的半焦距）（1）求橢圓的離心率的最小值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若,，求證：、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；解（1）設(shè)直線與橢圓相交于，，因?yàn)?；故，，由得：①；將代入得：；由題意得：代入①中，并化簡(jiǎn)得：因此，，；即橢圓的離心率的最小值為；（2）由得：；APQF1MNAPQF1MNyOx因?yàn)?，故，所以的取值范圍：?）的方程為；因?yàn)?；故，同理：；所以（為定值?7.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過三點(diǎn)作圓，其中圓心的坐標(biāo)為（1）當(dāng)＞時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍（2）直線能否和圓相切？證明你的結(jié)論解（1）由題意的中垂線方程分別為，于是圓心坐標(biāo)為=＞，即＞即＞所以＞，于是＞即＞，所以＜即＜＜（2）假設(shè)相切，則，，這與＜＜矛盾.故直線不能與圓相切.28.已知點(diǎn)A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖.第22題（I）證明:為定值;第22題（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；(Ⅲ)證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn).解：（I）設(shè)點(diǎn)、M、A三點(diǎn)共線， (II)設(shè)∠POM=α，則 由此可得tanα=1. 又(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)、B、Q三點(diǎn)共線， 即 即 由（*）式，代入上式，得 由此可知直線PQ過定點(diǎn)E（1，－4）.29.已知橢圓C：上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn),其中的距離的最小值為1.（1）請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)（2）試問是否存在經(jīng)過M點(diǎn)的直線,使與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足條件（O為原點(diǎn)）,若存在,求出的方程,若不存在請(qǐng)說是理由。解析：設(shè)，由得故由于且故當(dāng)時(shí)，的最小值為此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為解得不合題意舍去。綜上所知當(dāng)是滿足題意此時(shí)M的坐標(biāo)為（1，0）。（2）由題意知條件等價(jià)于，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，與C的交點(diǎn)為，此時(shí)，設(shè)的方程為，代入橢圓方程整理得，由于點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部故恒成立，由知即，據(jù)韋達(dá)定理得，代入上式得得不合題意。綜上知這樣的直線不存在。30.已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（Ⅰ）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；（Ⅱ）在軸上是否存在點(diǎn)，使的值與無關(guān)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入，消去整理得設(shè)則由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，得，解得，適合.注意到是與無關(guān)的常數(shù)，從而有，此時(shí)綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).31.直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F，并與其相交于A、B兩點(diǎn)。Q是線段AB的中點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)．O是坐標(biāo)原點(diǎn)．(I)求的取值范圍；(Ⅱ)過A、B兩點(diǎn)分剮作此撒物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn)．求證：∥;(Ⅲ)若P是不為1的正整數(shù)，當(dāng)，△ABN的面積的取值范圍為時(shí)，求該拋物線的方程．解:(Ⅰ)由條件得，設(shè)直線AB的方程為則∴由韋達(dá)定理得從而有∴（Ⅱ）拋物線方程可化為∴切線NA的方程為：切線NB的方程為：從而可知N點(diǎn)、Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同但縱坐標(biāo)不同。∥又由（Ⅰ）知而又（Ⅲ）由由于從而又而而p＞0,∴1≤p≤2又p是不為1的正整數(shù) ∴p=2故拋物線的方程：32.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解】∵的右焦點(diǎn)∴橢圓的半焦距，又，∴橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，短半軸的長(zhǎng).橢圓方程為.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，故橢圓方程為，右準(zhǔn)線方程為：.（Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)為.將代入得.設(shè)、，由韋達(dá)定理得，.又，.∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。即點(diǎn)可在圓內(nèi)，圓上或圓外.（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，由解得：.∴，，又.即的邊長(zhǎng)分別是、、.∴時(shí)，能使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)。33.已知點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)滿足：,且存在正常數(shù)，使得。（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程。（2）設(shè)直線與曲線C相交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且與y軸的交點(diǎn)為D。若求的值。解：（1）在△PAB中，|AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA|·|PB|·cos2θ∴4=（|PA|+|PB|）2－2|PA|·|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）2－4m，∴（|PA|+|PB|=2），即點(diǎn)P的軌跡為橢圓，點(diǎn)P的軌跡C的方程為．（2）由（2m+1）x2+2（m+1）x+1－m2=0設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），D（0，1）則x1+x2=…………①x1·x2=…………②又，∴（x1，y1－1）=（2+）（x2，y2－1）∴x1=（2+）x2…………③將③代入①②得m=或m=－∵m＞0∴m=．34.已知橢圓的右準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（I）求橢圓的方程;(Ⅱ)是否存在過點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),使得,并說明理由.解：(1)由題意可知，又，解得，橢圓的方程為；（2）由（1）得，所以.假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)的方程為，代入，得，設(shè)，則①，，而的方向向量為,;當(dāng)時(shí),,即存在這樣的直線;當(dāng)時(shí),不存在,即不存在這樣的直線.35.已知橢圓C：(.（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率k的取值范圍;（3）如圖，過原點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到四邊形一邊的距離為，試求時(shí)滿足的條件.解：（1）（2）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l：由得.,（1）又由∴所以（2）由（1）（2）得。（3）由橢圓的對(duì)稱性可知PQSR是菱形，原點(diǎn)O到各邊的距離相等。當(dāng)P在y軸上，Q在x軸上時(shí)，直線PQ的方程為，由d=1得，當(dāng)P不在y軸上時(shí)，設(shè)直線PS的斜率為k，，則直線RQ的斜率為，由，得(1)，同理(2)在Rt△OPQ中，由，即所以，化簡(jiǎn)得，，即。綜上，d=1時(shí)a,b滿足條件36.已知若過定點(diǎn)、以()為法向量的直線與過點(diǎn)以為法向量的直線相交于動(dòng)點(diǎn)．(1)求直線和的方程;(2)求直線和的斜率之積的值，并證明必存在兩個(gè)定點(diǎn)使得恒為定值；(3)在（2）的條件下，若是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，試問當(dāng)取最小值時(shí)，向量與是否平行，并說明理由。【解】（1）直線的法向量，的方程：，即為；…（2分）直線的法向量，的方程：，即為。（4分）（2）。（6分）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得。（8分）由橢圓的定義的知存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得恒為定值4。此時(shí)兩個(gè)定點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。（10分）（3）設(shè)，，則，，由，得。（12分）；當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值。（14分），故與平行。（16分）37.已知點(diǎn),點(diǎn)(其中)，直線、都是圓的切線．（Ⅰ）若面積等于6，求過點(diǎn)的拋物線的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)在軸右邊，求面積的最小值．解：(1)設(shè)，由已知，，設(shè)直線PB與圓M切于點(diǎn)A，又，(2)點(diǎn)B（0，t），點(diǎn)， 進(jìn)一步可得兩條切線方程為：，，，，， ，又時(shí)，，面積的最小值為38.我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題。（1）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，試求d1·d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。（2）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線（m、n不同時(shí)為0）的距離分別為d1、d2，且直線L與橢圓M相切，試求d1·d2的值。（3）試寫出一個(gè)能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。（4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請(qǐng)同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）。解：（1）；聯(lián)立方程；與橢圓M相交。（2）聯(lián)立方程組消去（3）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，且F1、F2在直線L的同側(cè)。那么直線L與橢圓相交的充要條件為：；直線L與橢圓M相切的充要條件為：；直線L與橢圓M相離的充要條件為：證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交命題得證。（4）可以類比到雙曲線：設(shè)F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線距離分別為d1、d2，且F1、F2在直線L的同側(cè)。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：39.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)．（Ⅰ）求直線的方程；（Ⅱ）求的面積范圍；（Ⅲ）設(shè)，，求證為定值．解：（Ⅰ）由題知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，于是直線的斜率為，所以直線的方程為，即為．（Ⅱ）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由得，所以，．于是．點(diǎn)到直線的距離，所以.因?yàn)榍遥谑?，所以的面積范圍是．（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得，，于是，（）.所以．所以為定值．40.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（III）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足求的取值范圍.解：（Ⅰ）∵∵直線相切，∴∴∵橢圓C1的方程是（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF2，∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F1（1，0）的距離，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線∴點(diǎn)M的軌跡C2的方程為（Ⅲ）Q（0，0），設(shè)∴∵∴∵，化簡(jiǎn)得∴∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∵∴當(dāng)?shù)娜≈捣秶?1.已知以向量為方向向量的直線過點(diǎn)，拋物線：的頂點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)、是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作平行于軸的直線，直線與直線交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)，、異于點(diǎn)），試求點(diǎn)的軌跡方程。解：（1）由題意可得直線：①過原點(diǎn)垂直于的直線方程為②由①、②得∵拋物線的頂點(diǎn)（即原點(diǎn)）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上?！啵鄴佄锞€的方程為（2）設(shè)，，，由，得又，，解得③直線：，即④由③、④及，得點(diǎn)的軌跡方程為42.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解∵的右焦點(diǎn)∴橢圓的半焦距，又，∴橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，短半軸的長(zhǎng).橢圓方程為.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，故橢圓方程為，右準(zhǔn)線方程為：.（Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)為.將代入得.設(shè)、，由韋達(dá)定理得，.又，.∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。即點(diǎn)可在圓內(nèi)，圓上或圓外.…8′（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，由解得：.∴，，又.即的邊長(zhǎng)分別是、、.∴時(shí)，能使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)43.設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率且過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.(Ⅲ)若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MNAB，求證：為定值．解：橢圓的頂點(diǎn)為，即，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題可知,直線與橢圓必相交.①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意。②設(shè)存在直線為，且，.由得，，，=所以，故直線的方程為或7分（3）設(shè),由（2）可得：|MN|==由消去y，并整理得：，|AB|=，∴為定值44.設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)M(－1，0)且以為方向向量的直線順次交拋物線于兩點(diǎn)。（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若與的夾角為，求拋物線的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)滿足，證明為定值，并求此時(shí)△的面積解：（1）當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，代入拋物線方程得：，由且得設(shè)A，則故，F(xiàn)，，又，故拋物線方程為（2）直線AB的方程為，代入拋物線方程得，A是線段MB的中點(diǎn)，故即，代入得，，（定值）。則45.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點(diǎn)，且>1,>0,，求實(shí)數(shù)，使，且.解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得.由,得，即.又點(diǎn)在軸的正半軸上，∴.故點(diǎn)的軌跡的方程是.（Ⅱ）由題意可知為拋物線：的焦點(diǎn)，且、為過焦點(diǎn)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn),所以直線的斜率不為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，得，不合題意；當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，代入得，則，解得.代入原方程得，由于，所以，由,得，∴.46.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為C上任一點(diǎn)，MN是圓的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切。（1）已知橢圓的離心率；（2）若的最大值為49，求橢圓C的方程.解：（1）由題意可知直線l的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以=1，既從而（2）設(shè)則當(dāng)此時(shí)橢圓方程為當(dāng)解得但故舍去。綜上所述，橢圓的方程為圓、橢圓、雙曲線都有對(duì)稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，它們統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦.類比推廣到有心圓錐曲線：47.已知直線與曲線：交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若直線和(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率都存在，則.這個(gè)性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.（Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；（Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡的方程；過點(diǎn)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線使點(diǎn)為線段的中點(diǎn)？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.解：（Ⅰ）證明設(shè)相減得注意到有即（Ⅱ）①設(shè)由垂徑定理，即化簡(jiǎn)得當(dāng)與軸平行時(shí)，的坐標(biāo)也滿足方程.故所求的中點(diǎn)的軌跡的方程為；假設(shè)過點(diǎn)P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，且P為的中點(diǎn)，則由于直線，即，代入曲線的方程得即由得.故當(dāng)時(shí)，存在這樣的直線，其直線方程為；當(dāng)時(shí)，這樣的直線不存在.48.橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求面積的最大值及取得最大值時(shí)橢圓的方程．解：設(shè)橢圓的方程為直線的方程為，，則橢圓方程可化為即，聯(lián)立得（*）有而由已知有，代入得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)由得，將代入（*）式得所以面積的最大值為，取得最大值時(shí)橢圓的方程為49.橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=eq\f(\r(2),2)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1-e,直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且．（1）求橢圓方程；（2）若，求m的取值范圍．解：（1）設(shè)C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1（a>b>0），設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由條件知a-c＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴a＝1，b＝c＝eq\f(\r(2),2)，故C的方程為：y2＋eq\f(x2,\f(1,2))＝1（2）由eq\x\to(AP)＝λeq\x\to(PB)得eq\x\to(OP)－eq\x\to(OA)＝λ（eq\x\to(OB)－eq\x\to(OP)），（1＋λ）eq\x\to(OP)＝eq\x\to(OA)＋λeq\x\to(OB)，∴λ＋1＝4，λ＝3設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,2x2＋y2＝1))得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2x1＋x2＝eq\f(－2km,k2＋2)，x1x2＝eq\f(m2－1,k2＋2)∵eq\x\to(AP)＝3eq\x\to(PB)∴－x1＝3x2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2,x1x2＝－3x\o\al(2,2)))消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（eq\f(－2km,k2＋2)）2＋4eq\f(m2－1,k2＋2)＝0整理得4k2m2＋2m2m2＝eq\f(1,4)時(shí)，上式不成立；m2≠eq\f(1,4)時(shí)，k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)，因λ＝3∴k≠0∴k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)>0，∴－1<m<－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<m<1容易驗(yàn)證k2>2m2－2成立，所以即所求m的取值范圍為（－1，－eq\f(1,2)）∪（eq\f(1,2)，1）2009032750.已知點(diǎn)A是拋物線y2＝2px（p>0）上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)K，已知｜AK｜＝｜AF｜，三角形AFK的面積等于8．20090327（1）求p的值；（2）過該拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線l1，l2，與拋物線相交得兩條弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為G，H.求｜GH｜的最小值．解：（Ⅰ）設(shè)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，則，，而點(diǎn)A在拋物線上，.又故所求拋物線的方程為.6分（2）由，得，顯然直線，的斜率都存在且都不為0.設(shè)的方程為，則的方程為.由得，同理可得.則=.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以的最小值是8.51.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點(diǎn)，且>1,>0,，求實(shí)數(shù)，使，且.解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得.由,得，即.又點(diǎn)在軸的正半軸上，∴.故點(diǎn)的軌跡的方程是.（Ⅱ）由題意可知為拋物線：的焦點(diǎn)，且、為過焦點(diǎn)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn),所以直線的斜率不為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，得，不合題意；當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，代入得，則，解得.代入原方程得，由于，所以，由,得，∴.52.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線L在y軸上的截距為m(m≠0)，L交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。（1）求橢圓的方程；（2）求m的取值范圍；（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。解：（1）設(shè)橢圓方程為,則.∴橢圓方程為（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m,又KOM=,，聯(lián)立方程有，∵直線l與橢圓交于A．B兩個(gè)不同點(diǎn)，（3）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè)，則由而故直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.53.已知橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最小距離是，到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（I）求橢圓的方程;(Ⅱ)是否存在過點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),使得,并說明理由.解析：(1)由題意可知且，解得，橢圓的方程為；（2）由（1）得，所以.假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)的方程為，代入，得，設(shè)，則①，，而的方向向量為,;當(dāng)時(shí),,即存在這樣的直線;當(dāng)時(shí),不存在,即不存在這樣的直線54.已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程：（3）在直線上否存在點(diǎn)，過該點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，使得，若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由。解：（1）因?yàn)闉闄E圓的上、下焦點(diǎn)，所以設(shè)。所以因?yàn)樗?，整理可得所以所求?dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（2）（法一）設(shè)過點(diǎn)所作曲線的切線的斜率為，則切線方程為由可得：，所以或過點(diǎn)所作曲線的切線方程為和由和可分別解得：和所以直線的方程的方程為：（法二）設(shè)過點(diǎn)所作曲線的兩切線的切點(diǎn)為，則記則，則兩條切線的方程為即和即：因?yàn)閮蓷l切線均經(jīng)過點(diǎn)，所以且所以直線的方程的方程為：（3）若存在，不妨設(shè)其坐標(biāo)為，過點(diǎn)所作曲線的切線斜率為，則切線方程為，即由可得：因?yàn)橹本€和拋物線相切，所以設(shè)兩條切線的斜率分別為，則因?yàn)樗运詢蓷l切線垂直所以所以所以在直線上是存在點(diǎn)滿足題意。55.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（1）證明線段被軸平分（2）計(jì)算的值（3）求證解：（1）設(shè)由得直線的方程為：;直線的方程為：解方程組得由已知，三點(diǎn)共線，設(shè)直線的方程為：與拋物線方程聯(lián)立消可得：所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)O即線段被軸平分。（2）=0而所以在直角中，由影射定理即得56.已知是橢圓的頂點(diǎn)（如圖）,直線與橢圓交于異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn),且．若橢圓的離心率是,且．（１）求此橢圓的方程；（２）設(shè)直線和直線的傾斜角分別為．試判斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．解：（１）由已知可得，所以橢圓方程為．（２）是定值．理由如下： 由（１），A2（2，0），B（0，1），且//A2B，所以直線的斜率． 設(shè)直線的方程為,， 即，且． ． 又因?yàn)椋? ＝ ． 又是定值．57.已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點(diǎn)．ABOMNQF過橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與所在的直線交于點(diǎn)Q.ABOMNQF（1）求橢圓的方程：（2）是否存在這樣直線，使得點(diǎn)Q恒在直線上移動(dòng)？若存在,求出直線方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.解析：（1）設(shè)橢圓方程為將、、代入橢圓E的方程，得解得.∴橢圓的方程（也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知類似計(jì)分）可知：將直線代入橢圓的方程并整理．得設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根系數(shù)的關(guān)系，得直線的方程為：由直線的方程為：，即由直線與直線的方程消去，得∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上．故這樣的直線存在58.已知方向向量為的直線過點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為．（I）求橢圓的方程；（II）若已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不重合的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）∵直線的方向向量為∴直線的斜率為，又∵直線過點(diǎn)∴直線的方程為∵，∴橢圓的焦點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)∴橢圓的焦點(diǎn)為∴，又∵∴，∴∴橢圓方程為（2）設(shè)直線MN的方程為由，得設(shè)坐標(biāo)分別為則(1)(2)＞0∴,∵，顯然，且∴∴代入(1)(2)，得∵,得，即解得且.59.已知F1,F2是橢圓C:（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，線段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足。（1）求橢圓C的方程。（2）橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)M關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范圍。解：（1）由已知，點(diǎn)P在橢圓上∴有①又，M在y軸上，∴M為P、F2的中點(diǎn)，∴.∴由，②解①②,解得（舍去），∴故所求橢圓C的方程為。（2）∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴解得∴∵點(diǎn)P在橢圓C:上，∴∴。即的取值范圍為［－10，10］。60.已知均在橢圓上，直線、分別過橢圓的左右焦點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，有.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)是橢圓上的任一點(diǎn)，為圓的任一條直徑，求的最大值.解:(Ⅰ)因?yàn)?，所以有所以為直角三角形；則有所以，又，在中有即，解得所求橢圓方程為(Ⅱ)從而將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)，則有即又，所以而,所以當(dāng)時(shí)，取最大值故的最大值為61.已知離心率為的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，雙曲線以橢圓的長(zhǎng)軸為實(shí)軸，短軸為虛軸，且焦距為。（I）求橢圓及雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若。求四邊形的面積。解：（I）設(shè)橢圓方程為則根據(jù)題意，雙曲線的方程為且滿足解方程組得橢圓的方程為，雙曲線的方程（Ⅱ）由（I）得設(shè)則由得為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，將坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程，得消去，得解之得或（舍）所以，由此可得所以當(dāng)為時(shí)，直線的方程是即，代入，得所以或-5（舍）所以軸。所以62.已知橢圓C，過點(diǎn)M(0,3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B.（Ⅰ）若l與x軸相交于點(diǎn)N，且A是MN的中點(diǎn)，求直線l的方程；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.（Ⅰ）解：設(shè)A(x1,y1)，因?yàn)锳為MN的中點(diǎn)，且M的縱坐標(biāo)為3，N的縱坐標(biāo)為0，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)A(x1,y1)在橢圓C上所以，即，解得，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，所以直線l的方程為或.（Ⅱ）解：設(shè)直線AB的方程為或，A(x1,y1)，B(x2,y2)，，當(dāng)AB的方程為時(shí)，，與題意不符.當(dāng)AB的方程為時(shí)：由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，消去y得，所以即，則因?yàn)?，所以，解得，所?因?yàn)?，即，所以?dāng)時(shí)，由，得，上述方程無解，所以此時(shí)符合條件的直線不存在；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，則.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.63.已知橢圓C，過點(diǎn)M(0,1)的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B.（Ⅰ）若l與x軸相交于點(diǎn)P，且P為AM的中點(diǎn)，求直線l的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，求的最大值.（Ⅰ）解：設(shè)A(x1,y1)，因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，所以，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)A(x1,y1)在橢圓C上，所以，即，解得，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，所以直線l的方程為，或.（Ⅱ）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則所以，則當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，其方程為，，此時(shí)；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，消去y得所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立,即此時(shí)取得最大值1.綜上，當(dāng)直線AB的方程為或時(shí)，有最大值1.64.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M。(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；(Ⅱ)過點(diǎn)作直線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)P和Q，設(shè)eq\o(F1P,\s\up7(→))＝eq\o(F1Q,\s\up7(→))，若∈[2，3]，求eq\o(F2P,\s\up7(→))eq\o(F2Q,\s\up7(→))的取值范圍。解：(Ⅰ)設(shè)M，則，由中垂線的性質(zhì)知||=化簡(jiǎn)得的方程為（另：由知曲線是以x軸為對(duì)稱軸，以為焦