2022-2023學(xué)年天津市濱海新區(qū)塘沽高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）一?選擇題1.若直線過點(diǎn)（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為．故選：A．2.三棱錐O﹣ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，且＝，＝，＝，用，，表示，則等于（）A. B.C.） D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B3.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若平面平面，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，，即，所以，解得?故選：C.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得與的關(guān)系式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知所以即．故選：B.5.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可解得答案.【詳解】，A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槭莻€(gè)常數(shù)，所以，B項(xiàng)錯(cuò)誤；，C項(xiàng)錯(cuò)誤；，D項(xiàng)正確.故選：D.6.如圖，在直三棱柱中，已知，D為的中點(diǎn)，，則，所成角的余弦值是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算，，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，設(shè)，所成的角為，則．故選：C7.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.8 B. C. D.與有關(guān)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓：可求得a，由橢圓的定義可得，，并且，進(jìn)而即可求得的周長(zhǎng)．【詳解】由橢圓：，則，即，又橢圓的定義可得，，且，所以的周長(zhǎng)為．故選：C．8.已知雙曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的漸近線及焦點(diǎn)坐標(biāo)得到方程組，解得、，即可得解.【詳解】解：橢圓的焦點(diǎn)為，又雙曲線：的一條漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線方程為.故選：C9.已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前n項(xiàng)和取得最大值時(shí)，n的值（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】求出首項(xiàng)，求出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，故，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值時(shí)，n的值是4，故選：C.10.十二平均律是我國(guó)明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年（公元1584年），他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對(duì)西方音樂產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)正數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，依此規(guī)則，新插入的第3個(gè)數(shù)應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)這13個(gè)數(shù)組成依次遞增的等比數(shù)列為，公比為，則，所以，即，所以新插入的第3個(gè)數(shù)為．故選：A11.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用累乘法即可求得.【詳解】因，所以，上述各式相乘得，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以.故選：D.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且在第一象限，直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸平行的直線與交于點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)度為（）A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義和幾何關(guān)系即可求解.【詳解】根據(jù)題意作出函數(shù)圖像，過點(diǎn)N作準(zhǔn)線l的垂線，由拋物線的定義知，又，所以，所以，又與軸平行，所以由拋物線的定義知，所以三角形為等邊三角形，所以，故選:A.二?填空題13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.14.設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，即，所以，故答案為：2.15.已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)=_____.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合向量基本定理得到方程組，求解方程組即可確定的值.【詳解】由題意可知，存在實(shí)數(shù)滿足：，據(jù)此可得方程組：，求解方程組可得：.故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量基本定理，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率為_______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出雙曲線的漸近線，再用點(diǎn)到直線的距離公式建立的等式計(jì)算作答【詳解】雙曲線的漸近線為：，即，由右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，得：，即，解得，即，又，所以，所以雙曲線的離心率為2，故答案為：2.17.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出中點(diǎn)坐標(biāo)，圓上的點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入圓的方程得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則所以因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以，所以點(diǎn)M的軌跡方程為即，故答案為：.18.已知圓：與圓：相交，則兩個(gè)圓的公共弦方程為______，則兩圓的公共弦長(zhǎng)為______．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空：直接將兩圓聯(lián)立做差可得公共弦方程；第二空：利用垂徑定理可得公共弦長(zhǎng).【詳解】由圓：①與圓：②，②①得，即即兩個(gè)圓的公共弦方程為；兩圓的公共弦長(zhǎng)即為圓：與相交產(chǎn)生的弦長(zhǎng)則弦長(zhǎng)為.故答案為：；.19.若空間中有三點(diǎn)，則到直線的距離為__________；點(diǎn)到平面的距離為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根向量夾角的余弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可以求出第一空，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式即可求出第二問.【詳解】,,所以，，所以所以所以則到直線的距離為設(shè)平面的法向量為，所以，令，解得，所以，，所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.20.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得的n的最小值為___________.【答案】23【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，分奇偶討論，利用并項(xiàng)求和表示其前n項(xiàng)和，再解不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，由解得；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，不合題意，舍去；綜上n的最小值為23.故答案：23．三?解答題21.已知圓經(jīng)過和兩點(diǎn)，且圓心在軸正半軸上.（1）求圓的方程.（2）從點(diǎn)向圓作切線，求切線方程【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸正半軸上，所以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過和兩點(diǎn)，所以；【小問2詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線為，由（1）可知：圓的圓心為，半徑為1，當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，方程為，圓心到直線的距離為1等于半徑，所以直線是該圓的切線；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)為，方程為，因?yàn)橹本€是該圓的切線，所以，即直線的方程為：，綜上所述：切線方程為或.22.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面（2）求直線和平面所成的角的正弦值．（3）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．用向量法判定線面平行以及求空間角【小問1詳解】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．依題意，得，，設(shè)面的法向量，，所以，取，得因?yàn)?，所以．所以．又面．所以面．【小?詳解】，設(shè)面法向量，，所以，取，得．因?yàn)椋裕灾本€和平面所成的角的正弦值為．【小問3詳解】由（1）?（2）可得，所以平面與平面夾角的余弦值為．23.已知正項(xiàng)等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，且既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）設(shè)，記的前項(xiàng)和.若對(duì)于且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可；（3）運(yùn)用錯(cuò)位相減法，結(jié)合數(shù)列最小項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因?yàn)榧仁呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以有，所以，；【小問2詳解】由（1）可知：，所以；【小問3詳解】由（1）可知：，；，，，兩式相減，得：，由，因?yàn)榍液愠闪?，所以由，設(shè)，，當(dāng)且時(shí)，假設(shè)是最小項(xiàng)，則有，而，所以，，所以數(shù)列在且時(shí)，是最小項(xiàng)，因?yàn)閷?duì)于且恒成立，所以有，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.24.已知橢圓，離心率為分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)直線過橢圓的左焦點(diǎn)以及上頂點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，求此時(shí)的弦長(zhǎng).（3）設(shè)直線過點(diǎn)，且與軸垂直，為直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與橢圓相交于異于的點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)與的面積之差取得最大值時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）由題意列出方程組解出即可；（2）根據(jù)的坐標(biāo)，計(jì)算直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，解出,利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可.（3）根據(jù)題意直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程，聯(lián)立解出點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性得出點(diǎn)，在聯(lián)立直線與橢圓方程，解出點(diǎn)，然后求出直線方程，令，得，從而得到，由圖可知：與的面積之差為，利用三角形面積公式寫出，利用基本不等式求出最值，從而得直線的斜率.【小問1詳解】由橢圓的離心率為，所以，①又，②設(shè)過左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線為：，代入中，結(jié)合②化簡(jiǎn)得：，所以過左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為：，③聯(lián)立①②③解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由（1）知所以直線的方程為：，即