高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面向量 第2章向量的數(shù)乘

第2章平面向量向量的線性運(yùn)算2.2.3向量的數(shù)乘A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a(chǎn)－2b B．a(chǎn)C．a(chǎn)－6b D．a(chǎn)－8b解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8答案：D2．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，則以下結(jié)論正確的有()(1)a與－λa的方向相反；(2)|－λa|≥|a|；(3)a與λ2a(4)|－2λa|＝2|λ|·|a|.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：由向量數(shù)乘的幾何意義知(3)(4)正確．答案：B3．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝0.則()\o(AO,\s\up13(→))＝2eq\o(OD,\s\up13(→)) \o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(OD,\s\up13(→))\o(AO,\s\up13(→))＝3eq\o(OD,\s\up13(→)) D．2AO＝eq\o(OD,\s\up13(→))解析：因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，且2eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝0，所以eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝2eq\o(OD,\s\up13(→)).所以2eq\o(OA,\s\up13(→))＋2eq\o(OD,\s\up13(→))＝0.則eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝0，因此eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(OD,\s\up13(→)).答案：B4．化簡(jiǎn)eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b）))的結(jié)果是()A．2a－b B．2b－C．b－a D．a(chǎn)－b解析：原式＝eq\f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)＝eq\f(1,3)(6b－3a)＝2b－a.答案：B5．設(shè)四邊形ABCD中，有eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))且|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|，則這個(gè)四邊形是()A．平行四邊形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形解析：因?yàn)閑q\o(DC,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))，所以AB∥DC且AB≠DC.所以四邊形ABCD是梯形．又|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|，所以四邊形ABCD是等腰梯形．答案：C6．已知|a|＝eq\f(3,5)|b|，b與a的方向相反，若a＝λb，則λ＝________.解析：因?yàn)閨a|＝eq\f(3,5)|b|，b與a的方向相反，所以a＝－eq\f(3,5)b.所以λ＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)7．(2023·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________．解析：因?yàn)棣薬＋b與a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)8．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c為已知向量，則未知向量y＝__________________．解析：由2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)y＋b＝0，即eq\f(7,2)y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)b＝0，所以y＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.答案：eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c9．已知兩個(gè)非零向量e1和e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up13(→))＝2e1＋3e2，eq\o(BC,\s\up13(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝4e1－8e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．證明：因?yàn)閑q\o(BC,\s\up13(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝4e1－8e2，所以eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝10e1＋15e2.又因?yàn)閑q\o(AB,\s\up13(→))＝2e1＋3e2，所以eq\o(BD,\s\up13(→))＝5eq\o(AB,\s\up13(→)).所以eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(BD,\s\up13(→))共線，且有公共點(diǎn)B.所以A，B，D三點(diǎn)共線．B級(jí)能力提升10．已知△ABC和點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(MB,\s\up13(→))＋eq\o(MC,\s\up13(→))＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝meq\o(AM,\s\up13(→))成立，則m＝()A．2B．3C．4D．解析：因?yàn)閑q\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(MB,\s\up13(→))＋eq\o(MC,\s\up13(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝0.從而有eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝－3eq\o(MA,\s\up13(→))＝3eq\o(AM,\s\up13(→))＝meq\o(AM,\s\up13(→))，故有m＝3.答案：B11．已知|a|＝6，b與a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，則實(shí)數(shù)m＝________．解析：eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(6,3)＝2，所以|a|＝2|b|.又a與b的方向相反，所以a＝－2b.所以m＝－2.答案：－212．已知非零向量e1，e2不共線，且eq\o(AB,\s\up13(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up13(→))＝ke1＋8e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝3(e1－e2)．若A，B，D三點(diǎn)共線，試確定實(shí)數(shù)k的值．解：因?yàn)閑q\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝ke1＋8e2＋3(e1－e2)＝(k＋3)e1＋5e2，又A，B，D三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BD,\s\up13(→))，即e1＋e2＝λ[(k＋3)e1＋5e2]，即[λ(k＋3)－1]e1＝(1－5λ)e2.又e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ（k＋3）－1＝0，,1－5λ＝0.))則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,λ＝\f(1,5).))所以k＝2.13．已知e，f為兩個(gè)不共線的向量，且四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up13(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up13(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up13(→))＝－5e－3f.(1)將eq\o(AD,\s\up13(→))用e，f表示；(2)求證：四邊形ABCD為梯形．(1)解：根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，有eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)證明：