主成分分析法例子說課材料

一、主成分(chéngfèn)分析的基本原理假定(jiǎdìng)有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個n×p階的數(shù)據(jù)矩陣（1）

第一頁，共19頁。降維處理(chǔlǐ)！??！當(dāng)p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。降維是用較少的幾個綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量(jǐnliàng)多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨(dú)立的。第二頁，共19頁。定義：記x1，x2，…，xP為原變量(biànliàng)指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量(biànliàng)指標(biāo)(2)

第三頁，共19頁。系數(shù)lij的確定原則：

①zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無關(guān)；②z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者；……zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP，的所有線性組合中方差最大者。則新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第一(dìyī)，第二，…，第m主成分。

第四頁，共19頁。從以上的分析(fēnxī)可以看出，主成分分析(fēnxī)的實(shí)質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2，…，p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的載荷lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）。從數(shù)學(xué)上可以證明，載荷lij分別是相關(guān)矩陣的m個較大的特征值所對應(yīng)的特征向量。第五頁，共19頁。二、計(jì)算(jìsuàn)步驟（一）計(jì)算(jìsuàn)相關(guān)系數(shù)矩陣

rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計(jì)算(jìsuàn)公式為：（3）

（4）

第六頁，共19頁。（二）計(jì)算(jìsuàn)特征值與特征向量：①解特征方程，求出特征值，并使其按大小順序排列；②分別求出對應(yīng)于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示(biǎoshì)向量的第j個分量。第七頁，共19頁。③計(jì)算主成分(chéngfèn)貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率▲貢獻(xiàn)率:▲累計(jì)(lèijì)貢獻(xiàn)率:一般(yībān)取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85—95%的特征值所對應(yīng)的第一、第二、…、第m（m≤p）個主成分。第八頁，共19頁。（6）

④各主成分(chéngfèn)的得分第九頁，共19頁。三、主成分(chéngfèn)分析方法應(yīng)用實(shí)例表1某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元(dānyuán)的有關(guān)數(shù)據(jù)第十頁，共19頁。第十一頁，共19頁。步驟如下：（1）將表1中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式（4）計(jì)算(jìsuàn)相關(guān)系數(shù)矩陣（見表2）。表2相關(guān)系數(shù)矩陣(jǔzhèn)第十二頁，共19頁。（2）由相關(guān)系數(shù)矩陣(jǔzhèn)計(jì)算特征值，以及各個主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率（見表3）。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。第十三頁，共19頁。表3特征值及主成分(chéngfèn)貢獻(xiàn)率第十四頁，共19頁。（3）對于(duìyú)特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量l1，l2，l3。第十五頁，共19頁。表4主成分(chéngfèn)載荷第十六頁，共19頁。①第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。②第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均(rénjūn)占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均(rénjūn)資源量。

分析(fēnxī)：第十七頁，共19頁。顯然(xiǎnrán)，用三個主成分z1、z2、z3代替原來9個變量（x1，x2，…，x9），描述農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可以使問題更進(jìn)一步簡化、明了。③第三主成分