利息論第一章

利息度量利息求解《利息論》第一章第一章利息的基本概念

1-1利息的度量利息:是指在一個借貸關系中，由借款人（Borrower）為了取得一定數(shù)量的資金在一定期限內的使用權，而支付給貸款人（Lender）的報酬。其實質是一定期限內投資資金的價值增值注意：1、利息不一定必須是貨幣形式。2、所有形式的利息都可以通過貨幣價值形式進行度量。怎樣去度量利息?

2《利息論》第一章我們稱:本金(principal)——開始時投資的金額積累值（終值）(accumulatedvalue)——一段時間后的總金額。利息(interest)

——經(jīng)過一段時間后增長的數(shù)額3《利息論》第一章

1.積累函數(shù)(accumulationfunction)a(t)=accumulatedvalueattimetofaninvestmentof1madeattime0.=1+(interestearnedovertheperiod(0,t)on1)2.金額函數(shù)(Amountfunction)或者叫做總量函數(shù):原始投資為k(k>0)在時刻t的積累值A(t).顯然:A(t)=ka(t)=A(0)a(t)A(t)與a(t)有下列性質:t=0時,a(0)=1,A(0)=k兩者在正利息下為增函數(shù),在負利息下為減函數(shù),在0利息下為常數(shù)如果利息連續(xù)計算,他們都是連續(xù)函數(shù).

4《利息論》第一章3.折現(xiàn)函數(shù)為t時的1元錢在0時的現(xiàn)值.為折現(xiàn)因子.這里區(qū)分：積累值、現(xiàn)值、當前值

5《利息論》第一章

4.利息假設某項投資本金為P，為第n個度量期內得到的利息金額，則利用總量函數(shù)有顯然，總利息量為6《利息論》第一章

從利息定義看：只有利息量是否可以完成對該項金融活動的績效分析？多長時間？占用多少資金？績效如何？7《利息論》第一章5.利率(interestrate)單位本金在一個度量期獲得的利息金額。利息率的不同類型：單利與復利實際利率與名義利率利息強度8《利息論》第一章1-2實質利率(effectiverateofinterest)實質（實際）利率——某一度量期的實質利率是指該度量期內得到的利息金額與期初本金的比值。記為如果整個只有一個投資度量期(通常為一年),那么實質利率就用來表示.9《利息論》第一章例1.2.1(P3例1-1)解：顯然利用總量累積函數(shù)有

10《利息論》第一章

1-3單利與復利引例：某企業(yè)今年產(chǎn)量為Q，如果年遞增a則明年產(chǎn)量T？5年后呢T5？

11《利息論》第一章如果我們定義積累函數(shù)分別為：1、則說該項投資是以單利率記息。稱該種計息方式為單利。2、則說該項投資是以復利率記息。稱該種計息方式為復利。注意：常數(shù)單利意味著遞減的實質利率,意味著每一期的利息相等.常數(shù)復利率意味著常數(shù)的實質利率,意味著每一期的利息增加.12《利息論》第一章事實上：1、單利率下第n期實質利率期數(shù)的遞減函數(shù)。2、復利率下第n期實質利率函數(shù)為常數(shù)。13《利息論》第一章單利和復利的三點說明：1、相同數(shù)值的單利和復利在不同時期的大小關系不同事實上，由累積函數(shù)和貝努利不等式2、增長形式不同。單利在同樣長時間增長的絕對金額為常數(shù)；復利是增長的相對金額為常數(shù)；14《利息論》第一章3、以后在沒有特別申明時，都指復利。例1.3.1（書上例1-3,1-4）

解：利用總累積函數(shù)單利時

用復利計算有15《利息論》第一章例1.3.2有這樣一種利息的積累方式,前5年按年復利i計算,后來按年復利2i計算.一人投資1元在0時刻,在第十年末積累到了3.09元,在第20年末積累到了13.62元,問第7年末的積累值?答案:1.9816《利息論》第一章例1.3.3第n個時期末支付1和第2n個時期末支付1的現(xiàn)值之和為1,試確定答案:17《利息論》第一章1-4實質貼現(xiàn)率（effectiverateofdiscount）

實質貼現(xiàn)率為該度量期限內產(chǎn)生的利息金額與期末積累值的比值。記為注意：實質上實質利率是對期末支付利息的度量；而實質貼現(xiàn)率是對期初支付利息的度量。18《利息論》第一章現(xiàn)在，來討論任意一期上的實質貼現(xiàn)率。設為第n期的實質貼現(xiàn)率，則注意：1、在常數(shù)單利率下，各期實質貼現(xiàn)率為2、在常數(shù)復利率下，各期實質貼現(xiàn)率為19《利息論》第一章復利率、貼現(xiàn)率、貼現(xiàn)因子的關系：實質貼現(xiàn)率與實質利率稱為是等價的，如果在相同的初始本金和相同的投資期限內得到相同的終值。對于等價的利率和貼現(xiàn)率有關系：等式20《利息論》第一章2、3、事實上，因為貼現(xiàn)因子4.21復貼現(xiàn)率單貼現(xiàn)率《利息論》第一章例1.4.1書上例1-8例14.2

AdepositofXismadeintoafundwithpaysanannualeffectiveinterestrateof6%for10years.Atsametime,X/2isdepositedintoanotherfundwhichpaysanannualeffectiverateofdiscountofdfor10years.Theamountofinterestearnedoverthe10yearsareequalforbothfund,calculated.Answer:9%

23《利息論》第一章1-5

名義利率和名義貼現(xiàn)率(nominalrateofinterestandnominalrateofdiscount)問題的提出：在金融市場實際運作中，經(jīng)常會遇到不同期限的資金價值分析，比如，人民幣存款利率，就整存整取業(yè)務，以現(xiàn)在為例有3個月、6個月、1年、2年、3年和5年六個檔次，不同存期的利率是如何換算的呢？

24《利息論》第一章有關名義利率的幾個概念利息換算期(interestconversionperiod)月?lián)Q算（convertiblemonthly）季換算（payablequarterly）半年換算（compoundedsemiannually）

名義利率——為一個度量期中付息m次的名義利率.也就是說,名義利率指每1/m個度量期支付實質利息為/m的利息一次。25兩個利率等價概念：初始本金相同，經(jīng)過相同期限后積累值相同《利息論》第一章名義利率與其等價的實質利率之間的關系27《利息論》第一章名義貼現(xiàn)率——類似，可以定義為在一個標準度量期內，換算m次，以實質貼現(xiàn)率/m在每一個1/m期初支付利息一次。同樣，利用等價定義可以得到等價的名義貼現(xiàn)率與實質貼現(xiàn)率之間的關系：28《利息論》第一章名義利率與名義貼現(xiàn)率之間的關系：說明：1、m=n時，2、29《利息論》第一章例1.5.1書上

例1-10例1.5.2書上例1-11例1.5.3Attimet=0,Johndeposits1000intoafundwhichcreditsinterestatanannualinterestrateof10%compoundedsemiannually.Atthesametime,hedepositsPintoadifferentfundwhichcreditsinterestanannualdiscountrateof6%compoundedmonthly.Attimet=20,theamountineachfundareequal.Whatistheannualeffectiveinterestrateearnedonthetotaldeposits1000+Poverthe20years.ANSWER:7.84%30《利息論》講義人民幣存款利率（2012-7-6）31項目名稱年利率（%）活期存款0.35整存整取三個月2.6六個月2.8一年3兩年3.75三年4.25五年4.75《利息論》第一章本講作業(yè)：1,2,3,6,9,10,11,17,19,2032《利息論》第一章1-6利息強度(theforceofinterestorthepowerofinterest利率（貼現(xiàn)率）——單位度量期內利息量；名義利率（名義貼現(xiàn)率）——1/m個標準度量期內利息量的度量；如何度量任何一個時間點上的利息？設一投資項目的累積總量函數(shù)為，到時刻t的利息強度（也叫利息效力或利息力）為：

33《利息論》第一章利息強度的性質：1、是利息在某一確定時間t的強度的度量；表達式的推廣：2、利用導數(shù)的定義有當時,有什么好的結果?4、三個常用表達式34《利息論》第一章另外:35

《利息論》第一章利息強度在定義式上看，可以是變量值，但是在實際應用中多數(shù)為常數(shù)或者在某一期限內為常數(shù),這時利用利息強度可以表示積累函數(shù)為：36《利息論》第一章例1.6.1書上例1-13例1.6.2確定1000元按利息強度5%,投資10年的積累值.答案:1648.7837《利息論》第一章利息強度與其它度量之間的關系38《利息論》第一章3、在利息強度為常數(shù)（從而實際利率為常數(shù)）的情況下，各種利息度量之間的關系：39《利息論》第一章4、證明過程提示：利用等價概念和常數(shù)利息力下的各種關系。40《利息論》第一章例1.6.3

Attimet=0,Donaldputs1000intoafundcreditinginterestatanominaloficompoundsemiannually.Attimet=2,Louisputs1000intoadifferentfundcreditinginterestataforce

forallt.41Attimet=16,theamountsinthetwofundswillbeequal,calculatei.ANSWER:7%《利息論》第一章例1.6.4On1/1/97,KellydepositsXintoabankaccount,theaccountiscreditedwithsimpleinterestattherateof10%peryear.Onthesametime,ToradepositsXintoadifferentbankaccount,theaccountiscreditedinterestusingaforceinterest42

Fromtheendofthe4thyearuntiltheendof8thyear,bothaccountsearnthesamedollaramountofinterest,calculatek.ANSWER:120《利息論》第一章例1.6.5Attimet=0,depositsof10000aremadeintoeachfundXandFundY.FundXaccumulatedatanannualeffectiveinterestrateof5%.FundYaccumulatesatasimpleinterestrateof8%.Attimet,theforceofinterestonthetwofundsareequal.Attimet,theaccumulatedvalueoffundYisgreaterthantheaccumulatedvalueoffundXbyZ,DetermineZ.ANSWER:162543《利息論》第一章例1.6.6書上例1-1444課堂習題1Jillhas＄10000toinvestattimet=0,andtwopossiblewaystoinvestit.InvestmentAhasaforceofinterestequalto0.08/(1+0.08t)attimet.InvestmentBprovidesa5%effectiveannualinterestrate.JillcaninvestanyportionofherprincipalineitherinvestmentAorB,andcantransferanyportionofhermoneybetweenthetwoinvestmentatanytime.WhatisthemaximumamountwhichJillcancalculatebytimet=20?4546IfAndd=0.08then47TheaccumulationfunctionforsimplediscountisIfd=0.04,calculated2.Calculatethenominalrateinterest0.08convertibleonceevery4years,thatisequivalenttoanominalratediscountconvertiblequarterly.48《利息論》第一章1-7價值等式定義：在衡量多個時刻進行利息結算的總價值時，總是首先選取一個比較日期，然后分別將各個時期資金價值累積或貼現(xiàn)到比較期，得到總價值，從而建立的等式叫做“價值等式”或“價值方程”。

outflow在比較日期的現(xiàn)值=inflow在比較日期的現(xiàn)值價值等式四要素：1、本金(principal)2、利率3、投資期4、本金在投資期末積累值49《利息論》第一章價值分析“時間圖”50《利息論》第一章例1.7.1某人愿意立即支付100,第5年末支付200,并在第10年末再付款,以在第8年末得到600,如果名義利率為8%,按每半年轉換,試確定他在第十年末應支付多少?答案：186.76

51《利息論》第一章例1.7.2

Ataneffectiveannualinterestrateofi,eachofthefollowingtwosetofpaymentshavepresentvalueK:(1)Apaymentof121immediatelyandanotherpaymentof121ontheendofoneyear.(2)Apaymentof144attheendoftwoyearsandotherpaymentof144attheendofthreeyears.CalculateK.ANSWER：23252《利息論》第一章

例1.7.3Peterdeposits400intoabankaccountattimet=0.Duringthefirstyear,thebankcreditsinterestatanominalrateof10%compoundedsemiannually.Petermakesanadditionaldepositof42intohisbankaccountattimet=1.Duringthesecondyear,thebankcreditsinterestanaforceofinterest

53ThetotalamountinPeter’saccountattimet=2is552,calcula