固體物理 第6章

固體物理第六章晶體中電子的輸運(yùn)性質(zhì)6.1用緊束縛方法可以導(dǎo)出體心立方晶體s態(tài)電子的能帶為（1）試求能帶頂部和底部的電子有效質(zhì)量；（2）試畫(huà)出沿方向，和的曲線。解：（1）由能帶的表示式及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取最小值，即是能帶底，電子有效質(zhì)量為同理可得其他交叉項(xiàng)的倒數(shù)全為零。而在布里淵區(qū)邊界上的處是能帶頂，電子的有效質(zhì)量為其他交叉項(xiàng)的倒數(shù)也全為零。（2）在能帶底部時(shí)當(dāng)時(shí)它們的曲線如圖所示。6.2已知一維晶體的電子能帶可寫(xiě)成式中是晶格常數(shù)。試求（1）能帶的寬度；（2）電子在波矢的狀態(tài)時(shí)的速度；（3）能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：（1）能帶寬度為由極值條件得上式的唯一解是的解，此式在第一布里淵區(qū)內(nèi)的解為當(dāng)時(shí)，取極小值，且有當(dāng)時(shí)，取極大值，且有由以上可得能帶寬度為（2）由（3）由式，可得電子的速度可求得帶頂和帶底電子的有效質(zhì)量分別為式，6.3設(shè)晶格勢(shì)場(chǎng)對(duì)電子的作用力為，電子受到的外場(chǎng)力為，證明：因?yàn)樽C明：為電子的動(dòng)量，另一方面，加速度

(1)(2)而速度代入(2)式，并應(yīng)用關(guān)系式所以有可得(3)式中為電子的有效質(zhì)量。聯(lián)合(1)(3)兩式，即得6.4證明：對(duì)于能帶中的電子，狀態(tài)和狀態(tài)的速度大小相等，方向相反，即并解釋為什么無(wú)外場(chǎng)時(shí)，晶體總電流等于零。態(tài)的電子速度為證明：(1)于是(2)即因?yàn)槟芰渴遣ㄊ傅呐己瘮?shù)，，代入(2)式，有因此對(duì)比(1)式，即得電子占有某個(gè)狀態(tài)的幾率只同該狀態(tài)的能量有關(guān)。因?yàn)?，電子占有狀態(tài)和狀態(tài)的幾率相同。而由知道，這兩個(gè)狀態(tài)的電子電流互相抵消，因此，無(wú)外場(chǎng)時(shí)，晶體中總電流為零。6.5應(yīng)用緊束縛方法于一維單原子鏈，如只計(jì)及最近鄰原子間的相互作用，(1)證明其s態(tài)電子的能帶為式中，為能帶底部的能量；J為交迭積分.

(2)求能帶的寬度及能帶底部和頂部附近的電子的有效質(zhì)量。證明：結(jié)果可寫(xiě)成(1)（1）在一維情況下，用緊束縛近似討論晶體電子的能量，式中和分別代表參考原子及其最近鄰的位矢。在一維原子鏈中，只有兩個(gè)最近鄰。選取參考原子為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則兩個(gè)最近鄰的位矢可分別記為，此處a為原子間距。由于交迭積分對(duì)兩個(gè)最近鄰是相等的，記為，便得(2)式中代表能帶底的數(shù)值。（2）從上式可知，當(dāng)時(shí)，能量取最大值這就是能帶頂?shù)臄?shù)值，故能帶寬度在能帶底附近，k值很小，，(2)式可寫(xiě)成此處為能帶底部電子的有效質(zhì)量。顯然，，即能帶底部電子的有效質(zhì)量為正值。在能帶頂附近，，代入(2)式，并應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式展開(kāi)，得式中為能帶頂部電子的有效質(zhì)量，因?yàn)?，故，即能帶頂部電子的有效質(zhì)量為負(fù)值。6.6設(shè)二維正三角形晶格中原子間距為a，只計(jì)最近臨電子間的相互作用試根據(jù)緊束縛近似的結(jié)果，求出能量的表達(dá)式，并計(jì)算相應(yīng)的電子速度和有效質(zhì)量各個(gè)分量。若只計(jì)及最近鄰的相互作用，用緊束縛近似法處理晶體中解：s態(tài)電子的能量，其結(jié)果是式中和分別是參考原子及其各個(gè)最近鄰的位矢。在二維正三角形晶格中，有6個(gè)最近鄰(如圖)。如選取參考原子為坐標(biāo)原點(diǎn)，即，6個(gè)最近鄰的坐標(biāo)分別為對(duì)于s態(tài)電子，各個(gè)最近鄰的交迭積分皆相等，xoya，則得令至于速度，可按如下方法求得所以其次，由公式可求得有效質(zhì)量各分量為6.7試根據(jù)5.10題的結(jié)果，求面心立方晶格中能帶底附近電子的有效質(zhì)量。解：能帶底即的最小值對(duì)應(yīng)的為，可得在能帶底處電子的有效質(zhì)量為同理可得其他交叉項(xiàng)的倒數(shù)全為零。6.8已知某簡(jiǎn)立方晶體的晶格常數(shù)為，其價(jià)電子的能帶（1）已測(cè)得能帶頂電子的有效質(zhì)量，試求參數(shù)A；（2）求出能帶寬度；（3）求出布里淵區(qū)中心點(diǎn)附近電子的狀態(tài)密度。解：一、假定A大于0（1）對(duì)于能帶為簡(jiǎn)單立方晶體中的電子，其能帶頂在布里淵區(qū)中心。在布里淵區(qū)中心，電子的有效質(zhì)量為由此可知A=2。（2）電子能帶的能帶底在處。由帶頂和帶底的能量得知能帶寬度為4。（3）在布里淵區(qū)中心附近，令，則上式化為可見(jiàn)在布里淵區(qū)中心附近，等能面是球面。因此，能量和能量?jī)傻饶苊骈g的波矢空間體積為相應(yīng)的量子態(tài)數(shù)目能態(tài)密度二、假定A小于0（1）對(duì)于能帶為簡(jiǎn)單立方晶體中的電子，其能帶頂在第一布里淵區(qū)8個(gè)角頂處在這些點(diǎn)，電子的有效質(zhì)量為由此可知A=-2。（2）電子在能帶頂?shù)哪芰?。在布里淵區(qū)中心能帶底的能量?？梢?jiàn)能帶寬度為4。（3）在布里淵區(qū)中心附近，令，則上式化為可見(jiàn)在布里淵區(qū)中心附近，等能面是球面。因此，能量和能量?jī)傻饶苊骈g的波矢空間體積為相應(yīng)的量子態(tài)數(shù)目能態(tài)密度6.9設(shè)電子的等能面外加磁場(chǎng)相對(duì)于能量橢球主軸的方向余弦分別為。（1）寫(xiě)出電子的運(yùn)動(dòng)方程；（2）證明電子繞磁場(chǎng)回轉(zhuǎn)的頻率可寫(xiě)成其中因?yàn)殡娮拥倪\(yùn)動(dòng)速度解：加速度(1)（1）由于單位時(shí)間內(nèi)電子能量的增加，等于力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功，設(shè)外力為恒力，代入(1)式得把上式寫(xiě)成分量形式：則有(2)同理，(3)式中按題給:容易求得同理，而同理，因此，(2)(3)式所給出的運(yùn)動(dòng)方程便化為(4)當(dāng)存在磁場(chǎng)時(shí)，（2）電子受到洛倫茲力的作用。若相對(duì)于橢球主軸的方向余弦為，(4)式的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成(5)式中，，且由于電子將作周期性的運(yùn)動(dòng)，設(shè)試探解為代入(5)式中得由不全為零的解的條件是解此行列式得所以此處6.10設(shè)電子的等能面式中和分別是橫向和縱向的有效質(zhì)量。證明：（1）當(dāng)磁場(chǎng)在平面上時(shí)，回旋共振頻率（2）當(dāng)磁場(chǎng)在平面并與軸成角時(shí)，回旋共振頻率因?yàn)樽C明：（1）由公式得當(dāng)存在磁場(chǎng)時(shí)，電子受到洛倫茲力則式中代表電子的準(zhǔn)動(dòng)量。若以表示相對(duì)于橢球主軸的方向余弦，寫(xiě)成如下分量式：稍加整理即為則可把上式由于電子應(yīng)作周期性運(yùn)動(dòng)，故取試探解為代入前面方程得有非零解的條件是解之便得電子的回旋頻率當(dāng)磁場(chǎng)在平面上時(shí)，從上式得當(dāng)磁場(chǎng)在(2)平面上并與軸成角時(shí)，于是，，6.11體心立方晶格，原子總數(shù)為N。假設(shè)電子等能面為球面，試求：當(dāng)費(fèi)密面正好與第一布里淵區(qū)的界面相切時(shí)，第一布里淵區(qū)實(shí)際填充的電子數(shù)。解：因此，在第一布里淵區(qū)內(nèi)實(shí)際填充的電子數(shù)應(yīng)等于同布里淵區(qū)的邊界面相切的費(fèi)米球內(nèi)所容納的電子數(shù)。設(shè)體心立方的晶格常數(shù)為a，則其倒格子是基矢為2/a的面心立量相當(dāng)于等能面和布里淵區(qū)的邊界面相切處的能量。在電子等能面是球面的情況下，第一布里淵區(qū)內(nèi)的最高能相切的費(fèi)米球的半徑R將等于布里淵區(qū)中心到最近鄰面心的距離方格子，第一布里淵區(qū)是一個(gè)十二面體，同布里淵區(qū)的邊界面之半，即等于面心立方格子的面對(duì)角線的1/4，因而另一方面，在體心立方晶格中，每個(gè)晶胞包含兩個(gè)原子，每個(gè)原子平均占有體積，包含N個(gè)原子的晶體的總體積因?yàn)榭臻g中狀態(tài)密度為2V，那么，費(fèi)米球內(nèi)容納的電子數(shù)6.12假設(shè)平衡時(shí)電子服從波耳茲曼統(tǒng)計(jì)分布，試應(yīng)用波耳茲曼方程，推導(dǎo)金屬的電導(dǎo)率。解：由波耳茲曼方程可知電子的分布函數(shù)可寫(xiě)成設(shè)想均勻的金屬晶體處于恒定的溫度下，在外電場(chǎng)的作用下形成穩(wěn)定的電流密度。由于式中和偏差不大，可近似用代替。所以根據(jù)泰勒定理，上式可以看成式泰勒展開(kāi)的結(jié)果。由于只是能量的函數(shù)，而是波矢的函數(shù)，故設(shè)金屬的體積為單位體積。電流密度可用垂直于電流方向單位時(shí)間單位面積所通過(guò)的電子數(shù)來(lái)算出，即所以上式積分由于是波矢的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，中的第一部分為零，所以體積元所以電流密度化成附近，這樣上述積分簡(jiǎn)化為在費(fèi)米面上的面積分因?yàn)樗苑e分的貢獻(xiàn)主要來(lái)自如果外電場(chǎng)沿x軸方向，則上式變?yōu)閷⑸鲜脚c立方晶系金屬中電流與電場(chǎng)的關(guān)系式比較可得到立方結(jié)構(gòu)金屬的電導(dǎo)率6.13應(yīng)用上題結(jié)果，求各向同性晶體的電導(dǎo)率的表示式。解：如果金屬電子的等能面是球面，即各向同性，則又知可得各向同性立方晶系金屬的電導(dǎo)率則為(1)證明其s態(tài)電子的能帶為:6.14應(yīng)用緊束縛近似法于一維單原子鏈,如只計(jì)及最近鄰原子間的相互作用,(2)求能帶寬度及能帶頂部和能帶底部附近電子的有效質(zhì)量.(P2725)解:一維:只有兩個(gè)最近鄰:(2)6.15設(shè)二維正三角形晶格中原子間距為a,只計(jì)及最近鄰原子間相互作用,試根據(jù)緊束縛近似的結(jié)果,求出能量的表達(dá)式,并計(jì)算相應(yīng)的電子速度和有效質(zhì)量各個(gè)分量解:有6個(gè)最近鄰原子,其坐標(biāo)為:6.16證明二維正方格子第一布里淵區(qū)角隅處的一個(gè)自由電子的動(dòng)能比該區(qū)側(cè)面中心點(diǎn)處的電子動(dòng)能大1倍.對(duì)于三維簡(jiǎn)單立方晶格,其相應(yīng)的倍數(shù)是多少?CA二維正方格子邊長(zhǎng)為a,則其倒格子邊長(zhǎng)為6.17半導(dǎo)體材料的價(jià)帶基本上填滿了電子(近滿帶)，價(jià)帶中電子能量表示式E(k)=-1.01610-34k2(J)，其中能量頂點(diǎn)取在價(jià)帶頂,這時(shí)若k=1106/cm處電子被激發(fā)到更高的能帶(導(dǎo)帶)，而在該處產(chǎn)生一個(gè)空穴，試求出此空穴的有效質(zhì)量、波矢、準(zhǔn)動(dòng)量、共有化運(yùn)動(dòng)速度和能量。解:(1)波矢：(2)準(zhǔn)動(dòng)量：(3)(4)(5)6.18晶格常量為a的一維晶格，其價(jià)帶頂附近的色散關(guān)為其中，在導(dǎo)帶底附近的色散關(guān)系為求：(1)禁帶寬度；(2)導(dǎo)帶底電子的有效質(zhì)量和價(jià)帶頂空穴的有效質(zhì)量；(3)電子由價(jià)帶頂激發(fā)到導(dǎo)帶底時(shí)，準(zhǔn)動(dòng)量的變化；(4)在外