學(xué)習(xí)情境二項目三課件

項目三地下水向完整井的非穩(wěn)定運動

任務(wù)引入

某縣其經(jīng)濟相對比較落后，為幫助該縣迅速脫貧致富，根據(jù)康平縣位于鐵法煤礦邊緣，其煤炭資源比較豐富的特點，在該縣建設(shè)一發(fā)電有限公司。為解決水源問題，需增加開采地下水資源量9600m3/d，水位降深要求不超過10米。為此委托某工程勘察院在該區(qū)域進行水文地質(zhì)詳勘工作。本次勘察工作區(qū)位于康平縣東北部約8km，工作區(qū)北起石冶玉村，南至齊昌窩堡，西起魏家窩堡，東至東三合堡，面積約為24km2?？辈靺^(qū)如圖：本次勘察的任務(wù)如下：1、查明勘察區(qū)內(nèi)地下水的主要賦存介質(zhì)、第四系松散堆積物的空間分布規(guī)律，巖性及結(jié)構(gòu)特征。2、查明勘察目的層中地下水的埋藏分布規(guī)律、水文地質(zhì)特征及補給、徑流、排泄條件。3、對勘察目的層中的地下水資源進行計算與評價。以上抽水實驗觀測資料的目的是確定水文地質(zhì)參數(shù)（T、u）要解決此問題，所需要的知識如下。根據(jù)抽水試驗分類，本次抽水試驗方法屬于地下水向完整井的非穩(wěn)定運動，包括以下幾種情況：第一種情況：承壓含水層中的完整井流第二種情況：有越流補給的完整井流第三種情況：潛水完整井流任務(wù)1：承壓含水層中的完整井流任務(wù)2：有越流補給的完整井流任務(wù)3：潛水完整井流任務(wù)鏈接：任務(wù)1：承壓含水層中的完整井流一、定流量抽水時的泰斯公式假設(shè)條件：(1)含水層均質(zhì)各向同性，等厚，側(cè)向無限延伸，產(chǎn)狀水平；(2)抽水前天然狀態(tài)下水力坡度為零；(3)完整井定流量抽水，井徑無限?。?4)含水層中水流服從Darcy定律；(5)水頭下降引起的地下水從貯存量中的釋放是瞬時完成的。

在上述假設(shè)條件下，抽水后將形成以井軸為對稱軸的下降漏斗，將坐標原點放在含水層底板抽水井的井軸處，井軸為Z軸，如圖4-1。數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型的解析解：上式為無補給的承壓水完整井定流量非穩(wěn)定流計算公式，也就是著名的Theis公式。式中：s-----為抽水影響范圍內(nèi)，任一點任一時刻的水位降深；Q-----為抽水井的流量；T-----為導(dǎo)水系數(shù)；t-----為自抽水開始到計算時刻的時間；r-----為計算點到抽水井的距離；μ*-----為含水層的貯水系數(shù)。二.流量變化時的計算公式Theis公式是在假定流量固定不變的情況下導(dǎo)出的。這種情況通常只有在抽水試驗時才能做到。實際上，很多生產(chǎn)井的流量是季節(jié)性變化的。如農(nóng)用井在灌溉季節(jié)抽水量大，非灌溉季節(jié)抽水量小。工業(yè)用水也有類似情況，常隨需水量而變化。在這種情況下，怎樣應(yīng)用Theis公式?首先需要繪出生產(chǎn)井的Q=f（t）關(guān)系曲線，即流量過程線。然后將流量過程線概化，用階梯形折線代替原曲線，坐標選擇如圖4-2所示。概化原則是矩形面積等于曲線于橫坐標所圍成的面積。其中，每一個階梯都可視為定流量，應(yīng)用Theis公式。把各階梯流量產(chǎn)生的降深，按疊加原理疊加起來，即得流量變化時水位降深的計算公式。任務(wù)1：拓展當0<t<t1時，水位降深為：當時，水位降深為：圖4-2流量概化呈階梯狀變化圖三.Theis公式的近似表達式

一般生產(chǎn)上允許相對誤差在2%左右。因此，當u≤0.01或u≤0.05時，泰斯公式可近似表示為，即：上式稱為Jacob公式流量階梯狀變化時，當ui≤0.01時，即(4-12)式可近似地表示為：四.對Theis公式及有關(guān)問題討論（拓展，學(xué)生討論）

1.泰斯公式反映的降深變化規(guī)律2.泰斯公式反映的水頭下降速度的變化規(guī)律3.泰斯公式所表達的流量與滲流速度變化規(guī)律4.關(guān)于“影響半徑的問題”常用配線方法：

降深--時間距離配線法：在雙對數(shù)的坐標上繪定s—t/r2

曲線，該曲線的形狀與w(u)—1/u標準曲線相同。因此，保證兩坐標彼此平行并使兩線重合；在曲線上或在曲線以外任選一匹配點，記下對應(yīng)坐標，帶入上式即可求取參數(shù)。降深—時間配線法：①利用觀測孔不同時刻的降深值繪制S—t曲線并與w(u)—標準曲線擬合；②取一匹配點，并記下坐標值[s],[t],[w(u)],[1/u]將這些值帶入（4—1）可求參。降深--距離配線法：①當有三個以上觀測孔的實際資料時，可取t為定值繪制t—r2曲線并與w(u)—標準曲線擬合；②取匹配點記下坐標[s],[r2],w(u)],[u]帶入上式求參。

2.計算步驟(降深--時間距離配線法)①在雙對數(shù)坐標紙上繪制或W(u)-u的標準曲線。②在另一張模數(shù)相同的透明雙對數(shù)紙上繪制實測的s-t/r2曲線或s-t、s-r2曲線。③將實際曲線置于標準曲線上，在保持對應(yīng)坐標軸彼此平行的條件下相對平移，直至兩曲線重合為止（圖4-4）。圖4-4降深-時間距離配線法④任取一匹配點(在曲線上或曲線外均可)，記下匹配點的對應(yīng)坐標值：W(u)，(或u)、(或t、r2)，代入(4-11)，(4-10)式，分別計算有關(guān)參數(shù)。s-法：s-t法：s-r法：配線法的最大優(yōu)點是，可以充分利用抽水試驗的全部觀測資料，避免個別資料的偶然誤差提高計算精度。但也存在一定解：為了全面綜合利用試驗資料，按s-t/r2配線法求參數(shù)，首先根據(jù)表4-2資料計算與s對應(yīng)的t/r2值。依據(jù)這些數(shù)據(jù)在同模數(shù)雙對數(shù)紙上繪制s-t/r2實際資料曲線；將此曲線重疊在W(u)-1/u標準曲線上，在保持對應(yīng)坐標軸彼此平行的條件下，使實際資料曲線與標準曲線盡量擬合(圖4-5)。擬合之后，任選一匹配點A取坐標值：配線法圖4-5

配線法

圖4-6降深-時間配線法圖4-6降深-時間配線法2)Jacob直線圖解法當u≤0.01時，可利用Jacob公式（4-13）計算參數(shù)。首先把它改寫成下列形式：上式表明，s與lg呈線性關(guān)系，斜率為,利用斜率可求出導(dǎo)水系數(shù)T（圖4-7）：

式中，i為直線的斜率，此直線在零降深線上的截距為。把它代入（4-13）有：

因此，于是得：以上是利用綜合資料（多孔長時間觀測資料）求參數(shù)，稱為s-直線圖解法。同理，由（4-13）式還可看出，s-lgt和s-lgr均呈線性關(guān)系，直線的斜率分別為和。因此，如果只有一個觀測孔，可利用s-lgt直線的斜率求導(dǎo)水系數(shù)T，利用該直線在零降深線上截距t0值，求貯水系數(shù)。如果有三個以上觀測孔資料，可利用s-1gr直線的值求。這種方法的優(yōu)點是，既可以避免配線法的隨意性，又能充分利用抽水后期的所有資料。但是，必須滿足u≤0.01或放寬精度要求u≤0.05，即只有在r較小，而t值較大的情況下才能使用；否則，抽水時間短，直線斜率小，截距值小，所得的T值偏大，而μ*值偏小。例4-3：根據(jù)例4-1資料，利用s-lgt/r2直線圖解法計算參數(shù)。解：（1）根據(jù)上述資料，繪制s-lgt/r2曲線(圖4-7)；(2)將s-lgt/r2曲線的直線部分延長，在零降深線上的截距為(t/r2)=0.0092；(3)求直線斜率i。最好取和一個周期相對應(yīng)的降深△s，這就是斜率i。由此得i=△s=1.36；(4)代入有關(guān)公式進行計算：4)水位恢復(fù)試驗如不考慮水頭慣性滯后動態(tài)，水井以流量Q持續(xù)抽水tp時間后停抽恢復(fù)水位，那么在時刻（t>tp）的剩余降深s′(原始水位與停抽后某時刻水位之差)，可理解為流量Q繼續(xù)抽水一直延續(xù)到t時刻的降深和從停抽時刻起以流量Q注水t-tp時間的水位抬升的疊加：兩者均可用Theis公式計算。故有：式中，（4-23）

（4-24）

式(4-24)表明，呈線性關(guān)系，為直線斜率。利用水位恢復(fù)資料繪出曲線，求得其直線段斜率i，由此可以計算參數(shù)T：如已知停抽時刻的水位降深sp，則停抽后任一時刻的水位上升值s*可寫成：式（4-25）表明，s*與呈線性關(guān)系，斜率為。如根據(jù)水位恢復(fù)試驗資料繪出曲線，求出其直線段斜率，也可計算T值。兩者所求T值應(yīng)基本一致。（4-25）

又根據(jù)將求出的代入，可得：利用式(4-26)可求出導(dǎo)壓系數(shù)a,貯水系數(shù)μ*=T/a（4-26）

在側(cè)向無限延伸的承壓含水層中抽水，如果在整個抽水期間保持井中水頭hw或降深sw不變，那么抽水量Q將隨著抽水時間的延續(xù)而逐漸減少；除了抽水井本身以外，含水層中任一點的水頭H也將隨著時間的延續(xù)而逐漸降低。當t→∞時，Q→0，s(r)→sw。一口頂蓋密封住的自流井，會保持原來水頭。在打開井蓋的瞬間，水從井中溢出，水位迅速降低到井口附近。在一定時間內(nèi)，自流井保持一定的水位，流量則逐漸減少。六.定降深井流的計算（知識拓展）對自流井放水來說，基本上屬于這種定降深變流量問題(圖4-8)。坑道放水鉆孔也類似于這種情況。如果其他條件同推導(dǎo)Theis公式時的假設(shè)一樣，則該定解問題的數(shù)學(xué)模型為：圖4-8承壓含水層中定降深抽(放)水試驗這個數(shù)學(xué)模型通過Laplace變換求得其解為：式中，sw為井中降深;為以為變量的函數(shù)，稱為無越流補給承壓含水層定降深井流的降深函數(shù)，其值列于表4-3中；為無量綱徑向距離；無量綱時間。

t>00<r<∞0<r<∞t>0

t>0（4-27）

表4-3函數(shù)A(λ，r)數(shù)值表(略)將（4-27）式對r求導(dǎo)數(shù)并代入Darcy定律，得：(4-28)

式中，Q為隨時間變化的流量;G(λ)為無越流補給承壓含水層定降深井流的流量函數(shù)(表4-4)。表4-4G(λ)數(shù)值表（據(jù)Jacob和Lohman）如果在雙對數(shù)坐標紙上繪制曲線（圖4-9），由此曲線可以看出，隨時間的增加，λ增大，G(λ)減小，流量Q也隨著減小。是一個小于1的函數(shù)。由（4-27）式可以看出，各點降深等于自流井或放水井的降深乘以一個小于1的函數(shù)。這個函數(shù)在同一時刻隨著的增加而減??；在同一斷面上隨著t增加、λ增大而逐漸增加。因此，各點降深在同一時刻隨遠離自流(放水)井而逐漸減小；在同一斷面上隨著時間增加而增大。這是符合實際情況的。利用自流井做放水試驗可以確定水文地質(zhì)參數(shù)，這是一種既簡單又經(jīng)濟的辦法。確定參數(shù)方法的原理和定流量抽水試驗相似。茲介紹如下：1）配線法

對（4-28）式和式兩側(cè)取對數(shù)，有：在雙對數(shù)坐標紙上，Q-t曲線與G(λ)-λ曲線形狀相同，可以利用匹配點坐標G(λ)，Q和t來確定參數(shù)。2）直線圖解法根據(jù)(4-28)式，當時，有下列近似關(guān)系：于是有：或：由上式可以看出，與lgt為線性關(guān)系（圖4-10）。利用斜率i得：將直線延長，交t軸于一點to，利用to點的=0，可計算。圖4-10定降深放水試驗應(yīng)用直線圖解法確定水文地質(zhì)參數(shù)

思考題：1.Theis公式的假設(shè)條件是什么?它的應(yīng)用有沒有局限性?2.有人說降深和時間關(guān)系為一對數(shù)曲線s=a+blgt，您認為有根據(jù)嗎?任務(wù)2：有越流補給的完整井流

越流系統(tǒng)是指包括越流含水層、弱透水層、相鄰含水層的系統(tǒng)。任務(wù)2：假設(shè)條件（水文地質(zhì)條件概化）1.越流系統(tǒng)中每一層都是均質(zhì)的、各向同性的，且無限延伸；含水層底部水平，含水層與弱透水層都是等厚的；2.地下水運動服從達西定律；3.在整個抽水過程中，相鄰含水層水頭保持不變；4.弱透水層的彈性釋水可忽略不計，通過弱透水層的水流可視為垂向一維流；5.抽水含水層的天然水利坡度為零（J=0），抽水時水呈平面徑向流；6.抽水井為完整井，井徑無限小，定流量抽水。相應(yīng)的定解條件為：

對方程求解為：

(4-30)(4-31)

(4-32)

其中，有關(guān)推導(dǎo)過程請參閱文獻。(4-33)式為有越流補給的承壓水完整井公式。其中，為不考慮相鄰弱透水層彈性釋水時越流系統(tǒng)的井函數(shù)，其值列于表4-5中。(4-33)

(4-34)

2公式討論1)降深-時間曲線的形狀將（4-33）式寫成無量綱降深形式：根據(jù)表4-5的井函數(shù)表，繪制曲線（圖4-11).曲線反映出，有越流補給的s-t關(guān)系大致可分為三個階段：圖4-11越流潛水含水層的標準曲線（1）抽水早期，降深曲線同Theis曲線一致。這表明越流尚未進入主含水層，抽水量幾乎全部來自主含水層的彈性釋水。在理論上，相當于=0或B→∞，→W（u）此時和Theis曲線一致。（2）抽水中期，因水位下降變緩而開始偏Theis離曲線，說明越流已經(jīng)開始進入抽水含水層。這時，抽水量由兩部分組成：一是抽水含水層的彈性釋水，二是越流補給，越流含水層的降深比無越流含水層的降深小得越多。（3）抽水后期，s—t曲線趨于水平直線，抽出的水與越流補給持平。表示非穩(wěn)定流趨于穩(wěn)定流。

2）水頭下降速度

與(4-16)式比較可以看出，越流含水層水位下降速度比無越流含水層慢。另外，與無越流含水層一樣，當t足夠大時，在一定的范圍內(nèi)，水位下降速度是相同的。(4-36)

3利用抽水試驗資料確定越流系統(tǒng)的參數(shù)1）配線法用定流量抽水試驗實測的lgs-lgt曲線與標準曲線lg-lgu的形狀是相同的，只是其縱、橫坐標彼此平移了和而已。下面僅簡單地寫出其步驟：（1）在雙對數(shù)坐標紙上繪制標準曲線；（2）在另一同模數(shù)的透明雙對數(shù)坐標紙上，投上s-t實測數(shù)據(jù)；（3）在保持對應(yīng)坐標軸彼此平行的前提下，相對移動兩坐標紙；在一組標準曲線中找出最優(yōu)重合曲線(圖4-12)；（4）兩曲線重合以后，任選一匹配點，記下對應(yīng)的四個坐標值，，ts。將它們分別代入（4-33）和（4-35）式，可以計算含水層的參數(shù)T和μ，即：（5）已知和r，可計算出B值和值：圖4-12越流含水層的配線法2)拐點法（拓展）（1）原理（a）取(4-33)對lgt的導(dǎo)數(shù)，由（4-36）式有故有：從(4-37)可看出，同一觀測孔的s-lgt曲線的斜率變化規(guī)律是由小到大，又由大變到小，存在著拐點?？梢酝ㄟ^s對lgt的二階導(dǎo)數(shù)等于零來確定其位置。設(shè)拐點為P，則：(4-37)

故在拐點有：

解得拐點處的時間tp為：相應(yīng)的u值為：將(4-39)式代回（4-37）式，得拐點處切線的斜率為：

(4-38)

(4-39)(4-40)（b）求拐點處降深：把(4-39)式代入（4-33）式，得：進行變量代換：設(shè)，當y=0，當則

(4-41)

(4-42)

將（4-41）式和（4-42）式相加，得：（4-43）式表明，拐點處降深等于最大降深的一半（圖4-13）。

(4-43)

圖4-13s-lgt曲線（c）建立拐點P處降深sp與斜率ip之間的關(guān)系。用（4-40）式除（4-43）式得：（4-44）式右端的值已列成表4-7表4-7的數(shù)值表（略）應(yīng)用上述原理，根據(jù)某一觀測孔的觀測資料繪出s-lgt曲線，就可計算有關(guān)參數(shù)。（2）步驟：（a）單孔拐點法，有一個觀測孔時：①在單對數(shù)坐標紙上繪制s-lgt曲線，用外推法確定最大降深Smax(圖4-13)，并用（4-43）式計算拐點處降深Sp

(4-44)

②根據(jù)Sp確定拐點位置，并從圖上讀出拐點出現(xiàn)的時間tp。③做拐點P處曲線的切線，并從圖上確定拐點P處的斜率ip。④根據(jù)（4-44），求出有關(guān)數(shù)值后，查表4-7確定和值⑤根據(jù)值求B值：按（4-40）式和（4-38）式分別計算T和值：⑥驗證，因為圖解出的Smax和Sp常有較大的隨意性而引起誤差，所以進行驗證是必要的。將所求得的參數(shù)代入（4-33）式，并給出不同的t值，計算理論深降。然后把它同實測降深比較，如果不吻合，則應(yīng)重新圖解計算。（b）單孔拐點法，有多個觀測孔時：當抽水時間不長，觀測孔降深未趨于穩(wěn)定，不知道或不可能外推求出Sm時，不能用上面介紹的方法。此時可利用下述方法求參數(shù)。根據(jù)（4-40）式有：兩邊同時取對數(shù)：

(4-45)

式（4-45）表明，r與呈線性關(guān)系。如有三個以上的觀測孔資料能繪制出r-lgip曲線時，可以用它來計算參數(shù)。具體步驟如下：①繪每個觀測孔的s-lgt曲線（圖4-140，并從圖上確定每條曲線直線段的斜率近似地代替拐點處的斜率。圖4-15r-曲線圖4-15r-曲線

圖4-14各觀測孔的s-lgt曲線

②根據(jù)各孔的斜率作r-曲線（圖4-15），應(yīng)為一條直線。取該直線的斜率，得：③將r-lgip直線段延長交橫軸于一點，讀得r=0時的（）。把它代入（4-45）式，得：④將所求得的B、T代入(4-43)式，計算出不同觀測孔的拐點處降深：利用從s-lgt曲線上讀得tp值，然后按（4-38）式算出各孔的值：最后取其平均值。任務(wù)3：潛水完整井流(1)潛水井流的導(dǎo)水系數(shù)T=Kh隨距離r和時間t而變化，而承壓水井流T=KM，和r，t無關(guān)；(2)當潛水井流降深較大時，垂向分速度不可忽略，在井附近為三維流。而水平含水層中的承壓水井流垂向分速度可忽略，一般為二維流或可近似地當二維流來處理；(3)從潛水井抽出的水主要來自含水層的重力疏干。重力疏干不能瞬時完成，而是逐漸被排放出來，因而出現(xiàn)明顯地遲后于水位下降的現(xiàn)象。潛水面雖然下降了，但潛水面以上的非飽和帶內(nèi)的水繼續(xù)向下不斷地補給潛水。因此，測出的給水度在抽水期間是以一個遞減的速率逐漸增大的。只有抽水時間足夠長時，給水度才實際上趨于一個常數(shù)值。承壓水井流則不同，抽出的水來自含水層貯存量的釋放，接近于瞬時完成，貯水系數(shù)是常數(shù)。

考慮滯后疏干的博爾頓第二模型

到目前為止，還沒有同時考慮上述三種情況的潛水井流公式。這里僅介紹一種潛水井流模型。（一）假設(shè)條件及井流狀態(tài)分析（1）均質(zhì)各向同性、隔水底板水平的無限延伸的含水層；（2）初始自由水面水平；（3）完整井，井徑無限小，降深s<<Ho(潛水流初始厚度)的定流量抽水；（4）水流服從Darcy定律；（5）抽水時，水位下降，含水層中的水不能瞬時排出，存在著遲后現(xiàn)象。分析潛水完整井抽水時的降深-時間曲線，可以明顯地看到三個階段：

第一個階段：抽水早期(也許只有幾分鐘)，降深-時間曲線與承壓水完整井抽水時的Theis曲線一致，主要表現(xiàn)為潛水位下降了。但含水介質(zhì)不能立即通過重力排水把其中的水排出，而只是由于壓力降低引起水的瞬時釋放，即彈性釋水。含水層的反應(yīng)和一個貯水系數(shù)小的承壓含水層相似。一般來說，水流主要是水平運動。

第二個階段：降深-時間曲線的斜率減小，明顯地偏離Theis曲線，有的甚至出現(xiàn)短時間的假穩(wěn)定。它反映疏干排水的作用，好象含水層得到了補給，使水位下降速度明顯減緩。含水層的反應(yīng)類似于一個受到越流補給的承壓含水層。但降落漏斗仍以緩慢速度擴展著。

第三個階段：這個階段的降深一時間曲線又與Theis曲線重合。說明重力排水已跟得上水位下降，遲后疏干影響逐漸變小，可以忽略不計。抽水量來自重力排水，降落漏斗擴展速度增大。此時，給水度所起的作用相當于承壓含水層的貯水系數(shù)。決定于含水層的條件，這一階段可以從抽水后的幾分鐘到幾天后開始。曲線組反映了遲后排水的影響。在抽水初期，因以彈性釋水為主，水位降深同左邊的Theis曲線吻合。當遲后重力排水發(fā)生影響后便偏離Theis曲線，下降速度變小，并隨的不同方式以水平線趨近。在抽水后期，遲后中立排水減弱，下降速度由小變大，曲線斜率增加。當遲后重力排水影響基本結(jié)束時，又趨向右邊的Theis曲線，和前面分析的三個階段是一致的。利用抽水試驗資料確定水文地質(zhì)參數(shù)（1）配線法：①根據(jù)表4-9在雙對數(shù)坐標紙上繪制標準曲線（圖4-19）。②根